1、第四章学业质量标准检测时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1函数f(x)(x3)ex的单调递减区间是(A)A(，2) B(0,3)C(1,4) D(2，)解析f (x)(x3)ex(x3)(ex)(x2)ex，令f (x)0，解得x0在1,1上恒成立，即f(x)在1,1上是单调递增的，故当x1时，f(x)max6.4已知函数f(x)x3ax23x9在x3时取得极值，则a(D)A2B3C4D5解析f (x)3x22ax3，由条件知，x3是方程f (x)0的实数根，a5.5下列函数中，x0是其极值点
2、的函数是(B)Af(x)x3 Bf(x)cosxCf(x)sinxx Df(x)解析对于A，f (x)3x20恒成立，在R上单调递减，没有极值点；对于B，f (x)sinx，当x(，0)时，f (x)0，故f(x)cosx在x0的左侧区间(，0)内单调递减，在其右侧区间(0，)内单调递增，所以x0是f(x)的一个极小值点；对于C，f (x)cosx10恒成立，在R上单调递减，没有极值点；对于D，f(x)在x0没有定义，所以x0不可能成为极值点，综上可知，答案选B6(2019全国卷文，8)若x1，x2是函数f(x)sin x(0)两个相邻的极值点，则(A)A2 BC1 D解析由题意及函数ysin
3、 x的图像与性质可知，T，T，2.故选A7如图是函数yf(x)的导函数的图像，给出下面四个判断：f(x)在区间2，1上是增函数；x1是f(x)的极小值点；f(x)在区间1,2上是增函数，在区间2,4上是减函数；x2是f(x)的极小值点其中，所有正确判断的序号是(B)A B C D解析由函数yf(x)的导函数的图像可知：(1)f(x)在区间2，1上是减函数，在1,2上是增函数，在2,4上是减函数；(2)f(x)在x1处取得极小值，在x2处取得极大值故正确8已知f(x)x2sin(x)，f (x)为f(x)的导函数，则f (x)的图像是(A)解析f(x)x2cosx，f (x)xsinx，1sin
4、x1，且f (x)f (x)，f (x)为奇函数，排除B、D；令g(x)xsinx，则g(x)cosx，当x(0，)时，g(x)0，右侧L(P)0.所以L(30)是极大值也是最大值10已知f (x)是函数f(x)在R上的导函数，且函数f(x)在x2处取得极小值，则函数yxf (x)的图像可能是(C)解析x2时， f(x)取得极小值，在点(2,0)左侧，f (x)0，在点(2,0)右侧f (x)0，xf (x)1e，从而f(x)maxf(1)1.14(2019南开区二模)已知f(x)x(2 016lnx)，f (x0)2 017，则x0_1_.解析f (x)2 016lnx12 017lnx，又
5、f (x0)2 017，f (x0)2 017lnx02 017，则lnx00，x01.15设aR，若函数yexax，xR有大于零的极值点，则a的取值范围是_a1_.解析yexax，yexa.当a0时，y不可能有极值点，故a0，即ln(a)ln1.a2时f (x)0恒成立(其中f (x)是函数f(x)的导函数)，且f(4)0，则不等式(x2)f(x3)2时，f (x)0，f(x)在(2，)上单调递增，在(，2)上单调递减，又f(4)0，f(0)0，0x4时，f(x)0，x4时，f(x)0，由(x2)f(x3)0得(1)或(2)由(1)得x3；由(2)得2x0，且f(x)的极大值为5，极小值为1
6、，求f(x)的解析式解析f(x)x3ax2b，f (x)3x22ax.令f (x)0，得x0或x.又a0，0.当x0时，f (x)0；当x0时，f (x)0.f(x)在(，)和(0，)上是增函数，在(，0)上是减函数f()是f(x)的极大值，f(0)是f(x)的极小值，即f()()3a()2b5；f(0)b1，解得a3，b1.所求的函数解析式是f(x)x33x21.18(本题满分12分)已知函数f(x)x3(1a)x2a(a2)xb(a，bR)(1)若函数f(x)的图像过原点，且在原点处的切线斜率是3，求a，b的值；(2)若函数f(x)在区间(1,1)上不单调，求a的取值范围解析(1)f (x
7、)3x22(1a)xa(a2)，由于函数f(x)的图像过原点，则f(0)0，从而b0，又函数图像在原点处的切线斜率是3，则f (0)3，所以a(a2)3，解得a3或a1.(2)令f (x)0，即3x22(1a)xa(a2)0，解得x1a，x2.由于函数f(x)在区间(1,1)上不单调，则有，或，解得，或.所以a的取值范围是(5，)(，1)19(本题满分12分)设函数f(x)kln x，k0.(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，上仅有一个零点解析(1)由f(x)kln x，(k0)得f (x)x.由f (x)0解得x.f(x)与f (x)在区间
8、(0，)上的情况如下：x(0，)(，)f (x)0f(x)所以，f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，)；f(x)在x处取得极小值f().(2)由(1)知，f(x)在区间(0，)上的最小值为f().因为f(x)存在零点，所以0，从而ke.当ke时，f(x)在区间(1，)上单调递减，且f()0，所以x是f(x)在区间(1，上的唯一零点当ke时，f(x)在区间(0，)上单调递减，且f(1)0，f()0，所以f(x)在区间(1，上仅有一个零点综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间( 1，上仅有一个零点. 20(本题满分12分)如图，在半径为3的圆形(O为圆心)铝皮上截取一块矩形
9、材料OABC，其中点B在圆弧上，点A，C在两半径上，现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗)，设矩形的边长ABx m，圆柱的体积为V m3.(1)写出体积V关于x的函数关系式，并指出定义域；(2)当x为何值时，才能使做出的圆柱形罐子的体积V最大？最大体积是多少？(圆柱体积公式：VSh，S为圆柱的底面积，h为圆柱的高)解析(1)连接OB，因为ABx m，所以OAm，设圆柱的底面半径为r m，则2r，即42r29x2，所以Vr2xx，其中0x3.(2)由V0及0x3，得x，列表如下：x(0，)(，3)V0V极大值所以当x时，V有极大值，也有最大值，为 m3
10、.答：当x为时，做出的圆柱形罐子的体积最大，最大体积是 m3.21(本题满分12分)(2019全国文，20)已知函数f(x)2x3ax22.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当0a0，则当x(，0)时，f (x)0，当x时，f (x)0，故f(x)在(，0)，单调递增，在单调递减；若a0，f(x)在(，)单调递增；若a0，当x时，f (x)0，故f(x)在，(0，)单调递增，在单调递减(2)当0a3时，由(1)知，f(x)在单调递减，在单调递增，所以f(x)在0,1的最小值为f2，最大值为f(0)2或f(1)4a.于是m2，M所以Mm当0a2时，可知2a单调递减，所以Mm的取值范围是.当2a3时，单调递增，所以Mm的取值范围是.综上，Mm的取值范围是.22(本题满分12分)(2017全国文，21)已知函数f(x)ln xax2(2a1)x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a0，故f(x)在(0，)上单调递增若a0.当x(，)时，f (x)0.故f(x)在(0，)上单调递增，在(，)上单调递减(2)证明：由(1)知，当a0；当x(1，)时，g(x)0时，g(x)0.从而当a0时，ln()10，即f(x)2.