1、第十一节 导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数的关系 增函数 常量函数 减函数 2.函数的极值与导数(1)极值的概念 f(x)f(x0)极 小值点(2)判别f(x0)是极大(小)值的方法 若x0满足f(x0)=0,且在x0的两侧f(x)的导数_,则x0是f(x)的极值点.如果在x0附近的左侧_,右侧_,即“_”,那么f(x0)是极大值;如果在x0附近的左侧_,右侧_,即“_”,那么f(x0)是极小值.f(x)0 f(x)0 f(x)0 左正右负 左负右正 异号 3.求函数f(x)在a,b上最值的步骤(1)求函数y=f(x)在(a,b)内的_.(2)将函数y=f(x)的各_与端点处的_
2、比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值,得出函数f(x)在a,b上的最值.极值 极值 函数值f(a),f(b)判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”).(1)f(x)0是f(x)为增函数的充要条件.()(2)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.()(3)函数的极大值不一定比极小值大.()(4)对可导函数f(x),f(x0)=0是x0点为极值点的充要条件.()(5)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值.()【解析】(1)错误.f(x)0能推出f(x)为增函数,反之不一定.如函数f(x)=x3在(-,+)上单调递增,但f(x)0.所以f(x)0是f(x)为增
3、函数的充分条件,但不是必要条件.(2)错误.一个函数在某区间上或定义域内极大值可以不止一个.(3)正确.一个函数的极大值与极小值没有确定的大小关系,极大值可能比极小值大,也可能比极小值小.(4)错误.对可导函数f(x),f(x0)=0只是x0点为极值点的必要条件,如y=x3在x=0时f(0)=0,而函数在R上为增函数,所以0不是极值点.(5)正确.当函数在区间端点处取得最值时,这时的最值不是极值.答案:(1)(2)(3)(4)(5)1.函数f(x)ln xax(a0)的单调递增区间为()(A)(0,)(B)(,+)(C)(-,)(D)(-,a)【解析】选A.由f(x)a0，得0 x1,则f(x
4、)x的解集是()(A)(0,1)(B)(-1,0)(0,1)(C)(1,+)(D)(-,-1)(1,+)【解析】选C.令F(x)=f(x)-x,则F(x)=f(x)-10,所以F(x)是增函数,故易得F(x)F(1)的解集,即f(x)x的解集是(1,+).考向 1 利用导数研究函数的单调性 【典例1】(1)(2012辽宁高考)函数y=x2-lnx的单调递减区 间为()(A)(-1,1 (B)(0,1(C)1,+)(D)(0,+)12(2)(2012北京高考改编)已知函数f(x)=ax2+1(a0),g(x)=x3+bx.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公切线,求
5、a,b的值;当a2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间.【思路点拨】(1)保证函数有意义的前提下,利用y0求解.(2)利用交点既在f(x)上,也在g(x)上,在公切点处导数相等,构造方程组求解;构造函数F(x)=f(x)+g(x),再利用导数求单调区间.【规范解答】(1)选B.由y=(x2-lnx)=x-0-1x1,且x0,又函数的定义域为(0,+),故单调递减区间 为(0,1.(2)f(x)=2ax,g(x)=3x2+b,由已知可得 解得a=b=3.121x f 1a1c,g 11bc,2a3b ，令F(x)=f(x)+g(x)=x3+ax2+1，F(x)=3x2+2ax+，令F(x
6、)=0，得x1=x2=a0,x10得，由F(x)0得，单调递增区间是(-,),(,+)；单调递减区间为().2a x42a4a2，a,6aaxx26 或；aax.26 a2a6aa,26【互动探究】在本例题(2)中，若条件不变，讨论函数f(x)+g(x)当a0时，在区间(-，-1)上的单调性.【解析】由本例解析知，当a0时，函数的单调递增区间是(-,),(,+)；单调递减区间为().当 -1，即0a2时，f(x)+g(x)在(-，-1)上为增函数；当 ，即2a6时，f(x)+g(x)在(-,)上单 调递增，在(,-1)上单调递减；a2a6aa,26a2aa126 a2a2当 6时，f(x)+g
7、(x)在(-,)上单调递增，在()上单调递减，在(,-1)上单调递增.综上，当01时,1-2a-1,当x变化时,f(x)与f(x)的变化情况如下表:由此得,函数f(x)的单调递增区间为(-,1-2a)和(-1,+),单调递减区间为(1-2a,-1).x(-,1-2a)(1-2a,-1)(-1,+)f(x)+-+f(x)单调递增 单调递减 单调递增(ii)由a=1时,1-2a=-1,此时,f(x)0恒成立,且仅在x=-1处f(x)=0,故函数f(x)的单调递增区间为R.(iii)当a-1,同理可得函数f(x)的单调递增区间为(-,-1)和(1-2a,+),单调递减区间为(-1,1-2a).综上:
