1、第五节 对 数 函 数【知识梳理】1.必会知识 教材回扣 填一填(1)对数的概念:如果ax=N(a0,且a1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=_.logaN(2)对数的性质、换底公式与运算性质:性质 loga1=_;logaa=_;=_.换底 公式 logab=_(a,c均大于0且不等于1,b0)运算 性质 如果a0,且a1,M0,N0,那么:loga(MN)=_;loga =_;logaMn=_(nR)alog Nacclog blog aMN0 1 N logaM+logaN logaM-logaN nlogaM(3)对数函数的定义、图象与性质:定义 函数_叫做对数函数 图象 a1
2、 0a0,且a1)性质 定义域:_ 值域:_ 当x=1时,y=0,即过定点_ 当0 x1时,y1时,_ 当0 x0;当x1时,_ 在(0,+)上为_ 在(0,+)上为_(0,+)(-,+)(1,0)y0 y0,且a1)与对数函数_(a0,且a1)互为 反函数,它们的图象关于直线_对称.y=logax y=x 2.必备结论 教材提炼 记一记(1)换底公式的两个重要推论 logab=其中a0,且a1,b0,且b1,m,nR.b1;log amnaanlog blog b.m(2)对数函数的图象与底数大小的比较 如图,作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.故0cd1ab.由此
3、我们可得到以下规律:在第一象限内从左到右底数逐渐增大.3.必用技法 核心总结 看一看(1)常用方法:换元法、图象平移法.(2)数学思想:数形结合思想、分类讨论思想.(3)记忆口诀:换底公式的记忆口诀 换底公式真神奇,换成新底可任意,原底加底变分母,真数加底变分子.对数函数性质口诀 对数函数很简单,图象恒过(1,0)点.a大1时单调增,(0,1)之间单调减.图象都在y轴右,第一象限底逆减.【小题快练】1.思考辨析 静心思考 判一判(1)logax2=2logax.()(2)函数y=log2(x+1)是对数函数.()(3)函数y=ln 与y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域相同.()(4)若
4、logamlogan,则m1时成立,而0a1时不成立.答案:(1)(2)(3)(4)1x1x2.教材改编 链接教材 练一练(1)(必修1P68T3(2)改编)的值是()A.B.1 C.10 D.100【解析】选B.lg 5lg 20lg 5lg 20lg 1001.12(2)(必修1P75A组T11改编)(log29)(log34)=()A.B.C.2 D.4【解析】选D.(log29)(log34)=1214lg 9lg 42lg 32lg 24.lg 2lg 3lg 2lg 33.真题小试 感悟考题 试一试(1)(2015厦门模拟)函数y=的定义域为()A.(-4,-1)B.(-4,1)C
5、.(-1,1)D.(-1,1【解析】选C.由题意可知 2ln x1x3x42x10,x1,1x1.4x1x3x40 (2)(2014陕西高考)已知4a=2,lg x=a,则x=.【解析】由4a=2得a=,又由lg x=a得 =x,即x=.答案:1212101010(3)(2015临沂模拟)若loga(m+1)0),则a的取值范围是 .【解析】因为m+1m,loga(m+1)logam,所以y=logax是减函数,故0a0,所以m=11abA.2 B.3 C.5 D.10251111ablog mlog m 10.2.计算：=.【解析】方法一：原式 答案：2log(2323)221 log232
6、32 2221 log 42232321 log(42)211log 2.2212方法二：原式 答案：242 342 3log()22 2222223131log 223131log221loglog2.22123.计算：=.【解析】原式 答案：1 266661 log 3log 2 log 18log 42666662666662266666666666612log 3log 3loglog6 33log 412log 3log 31 log 3 1log 3log 412log 3log 31log 3log 42 1 log 3log 6log 3log 21.2log 2log 2lo
