1、第三节 用样本估计总体【知识梳理】1.必会知识 教材回扣 填一填(1)常用统计图表 频率分布表的画法:第一步:求_,决定组数和组距,组距=_;第二步:_,通常对组内数值所在区间取左闭右开区间,最后一组取闭区间;第三步:登记频数,计算频率,列出频率分布表.极差 极差组数分组 频率分布直方图:反映样本频率分布的直方图.如图:横轴表示样本数据,纵轴表示_,每个小矩形的面积表示样本落 在该组内的_.频率组距频率 茎叶图的画法.第一步:将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分;第二步:将最小茎与最大茎之间的数按_次序排成一列,写在左(右)侧;第三步:将各个数据的叶依次写在其茎的右(左)侧.大小(2)样
2、本的数字特征及意义 众数、中位数、平均数:数字特征 定义与求法 众数 一组数据中重复出现次数_的数 中位数 把一组数据按_排列,处在_位置的 一个数据(或两个数据的平均数)平均数 如果有n个数据x1,x2,，xn,那么这n个数的平均 数 =_ 大小顺序 最中间 x12n1(xxx)n最多 标准差、方差:(i)标准差:表示样本数据到平均数的一种平均距离,一般用s表示,s=_.(ii)方差:标准差的平方s2叫做方差.s2=_,其中xi(i=1,2,3,n)是样本数据,n是_,是_.x22212n1xxxxxxn22212n1xxxxxxn样本容量 样本平均数 2.必备结论 教材提炼 记一记(1)频
3、率分布直方图中纵轴的含义是_,不是频率.(2)小矩形的面积即数据落在该区间内的频率,所有小矩形的面积和 为_.(3)方差(标准差)越小,样本数据越稳定,波动越_;方差(标准差)越大,样本数据越不稳定,波动_.频率组距1 小 越大 3.必用技法 核心总结 看一看(1)常用方法:由具体到抽象的方法,用样本估计总体的方法.(2)数学思想:数形结合思想,方程思想.【小题快练】1.思考辨析 静心思考 判一判(1)一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据.()(2)平均数、众数与中位数都可以描述数据的集中趋势.()(3)一组数据的方差越大,说明这组数据的波动越大.()(4)频率分布直方图中,小矩形的面
4、积越大,表示样本数据落在该区间内的频率越高.()(5)茎叶图中的数据要按从小到大的顺序写,相同的数据可以只记一次.()【解析】(1)错误.平均数一定不大于这组数据中的最大值.(2)正确.平均数表示一组数据的平均水平,众数表示一组数据中出现次数最多的数,中位数等分样本数据所占频率,都可以从不同的角度描述数据的集中趋势.(3)正确.由方差的意义知结论正确.(4)正确.由频率分布直方图的意义知结论正确.(5)错误,茎叶图要求不能丢失数据.答案:(1)(2)(3)(4)(5)2.教材改编 链接教材 练一练(1)(必修3P70例题改编)某赛季,甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛,他们每场比赛得分的情
5、况用如图所示的茎叶图表示,则甲、乙两名运动员得分的中位数分别为 .【解析】数据的个数为奇数时,中位数为数据按大小排列后最中间的数据.答案:19,13(2)(必修3P82A组T6改编)甲、乙两人在相同条件下各射靶10次,每次命中环数如下:甲 4 7 10 9 5 6 8 6 8 8 乙 7 8 6 8 6 7 8 7 5 9 试问10次射靶的情况较稳定的是 .【解析】本题要计算两样本的方差，当样本平均数不是整数，且样本数据不大时，可用简化公式计算方差.(478)7.1，(789)7.1，(427282107.12)3.09，(728292107.12)1.29，因为 ，所以乙10次射靶比甲10次
6、射靶情况稳定.答案：乙 1x10甲1x10乙21s10甲21s10乙22ss甲乙3.真题小试 感悟考题 试一试(1)(2014陕西高考)设样本数据x1,x2,x10的均值和方差分别为1和4,若yi=xi+a(a为非零常数,i=1,2,10),则y1,y2,y10的均值和方差分别为()A.1+a,4 B.1+a,4+a C.1,4 D.1,4+a【解析】选A.样本数据x1,x2,x10的均值 (x1+x2+x10)=1,方差s2=(x1-1)2+(x2-1)2+(x10-1)2=4,新数据x1+a,x2+a,x10+a的均值 (x1+a+x2+a+x10+a)=(x1+x2+x10)+a=1+a
7、,新数据x1+a,x2+a,x10+a的方差 s2=(x1+a-1-a)2+(x2+a-1-a)2+(x10+a-1-a)2=(x1-1)2+(x2-1)2+(x10-1)2=4.1x10 1101x10110110110(2)(2015济南模拟)对某种电子元件的使用寿命进行跟踪调查,所得样本的频率分布直方图如图所示,由图可知,这一批电子元件中使用寿命在100300h的电子元件的数量与使用寿命在300600h的电子元件的数量的比是 .【解析】由于已知的频率分布直方图中组距为100，寿命在100300 h的电子元件对应的矩形的高分别为：则寿命在100300 h的电子元件的频率为：寿命在30060
