1、2020-2021学年天津市南开中学高一（下）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）.1i是虚数单位，则（）AB+C+D2在ABC中，AC3，BC2，cosC，则sinA（）ABCD3如图，已知2，则（）AB+C+D4设a，b是两条不同的直线，是平面，则下列命题正确的是（）A若ab，b，则aB若a，b，则abC若ab，a，b，则bD若a，b，则ba5如图是某班50位学生期中考试数学成绩（单位：分）的频率分布直方图，其中成绩分组区间是：40，50），50，60），60，70），70，80），80，90），90，100，则分数在80，90）的人数为（）A9B15C12D66如图
2、所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，则EF与C1D所成的角为（）A30B45C60D907在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且acosB+bc，则A（）ABCD8如图所示，在三棱锥PABC中，PABC且PABC1，PBAC，PC，则下列命题正确的个数是 （）平面PAB平面PBC；平面PAB平面ABC；平面PAC平面PAB；平面PAC平面PBC；平面PBC平面ABC；平面PAC平面ABCA3B4C5D69如图，在矩形ABCD中，AB3，BC4，E为AD上一点，BEAC，若+，则+的值为（）ABCD110已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B
3、，C的对边，且acosC+asinCbc0，a2，BC，ABC的面积为，则 （）Ab2，c2Bb2，c1Cb2，c2Db1，c2二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分11我国古代数学算经十书之一的九章算术一哀分问题：今有北乡八千一百人，西乡九千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百，意思是用分层抽样的方法从这三个乡中抽出500人服役，则北乡比南乡多抽 人12设x，yR，向量（x，1），（，y），（2，4），且，则| 13为做好“新冠肺炎”疫情防控工作，天津市各学校坚持落实“双测温报告”制度，以下是南开中学高二5班第二组的8名同学某日上午的体温记录：36.1，36.1，35.7，36.8
4、；36.5，36.6，36.3，36.4（单位：），则该组数据的第80百分位数为 14为迎接2022年北京冬奥会，某工广生产了一批滑雪板，这批产品中按质量分为一等品，二等品，三等品从这批滑雪板中随机抽取一件滑雪板检测，已知抽到不是三等品的概率为0.97，抽到一等品或三等品的概率为0.88，则抽到一等品的概率为 15如图为一个盛满水的圆锥形玻璃杯，现将一个球状物体放入其中，使其完全浸没于杯中，球面与圆锥侧面相切，且与玻璃杯口所在平面相切，则溢出水的体积为 16在迎接夏天的日子里，我校学生自发组织了热烈的篮球比赛如图，是篮球场地的部分示意图，在高为4的等腰梯形ABCD中，ABCD，AB6，CD2点
5、F是以CD为直径的半圆的中点，点M是半径为6的半圆O上的一个四等分点，点P为半圆O上任一点，且点P在点M左侧，已知21设点E为线段AB上任一点，则的最小值为 三、解答题：本大题共3小题，每小题12分，共36分17如图，在边长为1的正六边形ABCDEF中，O是其中心，2设，（）用，分别表示及；（）求|；（）求与夹角的余弦值18在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2sin2（）sin（B+C）+1（）求A；（）若csinC4（a+b）（sinAsinB），ABC的面积为，求ABC的周长192021年6月17日，神舟十二号载人飞船顺利升空并于6.5小时后与天和核心舱成功对接，这是中
6、国航天史上的又一里程碑我校南苍穹同学既是航天迷，又热爱数学，于是他为正在参加期末检测的你们编就了这道题目如图1，是神舟十二号飞船推进舱及其推进器的简化示意图，半径相等的圆I1，I2，I3，I4与圆柱OO1底面相切于A，B，C，D四点，且圆I1与I2，I2与I3，I3与I4，I4与I1分别外切，线段A1A为圆柱OO1的母线点M为线段A1O1中点，点N在线段CO1上，且CN2NO1.已知圆柱OO1底面半径为2，AA14（）求证：AM平面BDN；（）线段AA1上是否存在一点E，使得OE平面BDN？若存在，请求出AE的长，若不存在，请说明理由；（）求二面角I2A1I1I4的余弦值；（）如图2，是飞船推
7、进舱与即将对接的天和核心舱的相对位置的简化示意图天和核心舱为底面半径为2的圆柱O2O3，它与飞船推进舱共轴，即O，O1，O2，O3共线核心舱体两侧伸展出太阳翼，其中三角形RST为以RS为斜边的等腰直角三角形，四边形PQRS为矩形已知推进舱与核心舱的距离为4，即Q1O24，且O2O3RS2，PS7在对接过程中，核心舱相对于推进舱可能会相对作出逆时针旋转的运动，请你求出在舱体相对距离保持不变的情况下，在舱体相对旋转过程中，直线A1P与平面PQRS所成角的正弦值的最大值.参考答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的本大题共10小题，每小题4分，共40分1i是虚数单位，则（）
