1、第三节 三角函数的图象与性质【知识梳理】1.必会知识 教材回扣 填一填(1)周期函数:周期函数:对于函数f(x),如果存在一个_,使得当x取_ _内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期 函数,_叫做这个函数的周期.最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_ _,那么这个_就叫做f(x)的最小正周期.非零常数T 定 义域 非零常数T 最小的正 数 最小正数(2)正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质:函数 y=sinx y=cosx y=tanx 图象 定义域 _ _ _ 值域 _ _ _ 最小正周期 2 2 R R-1，1-1，1 R x|xR且
2、x +k，kZ 2函数 y=sinx y=cosx y=tanx 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 递增区间是 _ _，递减区间是_ _ 递增区间是 _ _，递减区间是 _ _ 递增区间是 _ _ 2k,2k22(kZ)32k,2k22(kZ)2k-，2k(kZ)2k，2k+(kZ)(kZ)(k,k)22 函数 y=sinx y=cosx y=tanx 最值 x=_时，ymax=1；x=_时，ymin=-1 x=_时，ymax=1；x=_ 时，ymin=-1 无最大值 和最小值 2k(kZ)2 2k(kZ)22k(kZ)+2k(kZ)函数 y=sinx y=cosx y=tanx 对 称
3、 性 对称 中心 _ _ _ _ 对称 轴 _ _ 无对称轴(k，0)，kZ(k,0),kZ2k(,0),kZ2xk,kZ2 x=k，kZ 2.必备结论 教材提炼 记一记 对称与周期 正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是 周期.正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期.143.必用技法 核心总结 看一看(1)常用方法:数形结合法.(2)数学思想:函数与方程、数形结合.(3)记忆口诀:正(余)弦曲线,都是一条波浪线 波峰取得最大值,波谷处见最小值 波峰、波谷相连间,要么递增要么减 两条曲线很完美,中心对称轴对称【小题快练】1.思考辨
4、析 静心思考 判一判(1)正弦函数y=sin x在其任一周期内都只有一个增区间,一个减区间.()(2)余弦函数y=cos x的对称轴是y轴.()(3)正切函数y=tan x在定义域内是增函数.()(4)若非零实数T是函数f(x)的周期,则kT(k是非零整数)也是函数f(x)的周期.()【解析】(1)错误.如正弦函数y=sin x在0,2)上有两个增区间 0,和 ,2)(2)错误余弦函数y=cos x的对称轴有无穷多 条，y轴只是其中的一条.(3)错误正切函数y=tan x在每一个区间(k-,k+)(kZ)上都是增函数，但在定义域内不是单调函 数，故不是增函数.(4)正确.周期函数的周期不只一个
5、，其某一周期 的非零整数倍全是其周期 答案：(1)(2)(3)(4)232 222.教材改编 链接教材 练一练(1)(必修4P40T3(2)改编)函数f(x)=4-2cos x的最小值是_，取得最小值时，x的取值集合为_.【解析】f(x)min=4-2=2,此时，x=2k(kZ),x=6k(kZ),所以x的取值集合为x|x=6k,kZ 答案：2 x|x=6k,kZ 1313(2)(必修4P44例6改编)函数y=tan()的最小正周期是_,单调增区间是_.【解析】由 ,得 x 0,0，直线x=和x=是函数f(x)=sin(x)图象的两条相邻的对称轴，则=()【解析】选A.由于直线x=和x=是函数
6、f(x)=sin(x)图象的两条相邻的对称轴，所以函数f(x)的最小正周期T=2，所以=1，所以 =k (kZ).又0 ,由正弦曲线得 +2kx 0.(3)不知道辨析大小而取错交集，导致答案错误.【互动探究】本例(2)改为求不等式 +2cos x0的解集，如何求？【解析】由 +2cos x0,得cos x 由余弦函数的图象得，其解集为 33.257x|2kx2k,kZ.66 3【规律方法】1.三角函数定义域的求法(1)应用正切函数y=tan x的定义域求函数y=Atan(x+)的定义域.(2)转化为求解简单的三角不等式求复杂函数的定义域.2.简单三角不等式的解法(1)利用三角函数线求解.(2)
7、利用三角函数的图象求解.【变式训练】(2015深圳模拟)函数 的定义域为_.【解析】要使函数有意义，必须使sin x-cos x0.利用图象.在同一坐标系中画出0,2上y=sin x和y=cos x的图象，如图所示.ysin xcos x在0,2内，满足sin x=cos x的x为 再结合正弦、余弦函数的周期是2，所以定义域为 答案：544，5x|2kx2k,kZ.44 5x|2kx2k,kZ44【加固训练】函数 的定义域是_.【解析】由1-tan2x0得tan2x1,即-1tan x1,由正切函数的图象得不等式的解集为 答案：2y1 tan xx|kxk,kZ.44 x|kxk,kZ44 考
8、点2 三角函数的最值与值域【典例2】(1)函数y=-2sin x-1,x )的值域是()A.-3,1 B.-2,1 C.(-3,1 D.(-2,1(2)(2015成都模拟)函数y=cos2x-2sin x的最大值与最小值分别 为()A.3,-1 B.3,-2 C.2,-1 D.2,-2 713,66【解题提示】(1)弄清角x的取值范围，结合正弦曲线求解.(2)换元转化为二次函数的最值.【规范解答】(1)选D.由正弦曲线知y=sin x在 )上，-1 sin x0)在区间 上是增函数，则 的取值范围是_.【解题提示】根据 是相应增区间的子集构造不等式求解.2,232,23【规范解答】由 得f(x
