1、第三节 几 何 概 型【知识梳理】1.必会知识 教材回扣 填一填(1)几何概型的定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的_ 成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型.(2)几何概型的特点:无限性:试验中所有可能出现的结果(基本事件)有_个;等可能性:试验结果在每一个区域内_分布.长度(面积或体积)无限多 均匀(3)几何概型的概率公式:P(A)=_.2.必用技法 核心总结 看一看(1)常用方法:随机模拟法.(2)数学思想:数形结合思想、转化与化归思想.A()()构成事件 的区域长度 面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度 面积或体积【小题快练】1.思考辨析 静心思考 判一
2、判(1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.()(2)相同环境下两次随机模拟得到的概率的估计值是相等的.()(3)几何概型中,每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一点被取到的机会相等.()(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.()【解析】(1)正确.由随机模拟方法及几何概型可知,该说法正确.(2)错误.虽然环境相同,但是因为随机模拟得到的是某一次的频率,所以结果不一定相等.(3)正确.由几何概型的定义知,该说法正确.(4)正确.由几何概型的定义知,该说法正确.答案:(1)(2)(3)(4)2.教材改编 链接教材 练一练(1)(必修3P14
3、0练习T1改编)有四个游戏盘,将它们水平放稳后,在上面扔一颗玻璃小球,若小球落在阴影部分,则可中奖,小明要想增加中奖机会,应选择的游戏盘是()【解析】选A.如题干选项中图,各种情况的概率都是其面积比,中奖的 概率依次为 3221P AP BP CP D.8863，(2)(必修3P140例4改编)已知A=(x,y)|-1x1,0y2,B=(x,y)|y.若在区域A中随机地扔一粒豆子,则该豆子落在 区域B中的概率为()21xA.1 B.C.1 D.8448【解析】选A.集合A=(x,y)|-1x1,0y2表示的区域是一正 方形,其面积为4,集合B=(x,y)|y表示的区域为图中阴影 部分,其面积为
4、4-12.所以向区域A内随机地扔一粒豆子,则豆子落在区域B内的概率为 21x121421.48 3.真题小试 感悟考题 试一试(1)(2014湖南高考)在区间-2,3上随机选取一个数X,则X1的概 率为()【解析】选B.基本事件空间为区间-2,3,它的度量是长度5,-2X1 的度量是3,所以所求概率为 4321A.B.C.D.55553.5(2)(2014辽宁高考)将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中,其中AB=2,BC=1,则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是()【解析】选B.阴影部分的面积S阴=长方形的面积S=21=2.所以由几何概型知质点落在以AB为直径的半圆内的概率是 A.B
5、.C.D.246821122，S2.S24阴(3)(2013湖北高考)在区间-2,4上随机地取一个数x,若x满足|x|m的概率为 ,则m=.【解析】由|x|m,得-mxm,当m2时,由题意 m=2.5矛盾,舍去;当2m2 .所以P(|MN|2 )=.66612【规律方法】1.与长度有关的几何概型 如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示,则其概率的计算公式为 AP A.构成事件 的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度2.与角度有关的几何概型 当涉及射线的转动,扇形中有关落点区域问题时,应以角的大小作为区域度量来计算概率,且不可用线段的长度代替,这是两种不同的度量手段.【变式训练】1.(
6、2015淄博模拟)设P在0,5上随机地取值,则关于x的方程x2+px+1=0有实数根的概率为()1234A.B.C.D.55552.如图,四边形ABCD为矩形,AB=,BC=1,以A为圆心,1为半径作四 分之一个圆弧DE,在DAB内任作射线AP,则射线AP与线段BC有公共点 的概率为 .3【解析】1.选C.方程有实根,则=p2-40,解得p2或p-2(舍去).所以所求概率为 523.505 2.因为在DAB内任作射线AP,则等可能基本事件为“DAB内作射线 AP”,所以它的所有等可能事件所在的区域H是DAB,当射线AP与线 段BC有公共点时,射线AP落在CAB内,区域h为CAB,所以射线AP与
7、 线段BC有公共点的概率为 答案:CAB301.DAB90313【加固训练】在RtABC中,BAC=90,AB=1,BC=2.在BC边上任取一点M,则AMB90的概率为 .【解析】如图,在RtABC中,作ADBC,D为垂足,由题意可得BD=,且点M在BD上时,满足AMB90,故所求概率P=答案:121BD12.BC24 14考点2 与面积、体积有关的几何概型【典例2】(1)在RtABC中,A为直角,且AB=3,BC=5,若在ABC内任取一点,则该点到三个顶点A,B,C的距离均不小于1的概率是()A.B.1 C.D.1661212(2)(2015烟台模拟)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1
8、D1中,点O为底面ABCD的中心,在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取一点P,则点P到点O的距离大于1的概率为()A.B.1 C.D.1121266【解题提示】(1)应先考虑到三个顶点距离有一个小于1的点围成的图形的面积等于多少?(2)点P到点O的距离大于1的点位于以O为球心,以1为半径的半球的外部.【规范解答】(1)选D.如图所示,在RtABC中,AC=4.故RtABC的面积为 ABAC=34=6.在RtABC内任取一点,该点到三个 顶点的距离均不小于1,则该点应在图中的阴影部分内,阴影部分的面 积为6-12=6-,由几何概型的概率计算公式可知,该点到三个 顶点的距离均不小于1的概率为