8、AB+C+D解：故选：A2在ABC中，AC3，BC2，cosC，则sinA（）ABCD解：因为AC3，BC2，cosC，由余弦定理得：AB2AC2+BC22BCACcosC9+42325，可得AB，所以sinC，因为由正弦定理，可得，所以sinA故选：C3如图，已知2，则（）AB+C+D解：由图可得，又因为2，所以（），则+（），故选：B4设a，b是两条不同的直线，是平面，则下列命题正确的是（）A若ab，b，则aB若a，b，则abC若ab，a，b，则bD若a，b，则ba解：a，b是两条不同的直线，是平面，对于A，若ab，b，则a或a，故A错误；对于B，若a，b，则a与b平行或异面，故B错误；对
9、于C，若ab，a，b，则由线面平行的判定定理得b，故C正确；对于D，若a，b，则b与a相交、平行或异面，故D错误故选：C5如图是某班50位学生期中考试数学成绩（单位：分）的频率分布直方图，其中成绩分组区间是：40，50），50，60），60，70），70，80），80，90），90，100，则分数在80，90）的人数为（）A9B15C12D6解：根据频率分布直方图可得，（0.0063+0.01+0.054+x）101，解得x0.018，此次调查的样本容量为50，分数在80，90）的人数为0.01810509故选：A6如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点
10、，则EF与C1D所成的角为（）A30B45C60D90解：因为ABB1A1为正方所以E既是AB1的中点，又是A1B的中点，所以EFA1C1，所以EF与C1D所成的角为A1C1D，而A1C1D为等边三角形，所以A1C1D60，故EF与C1D所成的角为60，故选：C7在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且acosB+bc，则A（）ABCD解：，根据正弦定理得，且sinCsin（A+B）sinAcosB+cosAsinB，且sinB0，且A（0，），故选：C8如图所示，在三棱锥PABC中，PABC且PABC1，PBAC，PC，则下列命题正确的个数是 （）平面PAB平面PBC；平面PAB平
11、面ABC；平面PAC平面PAB；平面PAC平面PBC；平面PBC平面ABC；平面PAC平面ABCA3B4C5D6解：因为PA1，PC，AC，则PA2+AC2PC2，故PAAC，又PABC，BCACC，BC，AC平面ABC，则PA平面ABC，又PA平面PAB，PA平面PAC，故平面PAB平面ABC，平面PAC平面平面ABC，故选项正确，选项正确，因为AB平面ABC，则PAAB，又PA1，PB，则AB1，又AC，BC1，则AB2+BC2AC2，故BCAB，又BCPA，PAABA，PA，AB平面PABC，所以BC平面PAB，又BC平面PBC，所以平面平面PBC平面PAB，故选项正确故正确的有3个故选
12、：A9如图，在矩形ABCD中，AB3，BC4，E为AD上一点，BEAC，若+，则+的值为（）ABCD1解：由题意建立如图所示直角坐标系因为AB3，BC4，则B（0，0），A（0，3），C（4，0），所以，设（a，3），因为BEAC，所以，即4a90，解得a，因为+，所以（0，3）（，3）+（4，3），所以，解得，则+故选：B10已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，且acosC+asinCbc0，a2，BC，ABC的面积为，则 （）Ab2，c2Bb2，c1Cb2，c2Db1，c2解：因为acosC+asinCbc0，由正弦定理得，因为BAC，则cosAsinCsinC0，所以又s
13、inC0，所以，则，即，又A（0，），则，故，因为ABC的面积为，所以，解得bc4，由余弦定理可得，a2b2+c22bccosA，则b2+c28，由可得，bc2故选：C二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分11我国古代数学算经十书之一的九章算术一哀分问题：今有北乡八千一百人，西乡九千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百，意思是用分层抽样的方法从这三个乡中抽出500人服役，则北乡比南乡多抽60人解：由题意可知，抽样比为故北乡应抽8100180，南乡应抽5400120，所以18012060，即北乡比南乡多抽60人，故答案为：6012设x，yR，向量（x，1），（，y），（2，4），且，则
14、|解：设x，yR，向量（x，1），（，y），（2，4），解得x2，y3，（2，1）+（，3）（，2）|故答案为：13为做好“新冠肺炎”疫情防控工作，天津市各学校坚持落实“双测温报告”制度，以下是南开中学高二5班第二组的8名同学某日上午的体温记录：36.1，36.1，35.7，36.8；36.5，36.6，36.3，36.4（单位：），则该组数据的第80百分位数为 36.6解：因为880%6.47，将数据从小到大依次排列为35.7，36.1，36.3，36.4，36.5，36.6，36.8，所以该组数据的第80百分位数为36.6故答案为：36.614为迎接2022年北京冬奥会，某工广生产了一批滑
