1、第四章4.2.2 第2课时A级基础巩固一、选择题1汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图像可能是(A)解析加速过程，路程对时间的导数逐渐变大，图像下凸；减速过程，路程对时间的导数逐渐变小，图像上凸，故选A2(2019广东东莞高二检测)若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式yx327x123(x0)，则获得最大利润时的年产量为(C)A1百万件B2百万件C3百万件 D4百万件解析依题意得，y3x2273(x3)(x3)，当0x0；当x3时，y0.因此，当x3时，该商品的年利润最大3某箱子的容积与底面边长x的关系为V
2、(x)x2()(0x60)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为(B)A30B40C50D35解析V(x)(30x2)60xx2，x(0,60)令V(x)0，得x40.当x40时，箱子的容积有最大值4某工厂要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48 m3，高为3 m，如果箱底每1 m2的造价为15元，箱壁每1 m2的造价为12元，则箱子的最低总造价为(D)A900元 B840元 C818元 D816元解析设箱底一边的长度为x m，箱子的总造价为l元，根据题意得箱底面积为16(m2)，箱底另一边的长度为m，则l1615(23x23)1224072，l72.令l0，解得x4或x4(舍去)当0x4时
3、，l4时，l0.故当x4时，l有最小值816.因此，当箱底是边长为4 m的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价是816元5某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y117x2(x0)；生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y22x3x2(x0)，为使利润最大，则应生产(A)A6千台 B7千台 C8千台 D9千台解析设利润为y(万元)，则yy1y217x22x3x218x22x3(x0)，y36x6x2，令y0，得0x6，令y6，当x6时，y取最大值，故为使利润最大，则应生产6千台6设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则其表面积最小时，底面边长为(C)A B C D2解析如
4、图，设底面边长为x(x0)，则底面积Sx2，h.S表x3x22x2，S表x，令S表0得x，因为S表只有一个极值，故x为最小值点二、填空题7某公司一年购买某种货物400 t，每次都购买x t，运费为4万元/次，一年的总存储费为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x_20_ t.解析设该公司一年内总共购买n次货物，则n，总运费与总存储费之和f(x)4n4x4x，令f (x)40，解得x20，x20(舍)，x20是函数f(x)的最小值点，故x20时， f(x)最小8做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27，且用料最小，则圆柱的底面半径为_3_.解析设圆柱的底面半径为R，母线长为L，则
5、VR2L27，L，要使用料最省，只需使圆柱形表面积最小，S表R22RLR2，S(R)2R0，令S0得R3，当R3时，S表最小三、解答题9有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？解析如图所示，依题意，点C在直线AD上，设C点距D点x km.因为BD40，AD50，所以AC50x.所以BC.又设总的水管费用为y元，则y3a(50x)5a(0x50)所以y3a .令y0，
6、解得x130，x230(舍去)当x30时，y30时，y0.所以当x30时，取得最小值，此时AC50x20(km)，即供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省B级素养提升一、选择题1某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x(0x390)的关系是R(x)400x,0x390，则当总利润最大时，该公司年产量为(D)A150 B200 C250 D300解析由题意可得总利润P(x)300x20 000，0x390.由P(x)0，得x300.当0x300时，P(x)0；当300x390时，P(x)0，所以当x300时，P(x
7、)最大，故选D2三棱锥OABC中，OA、OB、OC两两垂直，OC2x，OAx，OBy，且xy3，则三棱锥OABC体积的最大值为(C)A4 B8 C D解析Vy(0x0)，L2.令L0，得x16或x16(舍去)L在(0，)上只有一个极值点，x16必是最小值点x16，32.故当堆料场的宽为16 m，长为32 m时，可使砌墙所用的材料最省4某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进行该路段的时刻t之间关系可近似地用如下函数给出：yt3t236t.则在这段时间内通过该路段用时最多的时刻是(C)A6时 B7时 C
8、8时 D9时解析yt2t36(t12)(t8)，令y0得t12(舍去)或t8.当6t0；当8t9时，y0，当t8时，y有最大值二、填空题5做一个容积为256的方底无盖水箱，它的高为_4_时最省料解析设底面边长为x，则高为h，其表面积为Sx24xx2，S2x，令S0，则x8，则当高h4时S取得最小值6一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为10 km/h时燃料费是每小时6元 ，而其他与速度无关的费用是每小时96元，则此轮船的速度为_20_km/h航行时，能使行驶每公里的费用总和最小解析设船速为每小时x(x0)千米，燃料费为Q元，则Qkx3，由已知得：6k103，k，即Qx3.
9、记行驶每千米的费用总和为y元，则y(x396)x2yx，令y0，即x0，解之得：x20.这就是说，该函数在定义域(0，)内有唯一的极值点，该极值必有所求的最小值，即当船速为每小时20公里时，航行每公里的总费用最小，最小值为7.2元三、解答题7某厂生产某种产品的固定成本(固定投入)为2 500元，已知每生产x件这样的产品需要再增加可变成本C(x)200xx3(元)，若生产出的产品都能以每件500元售出，要使利润最大，该厂应生产多少件这种产品？最大利润是多少？解析设该厂生产x件这种产品利润为L(x)则L(x)500x2 500C(x)500x2 500300xx32 500(xN)，令L(x)300x20，得x60(件)又当0x0，x60时，L(x)0，y0，y2(0x1)S(2x2)22(x1)(0x1)(2)令f(x)S24(x1)2(1x2)(0x1)，则f (x)8(x1)2(12x)令f (x)0，解得x或x1(舍去)当0x0, f(x)为增函数；当x1时，f (x)0, f(x)为减函数f()是f(x)在区间(0,1)上的极大值，也是最大值，且f()，此时S.故当x时，S取得最大值.