1、吉林省实验中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）一、选择题（共12小题）.1.已知i为虚数单位，设复数z满足z+i=3，则|z|=A. 3B. C. 4D. 10【答案】B【解析】 由，则，所以，故选B.2.点 的直角坐标是，则点 的极坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：利用，先将点M直角坐标是，之后化为极坐标即可.详解：由于，得，由，得，结合点在第二象限，可得，则点M的坐标为，故选C.点睛：该题考查的是有关平面直角坐标与极坐标的转化，需要注意极坐标的形式，以及极径和极角的意义，利用来得，根据点所属的象限得到相应的正角，从而得到结果.3.设（是虚
2、数单位），则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位的幂运算性质，分别求出和的值，进而求出的值.【详解】故选：A.【点睛】本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位的幂运算性质，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.4. 阅读下面的程序框图，则输出的S=（ ）A. 14B. 20C. 30D. 55【答案】C【解析】试题分析：经分析为直到型循环结构，按照循环结构进行执行，当满足跳出的条件时即可输出s的值解：S1=0，i1=1；S2=1，i2=2；S3=5，i3=3；S4=14，i4=4；S
3、5=30，i=54退出循环，故答案为C点评：本题考查程序框图的运算，通过对框图的分析，得出运算过程，按照运算结果进行判断结果，属于基础题5.用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是A. 51B. 3C. 9D. 17【答案】A【解析】【分析】用大数除以小数，直到整除为止，即可得到最大公约数.【详解】和的最大公约数是本题正确选项：【点睛】本题考查辗转相除法求解最大公约数问题，属于基础题.6.用秦九韶算法计算多项式在时的值时，的值为A. B. 220C. D. 34【答案】C【解析】试题分析：原多项式变形为，即，考点：秦九韶算法求多项式的值点评：利用秦九韶算法求多项式的值首先要将多项式改写
4、为每个括号内为关于x的一次式的形式，由内层括号到外层括号依次为7.若x0，则的最小值为（ ）A. B. C. 1D. 【答案】D【解析】【分析】由，然后利用基本不等式即可求解.【详解】，则，当且仅当即时取等号，最小值为.故选：D.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题关键是掌握利用基本不等式求最值时，注意验证等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.8.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60”时，反设正确的是（ ）A. 假设三内角都不大于60B. 假设三内角都大于60C. 假设三内角至多有一个大于60D. 假设三内角至多有两个小于60【答案】B【解析】【分析
5、】根据命题“三角形的内角中至少有一个内角不大于60”的否定是：三角形的三个内角都大于60，由此得到答案.【详解】用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个内角不大于60”时，应假设命题的否定成立，而命题“三角形的内角中至少有一个内角不大于60”的否定是：三角形的三个内角都大于60.故选：B.【点睛】本题主要考查求一个命题的否定，用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于基础题9.极坐标方程（-1）（）=0（0）表示的图形是A. 两个圆B. 两条直线C. 一个圆和一条射线D. 一条直线和一条射线【答案】C【解析】10.已知不等式对任意实数、恒成立，则
6、实数的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意可知，将代数式展开后利用基本不等式求出该代数式的最小值，可得出关于的不等式，解出即可.【详解】.若，则，从而无最小值，不合乎题意；若，则，.当时，无最小值，不合乎题意；当时，则不恒成立；当时，当且仅当时，等号成立.所以，解得，因此，实数的最小值为.故选：C.【点睛】本题考查基本不等式恒成立问题，一般转化为与最值相关的不等式求解，考查运算求解能力，属于中等题.11.已知，则的最小值是（ ）A. B. C. 2D. 1【答案】A【解析】【分析】结合题的条件，将式子变形得到，之后应用基本不等式求得结果.【详解】，（当时等号成
7、立）故选：A.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最小值，考查式子的变形，即化归与转化的数学思想方法.题目已知即，由于题目是考查式子的最小值，故考虑用基本不等式来求解，要使原式符合基本不等式的运算，即需配成的形式，需要对式子进行配凑，通过配凑后将原式转化为就可以利用基本不等式来运算了.12.直线与椭圆相交于，两点，该椭圆上点使得的面积等于，这样的点共有（ ）A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】B【解析】【分析】联立直线与椭圆方程，得、，得，结合的面积等于，可得到的距离为为，然后求出与已知直线平行，且与椭圆相切的直线与，算出两条直线中一条与椭圆有两个交点而另一条与椭圆无交点，由此即可得到使的
8、面积等于的点个数，即可求得答案.【详解】联立直线直线与椭圆，得或，直线与椭圆的交点为和，可得设点到的距离为，则，即解之得设平行于直线与椭圆相切的直线为联立与椭圆即： 联立消去可得：可得由此可得两条平行于直线的切线分别为：和与直线的距离 与直线的距离 与中，与椭圆相交，有两个交点，而与椭圆相离，没有交点.有个点使的面积等于，故选：B.【点睛】本题主要考查了椭圆中的三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系和点到直线的距离公式，考查了分析能力和计算能力，属于难题.二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在答题纸上）13.复数的实部是 【答案】-1【