15、雪板，这批产品中按质量分为一等品，二等品，三等品从这批滑雪板中随机抽取一件滑雪板检测，已知抽到不是三等品的概率为0.97，抽到一等品或三等品的概率为0.88，则抽到一等品的概率为 0.85解：某工广生产了一批滑雪板，这批产品中按质量分为一等品，二等品，三等品从这批滑雪板中随机抽取一件滑雪板检测，抽到不是三等品的概率为0.97，抽到一等品或三等品的概率为0.88，抽到一等品或二等品的概率为0.97，抽到二等品的概率为：10.880.12，则抽到一等品的概率为：P0.970.120.85故答案为：0.8515如图为一个盛满水的圆锥形玻璃杯，现将一个球状物体放入其中，使其完全浸没于杯中，球面与圆锥侧
16、面相切，且与玻璃杯口所在平面相切，则溢出水的体积为 解：如图，球心为圆雉截面三角形的中心圆雉截面为正三角形，且边长为2，设球的半径为r，则溢出溶液的体积等于球的体积为故答案为：16在迎接夏天的日子里，我校学生自发组织了热烈的篮球比赛如图，是篮球场地的部分示意图，在高为4的等腰梯形ABCD中，ABCD，AB6，CD2点F是以CD为直径的半圆的中点，点M是半径为6的半圆O上的一个四等分点，点P为半圆O上任一点，且点P在点M左侧，已知21设点E为线段AB上任一点，则的最小值为 7解：由题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则，所以，整理得：，两边平方得：，又，则sincos，联立，解得，所以，所以，当
17、时，此时有最小值，故答案为：7三、解答题：本大题共3小题，每小题12分，共36分17如图，在边长为1的正六边形ABCDEF中，O是其中心，2设，（）用，分别表示及；（）求|；（）求与夹角的余弦值解：（）根据题意，；（），；（），18在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2sin2（）sin（B+C）+1（）求A；（）若csinC4（a+b）（sinAsinB），ABC的面积为，求ABC的周长解：（）由2sin2（）sin（B+C）+1，可得2cos2sinA+1，可得1+cosAsinA+1，即cosAsinA，可得tanA，由0A，可得A（）因为csinC4（a+b）（sin
18、AsinB），由正弦定理有：c24（a+b）（ab），可得c24（a2b2），又由A及余弦定理有：a2b2+c2bc，有a2b2c2bc，有c24（c2bc），可得：b，又因为ABC的面积为bcsinAbc，可得bc3，所以解得b，c2，由余弦定理可得a2（）2+222，可得a，可得ABC的周长a+b+c192021年6月17日，神舟十二号载人飞船顺利升空并于6.5小时后与天和核心舱成功对接，这是中国航天史上的又一里程碑我校南苍穹同学既是航天迷，又热爱数学，于是他为正在参加期末检测的你们编就了这道题目如图1，是神舟十二号飞船推进舱及其推进器的简化示意图，半径相等的圆I1，I2，I3，I4与圆柱
19、OO1底面相切于A，B，C，D四点，且圆I1与I2，I2与I3，I3与I4，I4与I1分别外切，线段A1A为圆柱OO1的母线点M为线段A1O1中点，点N在线段CO1上，且CN2NO1.已知圆柱OO1底面半径为2，AA14（）求证：AM平面BDN；（）线段AA1上是否存在一点E，使得OE平面BDN？若存在，请求出AE的长，若不存在，请说明理由；（）求二面角I2A1I1I4的余弦值；（）如图2，是飞船推进舱与即将对接的天和核心舱的相对位置的简化示意图天和核心舱为底面半径为2的圆柱O2O3，它与飞船推进舱共轴，即O，O1，O2，O3共线核心舱体两侧伸展出太阳翼，其中三角形RST为以RS为斜边的等腰直
20、角三角形，四边形PQRS为矩形已知推进舱与核心舱的距离为4，即Q1O24，且O2O3RS2，PS7在对接过程中，核心舱相对于推进舱可能会相对作出逆时针旋转的运动，请你求出在舱体相对距离保持不变的情况下，在舱体相对旋转过程中，直线A1P与平面PQRS所成角的正弦值的最大值.【解答】（）证明：如图1，M，N分别是点M，N在线段AC上的投影，则M为AO的中点，N为OC的三等分点，所以tanMAM，tanNON，所以MAMNON，则AMON，如图2，又因为AM平面BDN，ON平面BDN，所以AM平面BDN；（）解：以O为原点，建立空间直角坐标系如图所示，则O（0，0，0），B（0，2，0），D（0，2
21、，0），N，设E（2，0，t）（0t4），所以，若OE平面BDN，则，即，则，所以时，OE平面BDN；（）解：设内切圆半径为r，由题意可知，I1OI4是等腰直角三角形，所以，解得，因为I1（r，0，0），I2（0，r，0），I4（0，r，0），A1（2，0，4），所以，设平面I2I1A1的法向量为，则，令x1，则，同理可得平面I4I1A1的法向量，所以，故二面角I2A1I1I4的余弦值为；（）解：将矩形PQRS作为参照物，不妨设A1顺时针选择（0），则A1（2cos（），2sin（），4），即A1（2cos，2sin，4），P（10，0，8），所以，因为y轴平面PQRS，则平面PQRS的一个法向量为，设A1P与平面PQRS所成的角为，则，若cos1，则sin0；若1cos1，令t3cos（2，4），则，当且仅当，即时，sin取得最大值