1、第2课时指数函数及其性质的应用(习题课)与指数函数有关函数的定义域和值域学生用书P52求下列函数的定义域和值域(1)y2；(2)y；(3)y4x42x1.【解】(1)由x40，得x4，所以函数的定义域为x|xR，且x4因为0，所以21，故y2的值域为y|y0，且y1(2)由x20，得x2.所以函数的定义域为x|x2当x2时，0，又01，所以y的值域为y|0y1(3)函数的定义域为R.记t2x0.则yt24t1(t2)23.故当t2，即2x2，解得x1时，y取得最小值3.所以函数的值域为3，)函数yaf(x)的定义域与值域的求法(1)形如yaf(x)的函数的定义域就是f(x)的定义域(2)形如y
2、af(x)的值域，应先求出f(x)的值域，再由函数的单调性求出af(x)的值域若a的取值范围不确定，则需对a进行分类讨论(3)形如yf(ax)的值域，要先求出uax的值域，再结合yf(u)确定出yf(ax)的值域 1.(1)求y函数的定义域、值域(2)已知函数f(x)的最大值为3，求实数a的值(3)已知函数f(x)9x3x14，x0，1，求函数f(x)的值域解：(1)要使函数y有意义，必须16x2x20，即6 x2x2160.因为61，所以函数y6x在R上为增函数所以x2x20，(x2)(x1)0解得2x1.所以所求函数的定义域为2，1因为x2x2，所以6 x2x26，所以6 x2x26，所以
3、016 x2x2161.所以0，即0y.所以函数的值域为.(2)令h(x)ax24x3，f(x)，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值1；因此必有，解得a1，即当f(x)有最大值3时，a的值为1.(3)f(x)9x3x14(3x)233x4，令t3x，因为x0，1，所以t1，3，则yt23t4，因为函数yt23t4的对称轴是t，所以y4，即函数f(x)的值域为4，指数函数图像的对称变换及应用学生用书P52画出函数y|3x1|的图像，并利用图像回答：k为何值时，方程|3x1|k无解？有一解？有两解？【解】函数y|3x1|的图像如图(图中实线部分)由图可知，当k0时，直线yk与函数y|3
4、x1|的图像无交点，即方程|3x1|k无解；当k0或k1时，直线yk与函数y|3x1|的图像有唯一的交点，即方程|3x1|k有一解；当0k0，且a1)的图像有两个公共点，则a的取值范围是_解析：(1)f(x)m.画出f(x)的图像，如图由图像可知，01时，在同一坐标系中作出y2a和y|ax1|的图像，显然只有一个公共点，不合题意当12a2，即a1时，两图像也只有一个交点，不合题意当02a1，即0a0，且a1)的单调性学生用书P53已知a0且a1，讨论f(x)ax23x2的单调性【解】设ux23x2，则当x时，u是减函数，当x1时，yau是增函数，当0a1时，原函数f(x)ax23x2在上是减函
5、数，在上是增函数；当0a0，且a1)的单调性由两点决定，一是底数a1还是0ax1，则f(x2)，f(x1)，f(x2)f(x1).因为x2x1，所以2x12x20，所以f(x2)f(x1)0，即f(x2)0，f(x)是R上的偶函数(1)求a的值；(2)求证：f(x)在(0，)上是增函数解：(1)依题意，对一切xR，有f(x)f(x)，即aex.所以0对一切xR成立由此得到a0，即a21.又a0，所以a1.(2)证明：设0x1x2，则f(x1)f(x2)ex1ex2(ex2ex1)(ex2ex1).因为0x1ex1，所以ex2ex10.又1ex1x20，所以f(x1)f(x2)0时，y为减函数，
6、排除B.故选D.3函数y在下列哪个区间上是减少的()A(，0 B0，)C(， D，)解析：选B.设ux22，u在(，0是减少的，在0，)上是增加的，y是减函数，所以y在0，)上是减少的4已知f(x)3xb(2x4，b为常数)的图像经过点(2，1)，则f(x)的值域为()A9，81 B3，9C1，9 D1，)解析：选C.由f(x)过定点(2，1)可知b2，因为f(x)3x2在2，4上是增函数，f(x)minf(2)1，f(x)maxf(4)9，所以f(x)的值域为1，95函数f(x)axb的图像如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()Aa1，b0 Ba1，b0C0a1，b0 D0a1，
7、b0解析：选D.从曲线的变化趋势可以得到函数f(x)为减函数，从而有0a1；从曲线位置看，是由函数yax(0a1)的图像向左平移|b|个单位而得到的，所以b0，即b0.6已知函数y在2，1上的最小值是m，最大值是n，则mn的值为_解析：函数y在定义域内是递减的，所以m3，n9.所以mn12.答案：127已知函数f(x)为定义在区间2a，3a1上的奇函数，则ab_解析：由定义域关于原点对称得2a13a0，且a1，函数ya2x2ax1在1，1上的最大值是14，求a的值解：令tax(a0且a1)，则原函数可化为y(t1)22(t0)令yf(t)，则函数f(t)(t1)22的图像的对称轴为直线t1，开
8、口向上当0a0，所以a.当a1时，x1，1，tax，此时f(t)在上是增函数，所以f(t)maxf(a)(a1)2214.解得a3(a5舍去)所以a或a3.B能力提升11预测人口的变化趋势有多种方法，最常用的是“直接推算法”，使用的公式是PnP0(1k)n(k为常数)，其中Pn为预测期内n年后的人口数，P0为初期人口数，k为预测期内的年增长率，如果1k0，那么在这期间人口数()A呈上升趋势 B呈下降趋势C先上升后下降 D先下降后上升解析：选B.PnP0(1k)n是指数型函数，因为1k0，所以01k1.由yax(0a1)是(，)上的减函数可知，人口数呈下降趋势12函数f(x)ax(a0，且a1)
9、在1，2上的最大值比最小值大，则a的值为_解析：分情况讨论：当0a1时，函数f(x)ax(a0，且a1)在1，2上的最大值f(x)maxf(1)a1a，最小值f(x)minf(2)a2，所以aa2，解得a或a0(舍去)；当a1时，函数f(x)ax(a0，且a1)在1，2上的最大值f(x)maxf(2)a2，最小值f(x)minf(1)a1a，所以a2a，解得a或a0(舍去)综上所述，a或a.答案：或13已知函数f(x)3x22x3，(1)求f(x)的定义域和值域；(2)请写出f(x)的单调区间，不需证明解：(1)f(x)的定义域为R.设ux22x3(x1)244，又y3u在(，4上是增加的，所以00，a1)的图像经过点A(1，6)，B(3，24)(1)求f(x)的解析式；(2)若不等式12m0在x(，1上恒成立，求实数m的取值范围解：(1)由题意得a2，b3，所以f(x)32x.(2)设g(x)，则yg(x)在R上为减函数，所以当x1时，g(x)ming(1)，所以12m0在x(，1上恒成立，即2m1m，所以m的取值范围为m.