7、g 2 考点2 对数函数的图象及应用 【典例2】(1)(2014山东高考)已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数.其中a0,a1)的图象如图,则下列结论成立的是()A.a1,c1 B.a1,0c1 C.0a1 D.0a1,0c1(2)(2015乌鲁木齐模拟)当0 x 时,4xlogax,则a的取值范围是()【解题提示】(1)根据对数函数的性质及函数图象与平移进行判断.(2)把不等式恒成立问题转化为函数图象的位置关系,然后画出函数的图象解决.1222A.(0)B.(,1)C.1,2 D.2,222，【规范解答】(1)选D.由图象单调递减的性质可得0a1,图象向左平 移小于1个单位,故0c1
8、,故选D.(2)选B.由题意得,当0a1时,要使得4xlogax(0 x ),即当0 x 时,函数y=4x的图象在函数y=logax图象的下方,则0a1,如图所示.1212且 logaa2,所以a2 ,从而 a0,且a1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是()【解题提示】利用图象的变换知识,或利用函数的增减性来排除干扰 项.【解析】选B.由题得,a=3,因此,A选项函数为y=3-x=,在定义域内 是减函数,图象不对;B选项函数为y=x3,图象正确;C选项函数为y=(-x)3,在定义域内应是减函数,图象不对;D选项y=log3(-x)应与 y=log3x的图象关于y轴对称,因此不符.x1()
9、3【加固训练】1.函数y=的图象大致为()xxxxeeln ee【解析】选C.由题意,知 0,即ex-e-x0,所以x0,即函数的 定义域是(0,+),排除选项A,B.由于0 1,所以 2,故选C.2x0,log x10,命题角度2:比较对数值的大小【典例4】(2014辽宁高考)已知 则()A.abc B.acb C.cab D.cba【解题提示】结合指数函数与对数函数的图象及性质,判断a,b,c的范围,确定大小.1321211a2,blog,clog.33【解析】选C.由于指数函数y=2x在R上为增函数,则0 20=1;而对数函数y=log2x为(0,+)上的增函数,则log2 ab.132
10、1312log x112211loglog32命题角度3:解对数不等式【典例5】(2015宁波模拟)设函数f(x)=若f(a)f(-a),则实数a的取值范围是()A.(-1,0)(0,1).B.(-,-1)(1,+)C.(-1,0)(1,+)D.(-,-1)(0,1)212log x,(x0)logx,(x0)【解题提示】由a0或af(-a),列出不等式组求解,化简中注意到换底公式的应用.【规范解答】选C.由题意可得 或 解得a1或-1alogab的不等式,借助y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a1与0ab的不等式,需先将b化为以a为底的对数式的形式.通一类 1.(2014天
11、津高考)设a=log2,b=log ,c=-2,则()A.abc B.bac C.acb D.cba【解析】选C.因为a=log21,b=log 0,0c=-21,所以bca.12122.(2015日照模拟)已知log blog a0c2a2c B.2a2b2c C.2c2b2a D.2c2a2b【解析】选A.由log blog aa1,又0cac,所以2b2a2c,故选A.121212123.(2015开封模拟)设函数f(x)=则满足f(x)2的 x的取值范围是()A.-1,2 B.0,2 C.1,+)D.0,+)【解析】选D.当x1时,21-x2,解得x0,所以0 x1;当x1时,1-lo
12、g2x2,解得x ,所以x1.综上可知x0.1 x22,x1,1 log x,x1,12自我纠错6 对数函数的参数求值问题 【典例】(2015兰州模拟)已知函数y=logax(2x4)的最大值比 最小值大1,则a的值为_.【解题过程】【错解分析】分析上面解题过程,你知道错在哪里吗?提示:对数函数的底数含有参数a,错在没有讨论a与1的大小关系而直接按a1解题.【规避策略】1.注意分类讨论 对数函数的底数决定了对数函数的单调性,对数函数在闭区间上的最值取决于其单调性,如果对数函数的底数含有参数,在处理有关问题时,必须对参数进行讨论.2.解决与对数有关问题的两个关注点:(1)务必先研究函数的定义域.(2)对数函数的单调性取决于底数a,应注意底数的取值范围.【自我矫正】(1)若a1,则函数y=logax(2x4)为增函数,由题意得loga4-loga2=loga2=1,所以a=2,又21,符合题意.(2)若0a1,则函数y=logax(2x4)为减函数,由题意得loga2-loga4=loga =1,所以a=,又0 1,符合题意.综上可得a=2或a=.答案:2或 1212121212