1、选修44坐标系与参数方程第一节坐标系考情展望1.理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化特点.2.能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：的作用下，点P(x，y)对应到点P(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换2极坐标系与点的极坐标(1)极坐标系：如图33所示，在平面内取一个定点O(极点)，自极点O引一条射线Ox(极轴)；
2、再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系(2)极坐标：平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度和从Ox到OM的角度来刻画，这两个数组成的有序数对(，)称为点M的极坐标其中称为点M的极径，称为点M的极角图333极坐标与直角坐标的互化点M直角坐标(x，y)极坐标(，)互化公式2x2y2 tan (x0)4圆的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆r(02)圆心为(r,0)，半径为r的圆2rcos 圆心为，半径为r的圆2rsin (00)的一个交点在极轴上，求实数a的值【解】(cos sin )1，即cos sin 1，曲线
3、C1的普通方程为xy10，在曲线C1方程中，令y0，得x.又曲线C2：a(a0)的直角坐标方程为x2y2a2，将点代入曲线C2的方程x2y2a2，得202a2，则a.3(2014安徽高考改编)在极坐标系中，直线l的极坐标方程是(cos sin )4，圆C的极坐标方程是4cos ，求直线l被圆C截得的弦长【解】直线l：(cos sin )4的直角坐标方程为xy40.将圆C：4cos 化为直角坐标方程x2y24x0，即(x2)2y24，圆C的圆心C(2,0)，半径r2.则圆心(2,0)到直线l：xy40的距离d，因此直线l被圆截得弦长为22.4在极坐标系中定点A，点B在直线l：cos sin 0(
4、0b0)(为参数)考向一参数方程与普通方程的互化(2015郑州质检)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(为参数)试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标【解】因为直线l的参数方程为(t为参数)，由xt1，得tx1，代入y2t，得到直线l的普通方程为2xy20.同理得到曲线C的普通方程为y22x.联立方程组解得公共点的坐标为(2,2)，.规律方法11.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法2把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响对点训练(2014福
5、建高考)已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(为参数)(1)求直线l和圆C的普通方程；(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围【解】(1)直线l的普通方程为2xy2a0，圆C的普通方程为x2y216.(2)因为直线l与圆C有公共点，故圆C的圆心到直线l的距离d4，解得2a2.考向二参数方程及应用已知直线l经过点A(1,2)，倾斜角为，圆C的参数方程为(为参数)(1)求直线l的参数方程；(2)若直线l与圆C交于两点B、C，求|AB|AC|的值【解】(1)直线l的倾斜角，cos ，sin ，又直线l过点A(1,2)，因此l的参数方程为(t为参数)(2)由x3cos ，且y3
6、sin ，消去.得圆C的直角坐标方程x2y29.将直线l的参数方程代入x2y29，得t2(12)t40，t1t24.由参数t的几何意义得直线l和圆x2y29的两个交点到点A的距离之积为|t1t2|4.因此|AB|AC|4.规律方法21.对于形如(t为参数)的参数方程，当a2b21时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题2已知圆、圆锥曲线的参数方程解决有关问题时，一般把参数方程化为普通方程，通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等对点训练(2014课标全国卷)已知曲线C：1，直线l：(t为参数)(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l
7、夹角为30的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值【解】(1)曲线C的参数方程为(为参数)直线l的普通方程为2xy60.(2)曲线C上任意一点P(2cos ，3sin )到l的距离为d|4cos 3sin 6|，则|PA|5sin()6|，其中为锐角，且tan .当sin()1时，|PA|取得最大值，最大值为.当sin()1时，|PA|取得最小值，最小值为.考向三参数方程与极坐标方程的综合问题(2014课标全国卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为2cos ，.(1)求C的参数方程；(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：yx2
8、垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标【解】(1)C的普通方程为(x1)2y21(0y1)可得C的参数方程为(t为参数，0t)(2)设D(1cos t，sin t)，由(1)知，曲线C是以G(1,0)为圆心，以1为半径的上半圆又曲线C在点D处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同，tan t，t.故D的直角坐标为，即.规律方法31.(1)第(1)问将极坐标方程化为直角坐标方程，进而化为参数方程，但注意极角的范围对t的限制，常错为t0,2(2)理解参数t的意义，正确求得点D的直角坐标2本题将极坐标与参数方程交织在一起，考查逻辑思维能力及运算求解能力善于将各类方程相互转化是求解该类问
