1、第七章 第三节一、选择题1(文)若 2x4y4，则点(x，y)必在()A直线 xy20 的左下方B直线 xy20 的右上方C直线 x2y20 的右上方D直线 x2y20 的左下方答案 D解析 2x4y2 2x2y，由条件 2x4y4 知，2 2x2y4，x2y2，即 x2y21 Ba1Ca1 Da1，故 a1，故选 D6(文)已知约束条件x3y40，x2y10，3xy80，若目标函数 zxay(a0)恰好在点(2,2)处取得最大值，则 a 的取值范围为()A0a13 D0a3，a13.(理)(2014石家庄市二检)已知实数 x，y 满足y1，y2x1，xym.如果目标函数 zxy 的最小值为2
2、，则实数 m 的值为()A0 B2 C4 D8答案 D解析 不等式组y1y2x1xym表示的平面区域如图所示，由2xy10，xym0.得x1m3，y2m13.作直线 l0：xy0，平移直线 l0，当 l0 经过平面区域内的点(1m3，2m13)时，zxy取最小值2，1m32m132，m8.二、填空题7(文)(2014海南六校联考)在平面直角坐标系 xOy 中，M 为不等式组2xy20，x2y10，3xy80，所表示的区域上一动点，则直线 OM 斜率的最小值为_答案 13解析 画出不等式组2xy20 x2y103xy80表示的平面区域如图所示由x2y103xy80，得x3，y1.当点 M 的坐标
3、为(3，1)时，直线 OM 的斜率取最小值13.(理)(2014豫东、豫北十所名校段测)已知变量 x，y 满足约束条件1xy2x1，则xy的取值范围是_答案(1，13解析 画出约束条件1xy2x1表示的平面区域如图所示yx表示平面区域内的点与原点连线的斜率的取值范围，yx3，1)，xy(1，13点评 数形结合思想在线性规划中的应用：线性规划问题的求解基本上是在图上完成的，注意图形要力求准确规范另外还要记住常见代数式的几何意义：(1)x2y2表示点(x，y)与原点(0,0)的距离；(2)xa2yb2表示点(x，y)与点(a，b)的距离；(3)yx表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率；(4)
4、ybxa表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率等练习下列各题：变量 x、y 满足x4y30，3x5y250，x1.(1)设 zyx，求 z 的最小值；(2)设 zx2y2，求 z 的取值范围；(3)设 zx2y26x4y13，求 z 的取值范围分析 作出可行域，理清所求表达式的几何意义，数形结合求解解析 由约束条件x4y30，3x5y250，x1.作出(x，y)的可行域如图所示由x1，3x5y250，解得 A1，225.由x1，x4y30，解得 C(1,1)由x4y30，3x5y250，解得 B(5,2)(1)zyxy0 x0.z 的值即是可行域中的点与原点 O 连线的斜率观察图形可知 zm
5、inkOB25.(3)zx2y2 的几何意义是可行域上的点到原点 O 的距离的平方结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin|OC|2，dmax|OB|29，2z29.(3)zx2y26x4y13(x3)2(y2)2 的几何意义是可行域上的点到点(3,2)的距离的平方结合图形可知，可行域上的点到(3,2)的距离中，dmin1(3)4，dmax 3522228.16z64.设不等式组xy20，x0，y4.表示的平面区域为 D，若指数函数 yax 的图象上存在区域 D 上的点，则 a 的取值范围是()A(0,1)B(1,2)C2,4 D2，)答案 D解析 作出可行区域，如图，由题可知点(2
6、，a2)应在点(2,4)的上方或与其重合，故 a24，a2 或 a2，又 a0 且 a1，a2.设实数 x，y 满足不等式组xy10，2xy60，xyk20，且 x2y2 的最小值为 m，当 9m25时，实数 k 的取值范围是()A(172,5)B 172,5C(172,5 D(0,5答案 B解析 不等式组表示的可行域如图中的阴影部分，x2y2 的最小值 m 即为|OA|2，联立xy10 xyk20，得 A(k32，k12)由题知 9(k32)2(k12)225，解得 172k5.(2014山东青岛一模)已知实数 x，y 满足约束条件x0，4x3y4，y0，则 wy1x 的最小值是()A2 B