9、解析】【详解】=-1-i,所以实部是-114.已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，那么曲线的直角坐标方程为_.【答案】【解析】【分析】根据极坐标与直角坐标的互化公式；，结合已知，即可求得答案.【详解】曲线的极坐标方程为整理得： 根据极坐标与直角坐标的互化公式；转化为：故答案为：.【点睛】本题解题关键是掌握极坐标与直角坐标的互化公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.15.与参数方程（为参数）等价的普通方程为_.【答案】【解析】试题分析：由题意，得，即因为，所以此参数方程的普通方程为,考点：参数方程与普通方程间的互化【方法点睛】将曲线的参数方程化为普通
10、方程的关键是消去其中的参数，此时要注意其中的(它们都是参数的函数)的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性参数方程化普通方程常用的消参技巧有：代入消元、加减消元、平方后相加减消元、整体消元等16.已知点在曲线，（为参数）上，则的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】根据曲线参数方程为（为参数），将曲线先化为普通方程，再利用的几何意义即可求出其范围.【详解】曲线的参数方程为（为参数），将两个方程平方相加，它在直角坐标系中表示圆心在半径为的圆.又几何意义是表示原点与圆上一点连线的斜率，画出图象，如图：当过原点的直线与圆相切时，设切线的斜率为，切线方程为：联立与圆的方程：
11、，消掉可得直线与圆相切，可得，解得当过原点的直线与圆相切时，切线的斜率是，的取值范围为.故答案为：.【点睛】此题考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，线性规划问题，关键是根据所给的约束条件准确地画岀可行域和目标函数在平面区域中，求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，从而确定目标函数在何处取得最优解三、解答题：（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.实数x分别取什么值时，复数是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？【答案】（1）（2）且（3）或【解析】【分析】根据复数的分类求解【详解】
12、（1）当x满足，即时，z是实数.（2）当x满足，即且时，z是虚数.（3）当x满足，即或时，z是纯虚数.【点睛】本题考查复数的分类，掌握复数的定义是解题关键18.解不等式：.【答案】【解析】【分析】对x分段去绝对值，转化为关于x的一元一次不等式求解，取并集，即可求得答案.【详解】当时，原不等式化为，即，此时；当时，原不等式化为，即，；当时，原不等式化为，即，综上所述，不等式的解集为.故答案为：.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论的数学思想方法，解题关键是掌握绝对值不等式的解法，属于基础题.19.用数学归纳法证明.【答案】见解析【解析】【分析】根据数学归纳法证明的步骤进行证明即可.【
13、详解】证明：当时，左边，右边，等式成立；假 设 当 时等式成立，即.那么，即当时等式也成立.由知，等式对任何都成立.【点睛】本题考查了利用数学归纳法证明有关数列的命题，属于基础题.20.已知曲线的极坐标方程为，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系.（1）若曲线：（t为参数）与曲线相交于两点，求；（2）若是曲线上的动点，且点的直角坐标为，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）曲线的极坐标方程为，化为，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线的直角坐标方程；由曲线：（为参数），消去参数，可得曲线的普通方程.求出圆心到直线的距离，再由垂径定理求解弦长；（2
14、）在曲线上，设（为参数），利用三角函数求最大值.【详解】（1）曲线的极坐标方程为，化为，极坐标与直角坐标的互化公式： 可得直角坐标方程为，由曲线：（参数），消去参数，可得曲线的普通方程为，圆的圆心坐标为，到直线的距离.根据几何关系可得：弦长（2）在曲线上，由（1）可得：设（为参数），则，其中，的最大值为.【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查直线与圆位置关系的应用，利用三角函数求最值，解题关键是掌握极坐标与直角坐标的互化公式，属于中档题.21.选修4-5：不等式选讲已知函数（1）若不等式的解集为，求实数的值；（2）若不等式，对任意的实数恒成立，求实数的最小值【答案】
15、（1）（2）4【解析】试题分析：（1）根据不等式不等式的解集为，求得的值；（2）不等式等价于，即可得，再对分离变量，结合基本不等式，即可求出实数的最小值试题解析：（1）由题意，知不等式解集为由，得，所以，由，解得（2）不等式等价于，由题意知因为，所以，即对任意都成立，则而，当且仅当，即时等号成立，故，所以实数的最小值为422.已知|x12|1，|x22|1.（1）求证：|x1x2|2；（2）若f（x）x2x+1，求证：|x1x2|f（x1）f（x2）|5|x1x2|.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）利用|x1x2|（x12）（x22）|x12|+|x22|证明
16、结论.（2）化简|f（x1）f（x2）|为|x1x2|x1+x21|，先证1x13和1x23，可得1x1+x215，从而得到|x1x2|x1x2|x1+x21|5|x1x2|.【详解】证明：（1）|x1x2|（x12）（x22）|x12|+|x22|1+12，|x1x2|2成立.（2）|f（x1）f（x2）|x12x22x1+x2|x1x2|x1+x21|，|x12|1，1x121，即1x13，同理1x23，2x1+x26.2x1+x26，1x1+x215，0|x1x2|2，|x1x2|x1x2|x1+x21|5|x1x2|，|x1x2|f（x1）f（x2）|5|x1x2|.【点睛】本题考查绝对值不等式的性质，不等式的性质，证明1x1+x215是解题的关键.