9、题的前提对点训练在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)，M是C1上的动点，点P满足2，点P的轨迹为曲线C2.(1)求C2的参数方程；(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.【解】(1)由2知，点M是线段OP的中点设点P(x，y)，则M，点M在曲线C1：上，所以即从而曲线C2的参数方程为(为参数)(2)曲线C1的极坐标方程为4sin ，曲线C2的极坐标方程为8sin .射线与C1的交点A的极径14sin ，射线与C2的交点B的极径28sin .故|AB|21|4sin 2.课时检测参数方程(建议用时
10、：45分钟)1设曲线C的参数方程为(t为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程【解】将化为普通方程为yx2，由于cos x，sin y，所以化为极坐标方程为sin 2cos2，即cos2sin 0.2(2014江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与抛物线y24x相交于A，B两点，求线段AB的长【解】将直线l的参数方程代入抛物线方程y24x，得24，解得t10，t28.所以AB|t1t2|8.3已知动点P、Q都在曲线C：(t为参数)上，对应参数分别为t与t2(02)，M为PQ的中点(1)求M的轨迹的参数方
11、程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点【解】(1)依题意有P(2cos ，2sin )，Q(2cos 2，2sin 2)，因此M(cos cos 2，sin sin 2)M的轨迹的参数方程为(为参数，02)(2)M点到坐标原点的距离d(02)当时，d0，故M的轨迹过坐标原点4(2015福州调研)在平面直角坐标系中， 以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系已知点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为cosa，且点A在直线l上(1)求a的值及直线l的直角坐标方程；(2)圆C的参数方程为(为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系【解】(1)由点A在直线cos
12、a上，可得a，所以直线l的方程可化为cos sin 2，从而直线l的直角坐标方程为xy20.(2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x1)2y21，所以圆C的圆心为(1,0)，半径r1.因为圆心C到直线l的距离d1，所以直线l与圆C相交5已知P为半圆C：(为参数，0)上的点，点A的坐标为(1,0)，O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为.(1)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；(2)求直线AM的参数方程【解】(1)M点的极角为，且M点的极径等于，故点M的极坐标为.(2)M点的直角坐标为，A(1,0)，故直线AM的参数方程为(t为参数)6(2014湖南高
13、考改编)在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线l与曲线C：(为参数)交于A，B两点，且|AB|2.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线l的极坐标方程【解】消去曲线C：中的参数，得(x2)2(y1)21.由于|AB|2，因此|AB|为圆的直径直线l过曲线C的圆心C(2,1)又直线l的倾斜角为，则ktan 1.所以直线l的方程为y1x2，即xy10.将xcos ，ysin 代入上式，得cos sin 1.因此直线l的极坐标方程(cos sin )1.7(2015沈阳质检)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系圆C1，直线C2的极坐标方程分别为4sin ，co
14、s2.(1)求C1与C2交点的极坐标；(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点. 已知直线PQ的参数方程为(tR为参数)，求a，b的值【解】(1)圆C1的直角坐标方程为x2(y2)24，直线C2的直角坐标方程为xy40.解得所以C1与C2交点的极坐标为，.注：极坐标系下点的表示不唯一(2)由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)故直线PQ的直角坐标方程为xy20，由参数方程可得yx1.所以解得8(2014重庆高考改编)已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为sin24cos 0(0,0b0)在
15、极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l与圆O的极坐标方程分别为sinm(m为非零常数)与b.若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，求椭圆C的离心率【解】由已知可得椭圆标准方程为1(ab0)由sinm可得sin cos m，即直线的普通方程为xym.又圆的普通方程为x2y2b2，不妨设直线l经过椭圆C的右焦点(c,0)，则得cm.又因为直线l与圆O相切，所以b，因此cb，即c22(a2c2)整理，得，故椭圆C的离心率为e.10已知曲线C的极坐标方程为4cos ，直线l的参数方程是：(t为参数)(1)求曲线C的直角坐标方程，直线l的普通方程；(2)将曲线C横坐标缩短为原来的，再向左平移1个单位，得到曲线C1，求曲线C1上的点到直线l距离的最小值【解】(1)将曲线C：4cos 化为普通方程为x2y24x，曲线C的方程为(x2)2y24.直线l的普通方程是xy20.(2)将曲线C：(x2)2y24横坐标缩短为原来的，得到曲线的方程为(2x2)2y24，即4(x1)2y24，再向左平移1个单位，得到曲线C1的方程为4x2y24，即x21.设曲线C1上的任意一点为(cos ，2sin )，它到直线l的距离为d，当sin()1时，d取得最小值，曲线C1上的点到直线l距离的最小值为.