1、第二章2.2.2A级基础巩固一、选择题1过抛物线y22px(p0)的焦点且垂直于x轴的弦为AB，O为抛物线顶点，则AOB的大小(C)A小于90 B等于90C大于90 D不能确定解析过抛物线焦点且垂直于x轴的弦AB为通径，其长度为2p，又顶点到通径的距离为，由三角函数知识可知，AOB大于90.2(2019福州市八县协作校期末联考)已知A是抛物线y22px(p0)上一点，F是抛物线的焦点，O为坐标原点，当|AF|4时，OFA120，则抛物线的准线方程是(A)Ax1 Bx3Cx1或x3 Dy1解析过A作准线的垂线AC，过F作AC的垂线，垂足分别为C，B由题意BFAOFA9030，A点到准线的距离为：
2、d|AB|BC|p24，解得p2，则抛物线的准线方程是x1.故选A3若抛物线y2x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为(B)A(，) B(，)C(，) D(，)解析设焦点为F，原点为O，P(x0，y0)，由条件及抛物线的定义知，|PF|PO|，又F(，0)，x0，y，y0，故选B4已知P(8，a)在抛物线y24px上，且P到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为(B)A2 B4C8 D16解析根据题意可知，P点到准线的距离为8p10，可得p2，所以焦点到准线的距离为2p4，选B5已知F是抛物线y2x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|BF|3，则线段AB的中点到y轴的距
3、离为(C)A B1C D解析设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由|AF|BF|3得，x1x23，x1x2，线段AB的中点到y轴的距离为.6(2019山东潍坊高二期末)设F为抛物线C：y24x的焦点，过F作倾斜角为60的直线交曲线C于A，B，则|AB|(D)A8 BC16 D解析抛物线C：y24x的焦点(1,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，过F且倾斜角为60的直线为y(x1)，整理得3x210x30，由韦达定理可知x1x2，由抛物线的定义可知：|AB|px1x22.故选D二、填空题7过点M(3,2)作直线l与抛物线y28x只有一个交点，这样的直线共有_1_条解析点M(3,2)在抛
4、物线内部，过点M平行于x轴的直线y2与抛物线y28x只有一个交点8(2018北京文，10)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴，若l被抛物线y24ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_(1,0)_.解析由题知直线l的方程为x1，则直线与抛物线的交点为(1，2)(a0)又直线被抛物线截得的线段长为4，所以44，即a1.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)三、解答题9抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的标准方程解析如图，依题意可设抛物线标准方程为y22px(p0)，则直线方程为yxp.设直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，
5、y2)，过A、B分别作准线的垂线，垂足为C、D，则由抛物线定义得|AB|AF|FB|AC|BD|x1x2，即x1x2p8.又A(x1，y1)、B(x2，y2)是直线和抛物线的交点，由，消去y得x23px0.x1x23p.将其代入，得p2.所求的抛物线标准方程为y24x.当抛物线方程设为y22px(p0)时，同理可求得抛物线标准方程为y24x.B级素养提升一、选择题1直线ykx2交抛物线y28x于A、B两点，若AB中点的横坐标为2，则k(C)A2或2B1C2D3解析由，得k2x24(k2)x40，16(k2)216k20，即k1，则4，即k2.2等腰RtABO内接于抛物线y22px(p0)，O为
6、抛物线的顶点，OAOB，则ABO的面积是(B)A8p2 B4p2 C2p2 Dp2解析设点A在x轴的上方，则由抛物线的对称性及OAOB知，直线OA的方程为yx.由，得A(2p,2p)则B(2p，2p)，所以AB4p.所以SABO4p2p4p2.3过抛物线y24x的焦点的直线交抛物线于A、B两点O为坐标原点，则的值是(D)A12 B12 C3 D3解析设A(，y1)、B(，y2)，则(，y1)，(，y2)，则(，y1)(，y2)y1y2，又AB过焦点，则有y1y2p24，y1y243，故选D4P为抛物线y22px的焦点弦AB的中点，A、B、P三点到抛物线准线的距离分别是|AA1|、|BB1|、|
7、PP1|，则有(B)A|PP1|AA1|BB1| B|PP1|AB|C|PP1|AB| D|PP1|0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程解析(1)由题意得F(1,0)，l的方程为yk(x1)(k0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，得k2x2(2k24)xk20.16k2160，故x1x2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21).由题设知8，解得k1(舍去)，k1.因此l的方程为yx1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y2(x3)，即yx5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0
8、)，则解得或因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144.8(2018中山一中检测)在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y24x相交于不同的A，B两点(1)如果直线l过抛物线的焦点，求的值；(2)如果4，证明：直线l必过一定点，并求出该定点解析(1)由题意：抛物线焦点为(1,0)，设l：xty1，代入抛物线y24x，消去x，整理得：y24ty40，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24t，y1y24.x1x2y1y2(ty11)(ty21)y1y2(t21)y1y2t(y1y2)14t24t2143.(2)设l：xtyb，代入抛物线y24x，消去x，整理得：y24ty4b0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24t，y1y24b.x1x2y1y2(ty1b)(ty2b)y1y2(t21)y1y2bt(y1y2)b24bt24bt2b24bb24b，令b24b4，解出b2直线l过定点(2,0)若4，则直线l必过一定点(2,0)