8、0 h的电子元件对应的矩形的高分别为：则寿命在300600 h的电子元件的频率为：则寿命在100300 h的电子元件的数量与寿命在300600 h的电子 元件的数量的比大约是 答案：13,2 000 2 00013100()0.2,2 0002 000113,400 250 2 000113100()0.8,4002502 0000.21.0.8414考点1 数字特征的计算与应用【典例1】(1)(2014陕西高考)某公司10位员工的月工资(单位:元)为x1,x2,x10,其均值和方差分别为 和s2,若从下月起每位员工的 月工资增加100元,则这10位员工下月工资的均值和方差分别为()A.,s2
9、+1002 B.+100,s2+1002 C.,s2 D.+100,s2 xxxxx(2)(2015东城模拟)汽车的碳排放量比较大,某地规定,从2014年开始,将对二氧化碳排放量超过130g/km的轻型汽车进行惩罚性征税.检测单位对甲、乙两品牌轻型汽车各抽取5辆进行二氧化碳排放量检测,记录如下(单位:g/km).甲 80 110 120 140 150 乙 100 120 x 100 160 经测算得乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均值为 =120g/km.x乙从被检测的5辆甲品牌轻型汽车中任取2辆,则至少有一辆二氧化碳排放量超过130g/km的概率是多少?求表中x的值,并比较甲、乙两品牌轻型
10、汽车二氧化碳排放量的稳定性.【解题提示】(1)根据均值和方差的计算公式代入求解即可.(2)利用古典概型的概率公式求解.计算两种品牌车二氧化碳排放量的平均数与方差,再根据平均数和方差的意义判断.【规范解答】(1)选D.样本数据x1,x2,x10的均值 (x1+x2+x10),方差s2=(x1-)2+(x2-)2+(x10-)2 新数据x1+100,x2+100，,x10+100的均值 (x1+100+x2+100+x10+100)=(x1+x2+x10)+100=+100,新数据x1+100,x2+100,x10+100的方差 (x1+100-100)2+(x2+100-100)2+(x10+1
11、00-100)2=(x1-)2+(x2-)2+(x10-)2=s2.1x10110 xxx1x10 110 x21s10 110 xxxxxx(2)从被检测的5辆甲品牌的轻型汽车中任取2辆,共有10种不同的二氧化碳排放量结果:(80,110),(80,120),(80,140),(80,150),(110,120),(110,140),(110,150),(120,140),(120,150),(140,150).设“至少有一辆二氧化碳排放量超过130g/km”为事件A,则事件A包含以下7种不同的结果:(80,140),(80,150),(110,140),(110,150),(120,140
12、),(120,150),(140,150).所以P(A)=0.7.即至少有一辆二氧化碳排放量超过130g/km的概率为0.7.710由题可知，=120，所以 =120，解得x=120 (80-120)2+(110-120)2+(120-120)2+(140-120)2+(150-120)2=600.(100-120)2+(120-120)2+(120-120)2+(100-120)2+(160-120)2=480，因为 所以乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性好 x乙480 x521s5甲21s5乙22xx120ss甲乙甲乙，【一题多解】解答本题(1),你还会什么解法?解答本题(1),还可以利
13、用以下解法:因为平均值反映的是数据的平均水平,都增加100时,平均值也增加100;而方差反映的是数据的波动情况,都增加100时,数据的波动情况不变,故选D.【规律方法】众数、中位数、平均数及方差的意义及计算方法(1)平均数与方差都是重要的数字特征,是对总体的一种简明地描述,平均数、中位数、众数描述其集中趋势,方差和标准差描述波动大小.(2)平均数、方差的公式推广.若数据x1,x2,xn的平均数为 ,那么mx1+a,mx2+a,mx3+a,mxn+a的平均数是m +a.数据x1,x2,xn的方差为s2.(i)数据x1+a,x2+a,xn+a的方差也为s2;(ii)数据ax1,ax2,axn的方差