9、 22BCAB22531212122621.612(2)选B.点P到点O的距离大于1的点位于以O为球心,以1为半径的半球 的外部.记点P到点O的距离大于1为事件A,则 333142123P A1.212【规律方法】解决与面积有关的几何概型的方法 求解与面积有关的几何概型时,关键是弄清某事件对应的几何元素,必要时可根据题意构造两个变量,把变量看成点的坐标,找到全部试验结果构成的平面图形,以便求解.【变式训练】1.(2015济南模拟)某人随机地在如图所 示正三角形及其外接圆区域内部投针(不包括三角形边 界及圆的边界),则针扎到阴影区域(不包括边界)的概率 为()A.B.C.D.以上全错 33 34
10、34【解析】选B.设正三角形的边长为a,圆的半径为R，则正三角形的面 积为 由正弦定理得2R=，得R=所以圆的面积S=R2=由几何概型的概率计算公式得概率 23 a,4asin 603 a,321 a,3 223 a3 34P.14a32.(2015哈尔滨模拟)在体积为V的三棱锥S-ABC的棱AB上任取一点P,则三棱锥S-APC的体积大于 的概率是 .V3【解析】如图,三棱锥S-ABC的高与三棱锥S-APC的高相同.作PMAC 于M,BNAC于N,则PM,BN分别为APC与ABC的高,所以 又 所以 时,满足条件.设 则P在BD 上,所求的概率P=答案:S APCAPCS ABCABCVSVS
11、PMBN，PMAPBNAB，AP1AB3AD1AB3，BD2.BA323【加固训练】如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,在正方体内随机 取点M,则使四棱锥M-ABCD的体积小于 的概率为 .16【解析】过M作平面RS平面AC,则两平面间的距离是四棱锥M-ABCD 的高,显然M在平面RS上任意位置时,四棱锥M-ABCD的体积都相等.若 此时四棱锥M-ABCD的体积等于 ,只要M在截面以下即可小于 ,当 VM-ABCD=时,即 11h=,解得h=,即点M到底面ABCD的距离,所以所求概率P=答案:16161613161211 112.1 1 12 12考点3 几何概型与其他知识的交汇
12、问题 知考情 几何概型是近几年高考的热点之一.常见的命题角度有:与三角形、矩形、圆等平面图形面积有关的问题;与随机模拟有关的概率问题;与线性规划知识交汇命题的问题;与定积分交汇命题的问题.明角度 命题角度1:与随机模拟有关的概率问题【典例3】(2014福建高考)如图,在边长为1的正方形中随机撒 1000粒豆子,有180粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为 .【解题提示】由几何概型概率公式求解.【规范解答】由几何概型可知 所以S=0.18.答案:0.18 S18011 000，命题角度2:几何概型与不等式(组)交汇问题【典例4】(2014重庆高考)某校早上8:00开始上课,假设该校学生小张与
13、小王在早上7:307:50之间到校,且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的,则小张比小王至少早5分钟到校的概率为 .(用数字作答)【解题提示】可设出两人到校的时刻,列出两人到校时刻满足的关系式,再根据几何概型的概率公式进行求解.【规范解答】设小张与小王到校的时刻分别为7:30之后x,y分钟,则由 题意知小张比小王至少早5分钟到校需满足y-x5,其中0 x20,0y20.所有的基本事件构成的区 域为一个边长为20的正方形,随机事件“小张比小 王至少早5分钟到校”构成的区域为阴影部分.由几何概型的概率公式可知,其概率为 答案:1 15 1592P.20 2032932悟技法 1.利用随机模拟法求
14、不规则几何图形面积近似值的方法 把不规则几何图形面积与规则几何图形面积比转化为落在不规则图形中的随机数与总的随机数的比,列出方程求解.2.两种常见几何概型的解决方法(1)线型几何概型:当基本事件只受一个连续的变量控制时.一般是把这个变量看成一条线段或角,这样基本事件就构成了,即可借助于线段(或角度)的度量比来求解.(2)面型几何概型:当基本事件受两个连续的变量控制时,一般是把这两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标,这样基本事件就构成了平面上的一个区域,进而转化为面积的度量来解决.通一类 1.(2015成都模拟)如图所示,半径为3的圆中有一封闭曲线围成的 阴影区域,在圆中随机扔一粒豆子,它落在
15、阴影区域内的概率是 ,则 阴影部分的面积是()A.B.C.2 D.3 133【解析】选D.设阴影部分的面积为S1,圆的面积S=32=9,由几何概 型的概率计算公式得 得S1=3.1S1S3，2.(2015长沙模拟)在区间 上随机取一个数记为x,则使得 sinx 的概率为 .【解析】因为 上正弦值大于或等于 的区间是 所以所求概率P=答案:,2 2 12,2 2 12,6 2 126.3()22 133.(2015威海模拟)若不等式组 表示的平面区域为M,(x-4)2+y21表示的平面区域为N,现随机向区域内抛一粒豆子,则该 豆子落在平面区域N内的概率是 .2x4x0,1y2,xy 10 【解析
16、】如图所示:答案:2112P.115143215自我纠错26 求几何概型的概率【典例】在等腰直角ABC中,过直角顶点C在ACB内作一条射线CD与线段AB交于点D,求ADAC的概率.【解题过程】【错解分析】分析以上解题过程,你知道错在哪里吗?提示:解题过程中出现错误的原因是不能准确找出事件的几何度量,选错几何度量导致错解.【规避策略】(1)处理几何概型问题的关键:几何概型试验所包含的基本事件无法一一列举出来,如何将某一事件所包含的基本事件用“长度”“角度”“面积”“体积”等表示出来是关键.(2)正确认识测度:当基本事件只受一个连续的变量控制即值域大小有关时,应用长度;当基本事件受两个连续的变量控制即与形状的大小有关时,应用面积.【自我矫正】射线CD在ACB内是均匀分布的,故ACB=90可看成 试验的所有结果构成的区域,在线段AB上取一点E,使AE=AC,则ACE=67.5可看成事件构成的区域,所以满足条件的概率为 67.53.904