7、2 C1 D1答案 D解析 画出可行域，如图所示wy1x 表示可行域内的点(x，y)与定点 P(0，1)连线的斜率，观察图形可知 PA 的斜率最小为1001 1，故选 D(2014安徽池州一中月考)设二元一次不等式组xy80，2xy140，x2y190所表示的平面区域为 M，使函数 yax2 的图象过区域 M 的 a 的取值范围是()A89，52 B52，9C(，9)D89，9答案 D解析 题中可行域 M 如图所示，yax2 经过可行域 M，则 a0，分别计算出经过(3,8)，(1,9)点时 a 的值，则 a189，a29，所以 a 的取值范围为89，9，故选 D8(2014北京西城一模)若不
8、等式组x1，y0，2xy6，xya表示的平面区域是一个四边形，则实数 a 的取值范围是_答案(3,5)解析 平面区域如图中的阴影部分，直线 2xy6 交 x 轴于点 A(3,0)，交直线 x1 于点 B(1,4)，当直线xya 与直线 2xy6 在线段 AB(不包括线段端点)时，此时不等式组所表示的区域是一个四边形将点 A 的坐标代入直线 xya 的方程得a3，将点 B 的坐标代入直线 xya 的方程得 a5，故实数 a 的取值范围是(3,5)9(2014吉林市二检)已知实数 x，y 满足yxxy1y1，则目标函数z2xy 的最大值为_答案 5解析 不等式组表示的平面区域如图所示，作直线 l0
9、：2xy0，平移直线 l0，当 l0 经过平面区域内的点(2，1)时，z 取最大值 5.点评 应注意线性目标函数 zaxby 当 b0 与 b0，y0，则OM ON 的最大值为()A 2 B2 2 C 3 D2 3答案 B解析 如图，点 N 在图中阴影部分区域内，当 O，M，N 共线，且|ON|2 时，OM ON 最大，此时 N(2，2)，OM ON(1,1)(2，2)2 2，故选 B12设实数 x，y 满足条件4xy100，x2y80，x0，y0，若目标函数 zaxby(a0，b0)的最大值为 12，则2a3b的最小值为()A256 B83 C113 D4答案 A解析 由可行域可得，当 x4
10、，y6 时，目标函数 zaxby 取得最大值，4a6b12，即a3b21，2a3b(2a3b)(a3b2)136 baab136 2256，故选 A13(文)(2014郑州市质检)设实数 x，y 满足不等式组xy2yx2y1，则 x2y2 的取值范围是()A1,2 B1,4C 2,2 D2,4答案 B解析 画出不等式组表示的平面区域如图所示，x2y2 表示的几何意义为平面区域内的点到坐标原点距离的平方，x2y21,4(理)(2014衡水中学五模)设 x，y 满足约束条件3xy60 xy20 x，y0，若目标函数 zaxby(a，b0)的最大值是 12，则 a2b2 的最小值是()A 613 B
11、365 C65 D3613答案 D解析 作出可行域如图，zaxby 的最大值为 12，a0，b0，当直线 zaxby 经过点 A(4,6)时 z 取到最大值，4a6b12，2a3b6，原点到直线 2x3y6 的距离 d 613，a2b2 的最小值为3613.14(2013湖北)某旅行社租用 A、B 两种型号的客车安排 900 名客人旅行，A、B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人，租金分别为 1600 元/辆和 2400 元/辆，旅行社要求租车总数不超过 21 辆，且 B 型车不多于 A 型车 7 辆，则租金最少为()A31200 元 B36000 元C36800 元 D38400