9、)的增区间是 因为f(x)在 上是增函数，所以 所以 且 ，所以 答案：2kx2kkZ22 ，2k2k,kZ.22，2,232,.2322 22 2323(0,.43(0,4【一题多解】解答本题，还有以下两种解法:方法一：因为x ,0.所以x ,又f(x)在区间 上是增函数，所以 则 又0，得0 2,232,232,232,232 2 ，22232 ，3.4方法二：因为f(x)在区间 上是增函数，故原点到 的距离不超过 ，即 得T ,即 ,又0，得00)的周 期为 ,函数y=Atan(x+)(0)的周期为 求解.22.求三角函数单调区间的两种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的
10、代数式整体当作一个角(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解.(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间.提醒：求解三角函数的单调区间时若x的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域.3.已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法(1)子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解.(2)反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解.(3)周期法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超 过 周期列不等式(组)求解.14通一类 1.(2015临沂
11、模拟)已知函数f(x)=4sin(-2x),x-,0,则f(x)的单调递减区间是()37A.,1212B.,27C.,012125D.,01212 【解析】选C.f(x)=由 (kZ)，得 所以函数f(x)的减区间是 (kZ).因为x-,0,所以函数f(x)的减区间是 4sin(2x)4sin(2x).33 2k2x2k232 5kxk(kZ).1212 5k,k1212 7,0.1212 2.(2015福州模拟)函数f(x)=sin(x-)的图象的一条对称轴是()【解析】选C.方法一：(图象特征)因为正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点，故令x-=k ，kZ，所以x=k ，kZ.取k=
12、-1，则 4A.xB.xC.xD.x4242 4234x.4 方法二：(验证法)x=时，sin(-)=0，不合题意，排除A；x=时，sin(-)=，不合题意，排除B；x=-时，sin(-)=-1，符合题意，C项正确；而x=-时，sin(-)=不合题意，故D项也不正确.4442242244422422，3.(2015黄山模拟)已知f(x)=Asin(x+)(A0,0)在x=1处取最大值，则()A.f(x-1)一定是奇函数 B.f(x-1)一定是偶函数 C.f(x+1)一定是奇函数 D.f(x+1)一定是偶函数【解析】选D.由于f(x)=Asin(x+)(A0,0)在x=1处取 最大值，因此1+=
13、+2k,得=+2k-所以f(x+1)=Asin(x+1)+=Acos x为偶函数，故选D.22Asin(x2k)2 4.(2015承德模拟)若函数f(x)=sin x(0)在0,上单调递增，在区间 上单调递减，则=_.【解析】方法一：由于函数f(x)=sin x(0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图象可知，为函数f(x)的 周期，故 ,解得 方法二：由题意，得f(x)max=f()=sin =1.由已知并结合正弦函数图象可知，解得 答案：3,3 2 3142433.2 33,32 3.2 32巧思妙解6 巧用诱导公式解决奇偶性问题【典例】(2015合肥模拟)把函数f(x)=sin(
14、2x+)(0)的图象向右平移 个单位，所得图象对应的函数是偶函数，则的值 为()122A.B.0C.D.333【常规解法】选D.平移后，所得图象对应的函数是g(x)=sin2(x-)+=sin(2x+-),由题意得，g(x)是偶函数，所以对xR,g(-x)=g(x)恒成立，因此sin(-2x+-)=sin(2x+-),即-sin 2xcos(-)+cos 2xsin(-)=sin 2xcos(-)+cos 2xsin(-)，整理得sin 2xcos(-)=0.1266666666因为xR,所以cos(-)=0.又因为0,故-=.所以=6622.3【巧妙解法】选D.平移后，所得图象对应的函数是g
15、(x)=sin2(x-)+=sin(2x+-)，由题意，g(x)是偶函数.所以-=+k(kZ)即=+k(kZ)，因为0，所以=.126622323【方法指导】1.诱导公式的应用(1)应用诱导公式把正弦化为余弦，如sin(+x)=cos x,sin(-x)=cos x,sin(+k+x)=(2)应用诱导公式把余弦化为正弦，如cos(+x)=-sin x,cos(-x)=sin x,cos(+k+x)=222cos xkcos xk.，是偶数，是奇数222sin x,k,sin x,k.是偶数是奇数2.正、余弦型函数奇偶性的判断技巧 函数y=sin(x+)，当=k+时是偶函数.函数y=cos(x+),当=k+时是奇函数.22【类题试解】(2015昆明模拟)若函数f(x)=cos(2x+-)(0)是奇函数，则=_.【常规解法】因为f(x)为奇函数，所以对xR,f(-x)=-f(x)恒成立，因此cos(-2x+-)=-cos(2x+-).即cos 2xcos(-)sin 2xsin(-)=-cos 2x cos(-)+sin 2xsin(-),3333333整理得cos 2xcos(-)=0.因为xR,所以cos(-)=0.又因为0，故-=，所以=答案：33325.656【巧妙解法】因为f(x)为奇函数,所以-=+k,=+k,kZ.又因为0,故=.答案：35625656