1、第9讲函数与方程最新考纲考向预测结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.命题趋势利用函数零点的存在性定理或函数的图象，对函数是否存在零点进行判断或利用零点(方程实根)的存在情况求相关参数的范围，是高考的热点，题型以选择、填空题为主，也可和导数等知识交汇出现解答题，中高档难度.核心素养直观想象、逻辑推理1函数的零点(1)函数零点的定义：一般地，把使函数yf(x)的值为0的实数x称为函数yf(x)的零点(2)三个等价关系：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点2函数零点的判定若函数yf(x)在区间a，b上的图象是一
2、条不间断的曲线，且f(a)f(b)0，那么函数yf(x)在区间(a，b)上有零点3二次函数yax2bxc(a0)的图象与零点的关系000二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点零点x1，x2x1无常用结论有关函数零点的三个结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号常见误区1函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)0的根，也是函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标2判断零点个数还要
3、根据函数的单调性、对称性或结合函数图象等综合考虑1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)0.()(2)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值()(3)二次函数yax2bxc(a0)在b24ac0时没有零点()(4)若函数f(x)在(a，b)上连续单调且f(a)f(b)0，f(3)0，f(5)0，所以可知，f(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上均至少含有一个零点，故函数yf(x)在区间1，6上的零点至少有3个答案：35已知函数f(x)2axa3，若x(1，1)，使得f(x)0，则实数a的取
4、值范围是_解析：依题意可得f(1)f(1)0，即(2aa3)(2aa3)0，解得a1.答案：(，3)(1，)函数零点所在区间的判断 (一题多解)函数f(x)log3xx2的零点所在的区间为()A(0，1)B(1，2)C(2，3)D(3，4)【解析】方法一(定理法)：函数f(x)log3xx2的定义域为(0，)，并且f(x)在(0，)上单调递增，图象是一条连续曲线由题意知f(1)10，f(3)20，函数f(x)log3xx2有惟一零点，且零点在区间(1，2)内方法二(图象法)：函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)log3x，h(x)x2图象交点的横坐标所在的范围作出两个函数的图象如图所
5、示，可知f(x)的零点所在的区间为(1，2)故选B.【答案】B判断函数零点所在区间的方法方法解读适合题型定理法利用函数零点的存在性定理进行判断能够容易判断区间端点值所对应函数值的正负图象法画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断容易画出函数的图象 1已知实数a1，0b1，0b1，f(x)axxb，所以f(1)1b0，可知f(x)在区间(1，0)上存在零点2设函数f(x)xln x，则函数yf(x)()A在区间，(1，e)内均有零点B在区间，(1，e)内均无零点C在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点D在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点解析：选D.令f(x)0得xln
6、 x.作出函数yx和yln x的图象，如图，显然yf(x)在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点函数零点个数的判断 (一题多解)函数f(x)的零点个数为()A3B2C1D0【解析】方法一(方程法)：由f(x)0，得或解得x2或xe.因此函数f(x)共有2个零点方法二(图形法)：函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2个零点【答案】B判断函数零点个数的3种方法(1)方程法：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)定理法：利用定理不仅要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函
7、数有多少个零点(3)图形法：转化为两个函数的图象的交点个数问题先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点 1已知函数f(x)则函数yf(x)3x的零点个数是()A0B1C2D3解析：选C.令f(x)3x0，则或解得x0或x1，所以函数yf(x)3x的零点个数是2.2函数f(x)3xx32在区间(0，1)内的零点个数是()A0B1C2D3解析：选B.由题意知f(x)单调递增，且f(0)10210，即f(0)f(1)0)，yln x(x0)的图象如图所示由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.故选C.函数零点的应用 (1)函数f(x)x2ax1在
8、区间上有零点，则实数a的取值范围是()A(2，)B2，)C.D.(2)(2020苏北四市高三质量检测)已知函数f(x)g(x)f(x)xa.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是_【解析】(1)由题意知方程axx21在上有解，即ax在上有解，设tx，x，则t的取值范围是.所以实数a的取值范围是.(2)函数g(x)f(x)xa存在2个零点，即关于x的方程f(x)xa有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线yxa有2个交点，作出直线yxa与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，a1，解得a1.【答案】(1)D(2)1，)根据函数零点的情况求参数有三种常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构
9、建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解 1函数f(x)2xa的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是()A(1，3) B(1，2) C(0，3) D(0，2)解析：选C.由题意，知函数f(x)在(1，2)上单调递增，又函数一个零点在区间(1，2)内，所以即解得0a2时，f(x)f(x2)1，所以将f(x)在区间(0，2上的图象向右平移2个单位长度，同时再向上平移1个单位长度，得到函数f(x)在(2，4上的图象同理可得到f(x)在(
10、4，6，(6，8，上的图象再由f(x)的图象关于y轴对称得到f(x)在(，0)上的图象，从而得到f(x)在其定义域内的图象，如图所示：令g(x)0，得f(x)0或f(x)1，由图可知直线y0与y1和函数yf(x)的图象共有6个交点，所以函数g(x)共有6个零点故选C.【答案】C破解此类问题的主要步骤(1)换元解套，转化为tg(x)与yf(t)的零点(2)依次解方程，令f(t)0，求t，代入tg(x)求出x的值或判断图象交点个数 类型二求嵌套函数零点中的参数 函数f(x)若函数g(x)f(f(x)a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是_【解析】设tf(x)，令g(x)f(f(x)a0，则af(
11、t)在同一平面直角坐标系内作ya，yf(t)的图象(如图)当a1时，ya与yf(t)的图象有两个交点设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2t1)，则t11，t21.当t11时，t1f(x)有一解；当t21时，t2f(x)有两解综上，当a1时，函数g(x)f(f(x)a有三个不同的零点【答案】1，)(1)求解本题抓住分段函数的图象性质，由ya与yf(t)的图象，确定t1，t2的取值范围，进而由tf(x)的图象确定零点的个数(2)含参数的嵌套函数方程，还应注意让参数的取值“动起来”，抓临界位置，动静结合 设定义域为R的函数f(x)若b0，则关于x的方程f(x)2bf(x)0的不同实数根共有()A4个B5个C7个D8个解析：选C.由f(x)2bf(x)0，得f(x)0或f(x)b.所以方程f(x)2bf(x)0的根的个数即为函数yf(x)与函数y0，yb(b0)的图象的交点个数作出函数f(x)的图象如图所示，结合图象可知，f(x)0有3个实数根，f(x)b(b0)有4个实数根，所以f(x)2bf(x)0共有7个不同的实数根故选C.
