1、数形结合的思想北京四中 吕宝珠 一、高考真题感悟已知函数f (x) 若a，b，c互不相等，且f (a)f (b)f (c)，则abc的取值范围是_解：画出函数f (x)的图象，如下图所示：由图象知，要使f (a)f (b)f (c)，不妨设abc，则lg alg bc6.lg alg b0，ab1，abcc.由图知10c12，abc(10,12)考题分析本小题考查了分段函数的特征及性质、对数函数及其运算重点考查了解决问题的方法即数形结合的思想方法体现了对知识和能力的双重考查易错提醒(1)找不到问题解决的突破口，即想不到用数形结合(2)f(x)的图象的特征不清，忽视对(1,0)和(10,1)这两
2、个特殊点的分析(3)不会借助图形进行分析二、思想方法概述1数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以“形”作为手段，“数”作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以“数”作为手段，“形”作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质2运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：(1)等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性
3、质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应(2)双方性原则既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错(3)简单性原则不要为了“数形结合”而数形结合具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线3数形结合思想解决的问题常有以下几种：(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；(4)构建函数模型并结合其几
4、何意义研究函数的最值问题和证明不等式；(5)构建立体几何模型研究代数问题；(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；(7)构建方程模型，求根的个数；(8)研究图形的形状、位置关系、性质等4数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度具体操作时，应注意以下几点：(1)准确画出函数图象，注意函数的定义域；(2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作
5、出两个函数的图象，由图求解5在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点： (1)要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；(2)要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；(3)要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；(4)精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解三、热点分类突破题型一数形结合思想在解决方程的根、不等式解集问题中的应用例1(1)设函数f(x)若f(4)f(0)，f(2)2，则函数yg(x)f(x)x的零点个数为_(2)使log2(x)0)在区间上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4_.解函
6、数在上是增函数，由函数f(x)为奇函数，可得f(0)0，函数图象关于坐标原点对称，这样就得到了函数在上的特征图象，由f(x4)f(x)f(4x)f(x)，故函数图象关于直线x2对称，这样就得到了函数在上的特征图象，根据f(x4)f(x)可得 f(x8)f(x4)f (x)，函数以8为周期，即得到了函数在一个周期上的特征图象，就不难根据周期性得到函数在上的特征图象(如图所示)，根据图象不难看出方程f(x)m (m0)的四个根中，有两根关于直线x2对称，另两根关于直线x6对称，故四个根的和为2(6)228.题型二数形结合思想在求参数、代数式取值范围问题中的应用例2已知函数f(x)若函数g(x)f(
7、x)m有3个零点，则实数m的取值范围为_思维启迪 作出分段函数f(x)的图象，观察图象与ym的交点个数解函数f(x)画出其图象如图所示又由函数g(x)f(x)m有3个零点，知yf(x)与ym有3个交点，则实数m的取值范围是(0,1)探究提高 解决函数的零点问题，通常是转化为方程的根，进而转化为函数的图象的交点问题在解决函数图象的交点问题时，常用数形结合，以“形”助“数”，直观简洁变式训练2 若不等式logaxsin 2x (a0，a1)对任意x都成立，则a的取值范围为_解记y1logax，y2sin 2x，原不等式相当于y1y2，作出两个函数的图象，如图所示，知当y1logax过点A时，a，所
8、以当ay2.题型三数形结合思想在求几何量中最值问题中的应用例3 已知P是直线3x4y80上的动点，PA、PB是圆x2y22x2y10的两条切线，A、B是切点，C是圆心，求四边形PACB面积的最小值思维启迪 在同一坐标系中画出直线与圆作出圆的切线PA、PB，则四边形PACB的面积S四边形PACBSPACSPBC2SPAC.把S四边形PACB转化为2倍的SPAC可以有以下多条数形结合的思路解方法一从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x4y80向左上方或向右下方无穷远处运动时，直角三角形PAC的面积SRtPACPAACPA越来越大，从而S四边形PACB也越来越大；当点P从左上、右下两个方向向中间运动
9、时，S四边形PACB变小，显然,当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直直线时，S四边形PACB应有唯一的最小值，此时PC3，从而PA2.(S四边形PACB)min2PAAC2.方法二利用等价转化的思想，设点P的坐标为(x，y)，则PC，由勾股定理及AC1，得PA，从而S四边形PACB2SPAC2PAACPA，从而欲求S四边形PACB的最小值，只需求PA的最小值，只需求PC2(x1)2(y1)2的最小值，即定点C(1,1)与直线上动点P(x，y)距离的平方的最小值，它也就是点C(1,1)到直线3x4y80的距离的平方，这个最小值d2()29，(S四边形PACB)min2.方法三利用函数思想，将方
10、法二中S四边形PACB中的y由3x4y80解出，代入化为关于x的一元二次函数，进而用配方法求最值，也可得(S四边形PACB)min2.探究提高 本题的解答运用了多种数学思想方法:数形结合思想，运动变化的思想，等价转化的思想以及函数思想，灵活运用数学思想方法，能使数学问题快速得以解决变式训练3 圆C的方程为(x2)2y24，圆M的方程为(x25cos )2(y5sin )21 (R)过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE、PF，切点分别为E、F，则的最小值是_解由题意，可知圆心M (25cos ，5sin )，设则可得圆心M的轨迹方程为(x2)2y225，如下图所示：由图分析可知，只有当P、M、C三点共线时，才能够使最小,此时PC4,EC2,则PEPF2，且EPF2EPC23060，故(2)2cos 606.四、规律方法总结1利用数形结合解题，只需把图象大致形状画出即可，不需要精确图象2数形结合思想是解决高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别在解填空题时更方便，可以提高解题速度3数形结合思想常用模型：一次、二次函数图象；斜率公式；两点间的距离公式(或向量的模、复数的模)；点到直线的距离公式等五、经典练习1函数f(x)()xsin x在区间上的零点个数为_2已知函数f(x)，若方程f(x)loga(x2) (0a1)有且只有两个不同的实根，则实数a的取值范围是_