8、当a1时,函数f(x)的单调递增区间为(-,1-2a)和(-1,+),单调递减区间为(1-2a,-1);当a=1时,函数f(x)的单调递增区间为R;当a0 (B)-1a1 (D)0a1(2)(2013厦门模拟)若函数f(x)=x3-ax2+1在1,2上单调递减,求实数a的取值范围.33,33【思路点拨】(1)由y0,即(-x2+2)ex0,ex0,-x2+20,解得 x0,x2-(a-2)x-a0对xR都成立.=(a-2)2+4a0,即a2+40,这是不可能的.故函数f(x)不可能是R上的减函数.考向 3 利用导数研究函数的极值(最值)【典例3】(1)(2013杭州模拟)已知f(x)=2x3-
9、6x2+m(m为常数)在-2,2上有最大值3,那么此函数在-2,2上的最小值为()(A)-5 (B)-11 (C)-29 (D)-37(2)(2013海口模拟)若f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1没有极值,则a的取值范围是 .(3)(2012江苏高考改编)已知a,b是实数,1和-1是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点.求a和b的值;设函数g(x)的导函数g(x)=f(x)+2,求g(x)的极值点.【思路点拨】(1)先由最大值求出m的值,再据此求出最小值.(2)函数无极值,等价于f(x)=0无实根,或存在两相等实根.(3)求出f(x)的导数,根据1和-1是函数f(x)的两个极
10、值点,代入列方程组求解即可;由得,f(x)=x3-3x,求出g(x),令g(x)=0,求解讨论即可.【规范解答】(1)选D.由f(x)=6x2-12x0得,x2,由f(x)0得0 x2.f(x)在-2,0上为增函数,在0,2上为减函数,f(x)max=f(0)=m=3.又f(-2)=-37,f(2)=-5,f(x)min=-37.(2)f(x)=3x2+6ax+3(a+2),由f(x)没有极值点得=36a2-36(a+2)0,即-1a2.答案:-1,2(3)由f(x)=x3+ax2+bx得f(x)=3x2+2ax+b,又因为1和-1是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点,所以3x2+2
11、ax+b=0的两个根分别为1和-1.由根与系数的关系得1+(-1)=a=0,1(-1)=b=-3,所以a=0,b=-3,此时f(x)=x3-3x.2a3b3由得,f(x)=x3-3x,g(x)=f(x)+2=x3-3x+2=(x-1)2(x+2)=0,解得x1=x2=1,x3=-2.当x-2时,g(x)0;当-2x0,x=-2是g(x)的极值点.当-2x1时,g(x)0,x=1不是g(x)的极值点.g(x)的极值点是-2.【拓展提升】“最值”与“极值”的区别和联系(1)“最值”是整体概念,是比较整个定义域或区间内的函数值得出的,具有绝对性;而“极值”是个局部概念,是比较极值点附近函数值得出的,
12、具有相对性.(2)从个数上看,一个函数在其定义域上的最值是唯一的,而极值不唯一.(3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一个,也可能一个也没有.(4)极值只能在区间内部取得,而最值可以在区间的端点处取得.(5)有极值的未必有最值,有最值的未必有极值;极值有可能成为最值,最值只要不在端点必定是极值.【变式训练】设 a1，函数f(x)=x3-ax2+b在区间-1,1上的最大值为1，最小值为 ，求函数的解析式.【解析】f(x)=3x2-3ax,令f(x)=0，得x=0或x=a.又f(-1)=-1-a+b,f(0)=b,f(a)=+b,f(1)=1-a+b.显然f(-
13、1)f(1),f(a)f(0),因为f(0)-f(1)=a-10，所以f(x)在-1,1上的最大值为f(0)=b,所以b=1.233262323a23232又f(-1)-f(a)=(a+1)2(a-2)0，所以f(x)的最小值为f(-1)=-1-a+b=-a,故所求函数的解析式是f(x)=x3-x2+1.123232366aa.223 所以，所以62【满分指导】导数在函数中的应用题的规范解答 【典例】(13分)(2012江西高考)已知函数f(x)=(ax2+bx+c)ex在0,1上单调递减且满足f(0)=1,f(1)=0.(1)求a的取值范围.(2)设g(x)=f(x)-f(x),求g(x)在
14、0,1上的最大值和最小值.【思路点拨】(1)将f(x)用含a的代数式表示出来,根据已知条件转化为恒成立问题求解.(2)化简g(x)=f(x)-f(x),通过对g(x)求导,然后分类讨论求最值.【规范解答】(1)由f(0)=1,f(1)=0,得c=1,a+b=-1,则f(x)=ax2-(a+1)x+1ex，f(x)=ax2+(a-1)x-aex,2分 依题意对于任意x0,1,有f(x)0.当a0时,因为二次函数y=ax2+(a-1)x-a的图象开口向上,而 f(0)=-a0,所以需f(1)=(a-1)e0,即0a1;4分 当a=1时,对于任意x0,1,有f(x)=(x2-1)ex0,且只在x=1