14、为a2s2.xx(3)方差的简化计算公式.s2=或写成 即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方.222212n1xxxnxn2222212n1sxxxxn，【变式训练】1.某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中,男、女平均分数分别是75,80,则这次考试该年级学生平均分数为 .【解析】由平均数的定义得7540%+80(1-40%)=78.答案:78 2.(2013江苏高考)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位:环),结果如下:运动员 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲 87 91 90 89 93 乙 89 90 91 88 92 则成绩较为稳定
15、(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 .【解题提示】利用平均数公式与方差公式求解可得结果.【解析】答案：2 8791 908993x90,5甲222222222222899091 8892x90,5879091 90909089909390s4,58990909091 9088909290s2.5乙甲乙故【加固训练】某人5次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为x,y,10,11,9,已知数据的平均数为10,方差为2,则|x-y|=.【解析】由题意得 答案：4 2222222xy10 11 910,51(x 10)(y 10)(10 10)(11 10)(9 10)2,5(x 10)(y 10
16、)0,(x 10)(y 10)8,x 102,x 102,y 102y 102,|xy|4.所以所以或所以考点2 茎叶图的应用【典例2】(1)(2013重庆高考)以下茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分).已知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为16.8,则x,y的值分别为()A.2,5 B.5,5 C.5,8 D.8,8(2)(2013安徽高考)为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况,用简单随机抽样,从这两校中各抽取30名高三年级学生,以他们的数学成绩(百分制)作为样本,样本数据的茎叶图如下:若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05,求甲校
17、高三年级学生总人数,并估计甲校高三年级学生这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格).设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为 估计 的值.【解题提示】(1)直接利用中位数和平均数的定义进行求解.(2)利用抽样比求总体容量,利用样本及格率估计总体及格率;利用样本平均成绩估计总体平均成绩.12x x，12x x-【规范解答】(1)选C.因为甲组数据的中位数为15，所以易知x=5,又乙组数据的平均数为16.8,所以 =16.8,解得y=8.故选C.9 15 18 10y245(2)设甲校高三年级学生总数为n，由题意知 =0.05,即n=600，样本中甲校高三年级学生数学成绩不及
18、格人数为5，据此估计甲校 高三年级此次联考数学成绩及格率为1-设甲、乙两校样本平均数分别为 根据样本茎叶图可知，=(7-5)+(55+8-14)+(24-12-65)+(26-24-79)+(22-20)+92=2+49-53-77+2+92=15.因此 =0.5，故 的估计值为0.5分.30n55.30612x,x，121230 xx30 x30 x 12x x 12xx【互动探究】题(1)中甲组的平均分是多少，乙组的中位数是多少？【解析】因为x=5，y=8，所以甲组的平均分是 乙组的中位数是18.9 12 15242717.45，【规律方法】茎叶图的优缺点 优点:一是所有的信息都可以从这个
19、茎叶图中得到;二是茎叶图便于记录和表示,能够展示数据的分布情况.缺点:样本数据较多或数据位数较多时,不方便表示数据.【变式训练】1.(2015长治模拟)对某商 店一个月内每天的顾客人数进行统计,得 到样本的茎叶图(如图所示),则该样本的 中位数、众数、极差分别是()A.47,45,56 B.46,45,53 C.46,45,56 D.45,47,53【解析】选C.由茎叶图可知，中位数为 =46，众数为45，极差为68-12=56.454722.(2013山东高考)将某选手的9个得分去掉1个 最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分 为91，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨
20、认，在图中以x表示：则7个剩余分数的方差为()116366 7A.B.C.36D.977【解析】选B.这组数据为87,87,94,90,91,90,90+x,99,91,最高分为99，最低分为87，剩余数据为87,94,90,91,90,90+x,91.222222287949091 9090 x9191x4.787 9194 9190 9191 9190 91(94 91)91 91736.7，所以方差为【加固训练】1.(2013重庆高考)如图是 某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位:台)的茎叶图,则数据落在区间22,30)内的概率为()A.0.2 B.0.4 C.0.5 D.0.6【
21、解题提示】直接根据数据的总个数和落在区间22,30)内的个数求解即可.【解析】选B.落在区间22,30)内的个数为4个,总的数据有10个,故概率为0.4.选B.2.(2013新课标全国卷)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药,B药)的疗效,随机地选取20位患者服用A药,20位患者服用B药,这40位患者在服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:h)实验的观测结果如下:服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间:0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4 服用B药的20
22、位患者日平均增加的睡眠时间:3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5(1)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好.(2)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好.【解析】(1)设A药观测数据的平均数为 ，B药观测数据的平均数 为 ，由观测结果可得 (0.6+1.2+1.2+1.5+1.5+1.8+2.2+2.3+2.3+2.4+2.5+2.6+2.7+2.7+2.8+2.9+3.0+3.1+3.2+3.5)=2.3，(0.5+0.5+0.6+0
23、.8+0.9+1.1+1.2+1.2+1.3+1.4+1.6+1.7+1.8+1.9+2.1+2.4+2.5+2.6+2.7+3.2)=1.6，由以上计算结果可得 ，因此可以看出A药的疗效更好.xy1x201y20 xy(2)由观测结果可绘制如下茎叶图，从茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有 的叶集中在茎2,3上，B药疗效的试验结果有 的叶集中在茎0,1上，由此可以看出A药的疗效更好.710710考点3 频率分布直方图 知考情 高考中对频率分布直方图的考查主要侧重于以下三个方面:一是求某一组的频率或频数,二是完善频率分布直方图,补画小矩形或求纵轴中的参数;三是与概率相结合出题.明角度 命题角度
24、1:利用频率分布直方图求频率或频数【典例3】(2014山东高考改编)为研究某药品的疗效,选取若干名志 愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压数据(单位:kPa)的分组区间 为12,13),13,14),14,15),15,16),16,17,将其按从左到右的 顺序分别编号为第一组,第二组,第五组.如图是根据试验数据制 成的频率分布直方图.所有志愿者的舒张压中位数为 ,众数 为 .若已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为 .【解题提示】中位数是使直方图中左右两侧面积相等的值,众数是最高的小矩形的中间值,利用已知数据估计总体数据,再根据比例计算第三组数据有疗
25、效的人数.【规范解答】由图知,若中位数是a,则0.24+0.16+(a-14)0.36=0.5,解得a14.28,众数是14.5,因为样本总数为N=50.所以 若第三组中有疗效的人数为x,则 =0.36,解得x=12.答案:14.28 14.5 12 200.160.246x50命题角度2:利用频率分布直方图求概率【典例4】(2014重庆高考)20名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频率分布直方图如下:(1)求频率分布直方图中a的值.(2)分别求出成绩落在50,60)与60,70)中的学生人数.(3)从成绩在50,70)的学生中任选2人,求此2人的成绩都在60,70)中的概率.【解题提示】直接