12、元答案 C解析 设租 A 型车 x 辆，B 型车 y 辆，租金为 z 元，则36x60y900yx7yx21x，yN，画出可行域(图中阴影区域中的整数点)，则目标函数 z1600 x2400y 在点 N(5,12)处取得最小值 36800，故选 C二、填空题15(2013濮阳模拟)已知点 A(2,0)，点 P 的坐标(x，y)满足x4y30，4x5y25，x10，则|OP|cosAOP(O 为坐标原点)的最大值是_答案 5解析|OP|cosAOP 即为OP 在OA 上的投影，即求不等式组所表示的可行域中点的横坐标的最大值由x4y30，3x5y25，可得交点的坐标为(5,2)，此时|OP|cos
13、AOP 取值最大，|OP|cosAOP 的最大值为 5.16(文)(2013淮南第二次联考)已知 x，y 满足x1，y1，xy3.则目标函数 z2xy 的最大值为_答案 3解析 画出可行域如图，易知 y2xz 过点 C(2,1)时，zmax3.(理)(2014湖北黄冈三月月考)已知实数 x，y 满足yx1，x3，x5y4，则x2y 的最小值是_答案 4解析 可行域如图所示，令x2y k，所以 yx2k.当 k0 时，有两种可能情况：一是抛物线过点 A(32，12)或 C(3,2)所以x2y 的最小值是92；二是当抛物线 yx2k 与直线 xy10(32x3)相切时，联立方程组消掉 y 得到 x
14、2kxk0，k24k0，k4，此时x2y 的最小值是 4.综上可知x2y 的最小值是 4.三、解答题17(文)某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共 100 个，生产一个卫兵需 5min，生产一个骑兵需 7min，生产一个伞兵需 4min，已知总生产时间不超过 10h.若生产一个卫兵可获利润 5 元，生产一个骑兵可获利润 6 元，生产一个伞兵可获利润 3 元(1)用每天生产的卫兵个数 x 与骑兵个数 y 表示每天的利润 W(元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？解析(1)依题意每天生产的伞兵个数为 100 xy，所以利润 W5x6y3(100 xy)
15、2x3y300.(2)约束条件为：5x7y4100 xy600，100 xy0，x0，y0，xZ，yZ.整理得x3y200，xy100，x0，y0，xZ，yZ.目标函数为 W2x3y300，如图所示，作出可行域初始直线 l0：2x3y0，平移初始直线经过点 A 时，W 有最大值，由x3y200，xy100，得x50，y50.最优解为 A(50,50)，所以 Wmax550(元)答：每天生产卫兵 50 个，骑兵 50 个，伞兵 0 个时利润最大，为 550 元(理)(2013广东茂名一模)某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品
16、的概率多 0.25，甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率少 0.05.(1)分别求甲、乙产品为一等品的概率 P 甲，P 乙；(2)已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示，且该厂有工人 32 名，可用资金55 万元设 x，y 分别表示生产甲、乙产品的数量，在(1)的条件下，求 x，y 为何值时，zxP甲yP 乙最大，最大值是多少？项目工人(名)资金(万元)用量 产品 甲420乙85解析(1)依题意得P甲P乙0.251P甲P乙0.05，解得P甲0.65，P乙0.4，故甲产品为一等品的概率 P 甲0.65，乙产品为一等品的概率 P 乙0.4.(2)依题意得 x、y 应满足的约束条件为4x8y32，20 x5y55，x0，y0，且 z0.65x0.4y.作出以上不等式组所表示的平面区域(如图阴影部分)，即可行域作直线 l：0.65x0.4y0 即 13x8y0，把直线 l 向上方平移到 l1 的位置时，直线经过可行域内的点 M，且 l1 与原点的距离最大，此时 z 取最大值解方程组x2y8，4xy11，得 x2，y3.故 M 的坐标为(2,3)，所以 z 的最大值为 zmax0.6520.432.5.