15、时f(x)=0,f(x)符合条件;当a=0时,对于任意x0,1,f(x)=-xex0,且只在x=0时，f(x)=0，f(x)符合条件;当a0,f(x)不符合条件.故a的取值范围为0a1.6分(2)因g(x)=(-2ax+1+a)ex,g(x)=(-2ax+1-a)ex,()当a=0时,g(x)=ex0,g(x)在x=0处取得最小值g(0)=1,在x=1处取得最大值g(1)=e.7分()当a=1时,对于任意x0,1有g(x)=-2xex0,g(x)在x=0处取得最大值g(0)=2,在x=1取得最小值g(1)=0.8分()当0a0.g(x)在0,1上单调递增,g(x)在x=0处取得最小值g(0)=
16、1+a,在x=1处取得最大值g(1)=(1-a)e.10分 g(x)在x=处取得最大值g()=,在x=0或x=1处取得最小值,而g(0)=1+a,g(1)=(1-a)e,11分 1 a2a1 a11,0a,2a3若即时1 a11,a1,2a3若即时1 a2a1 a2a1 a2a2ae由g(0)-g(1)=1+a-(1-a)e=(1+e)a+1-e=0,得a=.则 g(0)-g(1)0,g(x)在x=0处取得最小值g(0)=1+a;当 g(0)-g(1)0,g(x)在x=1处取得最小值g(1)=(1-a)e.13分 e 1e 11e 1a,3e 1当时e 1a1,e 1 时【失分警示】(下文见规
17、范解答过程)1.(2012陕西高考)设函数f(x)=xex，则()(A)x=1为f(x)的极大值点(B)x=1为f(x)的极小值点(C)x=-1为f(x)的极大值点(D)x=-1为f(x)的极小值点【解析】选D.f(x)=xex，f(x)=(xex)=ex+xex=ex(x+1)，令f(x)=0，则x=-1.当x-1时，f(x)-1时，f(x)0，所以x=-1为f(x)的极小值点.2.(2012重庆高考)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y=(1-x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()(A)函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)(B)函数f(x)有极大
18、值f(-2)和极小值f(1)(C)函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)(D)函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)【解析】选D.由图象可知,当x0,1-x0，所以f(x)0,当-2x1时,y0，所以f(x)0,当1x0,1-x0，所以f(x)2时,y0,1-x0.所以函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2).3.(2012新课标全国卷)已知函数 则y=f(x)的图象大致为()1f x,ln x1x【解析】选B.令g(x)=ln(1+x)-x,所以g(x)=得g(x)0-1x0,g(x)0,得g(x)0或-1x0时均有f(x)0,排除A,C,D.x.1x 4.(2013济
19、南模拟)已知函数f(x)的定义域为-1,5,部分对应值如表,f(x)的导函数y=f(x)的图象如图所示,下列关于函数f(x)的命题:函数f(x)的值域为1,2;函数f(x)在0,2上是减函数;如果当x-1,t时,f(x)的最大值是2,那么t的最大值为4;当1a0).(1)求f(x)在0,+)内的最小值.(2)设曲线y=f(x)在点(2，f(2)处的切线方程为 求a,b的值.xx1aebae3yx,2【解析】(1)设t=ex(t1)，则 当a1时，y0y=at+b在t1上是增函数，得：当t=1(x=0)时，f(x)取最小值为a+b；当0a1时，y=at+b2+b，当且仅当at=1(t=ex=x=
20、-ln a)时，f(x)取最小值为b+2.2 22211a t1yatb,ya.atatat 1at1a1at1,a(2)f(x)=由题意得：xxxx11aebfxae,aeae，2222212f 23,aeb3,a,aee3131f2aeb.2ae221.函数 的图象经过四个象限，则 实数a的取值范围是()3211f xaxax2ax2a 132 63Aa51683Ba51681Ca51663Da516 【解析】选D.f(x)ax2ax2aa(x2)(x1)，要使函数f(x)的图象经过四个象限，则f(2)f(1)0，即 16563(a 1)(a 1)0a.36516，解得 2.已知y x3bx2(b2)x3在R上不是增函数，则b的取 值范围是_.【解析】假设y x3bx2(b2)x3在R上是增函数，则 y0恒成立.即x22bxb20恒成立，所以4b2 4(b2)0成立，解得1b2，故所求为b2.答案:b2 1313