26、根据频率之和为1可求出a的值,再根据对应频率可求出成绩落在50,60)与60,70)中的学生人数,然后利用古典概型概率公式求解成绩都在60,70)中的概率.【规范解答】(1)根据直方图知组距为10,由(2a+3a+7a+6a+2a)10=1,解得a=0.005.(2)成绩落在50,60)中的学生人数为20.0051020=2.成绩落在60,70)中的学生人数为30.0051020=3.1200(3)记成绩落在50,60)中的2人为A1,A2,成绩落在60,70)中的3人为B1,B2,B3,则从成绩在50,70)的学生中任选2人的基本事件共有10个:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2)
27、,(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),其中2人的成绩都在60,70)中的基本事件有3个:(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),故所求概率为P=.310悟技法 关于频率分布直方图的常见题型及解题思路(1)求某组内的频数或频率:利用小矩形的面积即数据落在该区间内的频率求解(2)求概率:通常是借助频率分布直方图的几何意义,用频率近似估计概率.通一类 1.(2013陕西高考)对一批产品的长度(单位:mm)进行抽样检测,如图为检测结果的频率分布直方图.根据标准,产品长度在区间20,25)上的为一等品,在区间15,20)
28、和区间25,30)上的为二等品,在区间10,15)和30,35上的为三等品.用频率估计概率,现从该批产品中随机抽取一件,则其为二等品的概率为()A.0.09 B.0.20 C.0.25 D.0.45【解析】选D.组距为5,二等品的概率为1-(0.02+0.06+0.03)5=0.45.所以,从该批产品中随机抽取1件,则其为二等品的概率为0.45.2.(2013辽宁高考)某班的全体学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为20,40),40,60),60,80),80,100.若低于60分的人数是15,则该班的学生人数是()A.45 B.50 C.55 D.60【解析】选B.由
29、频率分布直方图,计算出低于60分的人数的频率(前两个小矩形的面积)p=200.005+200.01=0.3,则总人数为150.3=50.3.(2015六安模拟)某校从高一年级学生中随机抽取100名学生,将他们期中考试的数学成绩(均为整数)分成六段:40,50),50,60),90,100后得到频率分布直方图(如图所示),则分数在70,80)内的人数是 .【解析】因为分数在70,80)内的频率为1-10(0.005+0.010+0.015+0.015+0.025)=0.3,所以分数在70,80)内的人数是0.3100=30.答案:30 4.(2015日照模拟)某商场在庆元宵促销 活动中,对元宵节
30、当天9时至14时的销售额 进行统计,其频率分布直方图如图所示.已 知9时至10时的销售额为2.5万元,则11时 至12时的销售额为 万元.【解析】设11时至12时的销售额为x万元,则 解得x=10.答案:10 2.5x0.10.4，规范解答13 统计与概率的综合应用【典例】(12分)(2014龙岩模拟)为了解某校学生暑期参加体育锻炼的情况,对某班M名学生暑期参加体育锻炼的次数进行了统计,得到如下的频率分布表与直方图:组别 锻炼次数 频数(人)频率 1 2,6)2 0.04 2 6,10)11 0.22 3 10,14)16 c 4 14,18)15 0.30 5 18,22)d e 6 22,
31、26 2 0.04 合计 M 1.00(1)求频率分布表中M,c,d及频率分布直方图中f的值.(2)求参加锻炼次数的众数(直接写出答案,不要求计算过程).(3)从参加锻炼次数不少于18次的学生中任选2人,求至少一人参加锻炼的次数在区间22,26内的概率.解题导思 研读信息 快速破题 规范解答 阅卷标准 体会规范(1)1分 因为2+11+16+15+d+2=M,所以d=4.2分 4分(2)众数为12.6分 20.04,M50.M 因为所以160.32c0.32,f0.08.504又因为所以(3)参加次数不少于18次的学生共有:d+2=6人,设在18,22)内的4人为:A,B,C,D,在22,26
32、内的2人为m,n,7分 62ABACADAmAnBCBDBmBnCDCmCnDmDnmn15922 26AmAnBmBnCmCnDmDnmn910在这 人中任取 人共有：，共种，分其中至少一人参加锻炼的次数在区间，内有，共 种分设“从参加锻炼次数不少于18次的学生中任选2人,其中至 少一人参加锻炼的次数在区间22,26内”为事件M,P(M)=12分 93.155高考状元 满分心得 把握规则 争取满分(1)注意审题,看清题目要求,既要步骤完整,又能够省时省力,如本题(2)中,只需写出答案,就不必解释理由.(2)步骤要规范严谨,不能随意删减:本题(3)中不求15和9这两个数据,直接得出P的值是不得分的.