1、 导数的简单应用小 题 考 法三讲第导数的几何意义 考点(一)主要考查利用导数求曲线的切线方程、切点坐标及参数的值(范围).题组练透1(2019全国卷)曲线y3(x2x)ex在点(0，0)处的切线方程为_答案：y3x解析：y3(2x1)ex3(x2x)exex(3x29x3)，斜率ke033，切线方程为y3x.2(2019江苏连云港期中)已知直线ykx2与曲线yxln x相切，则实数k的值为_解析：设切点坐标为(m，mln m)，由yxln x可得y1ln x，故切线的斜率为1ln m因此切线方程为ymln m(1ln m)(xm)，即y(1ln m)xm.又ykx2，所以1ln mk，m2，
2、即k1ln 2.答案：1ln 23(2019江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线yln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(e，1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是_解析：设A(m，n)，则曲线yln x在点A处的切线方程为yn1m(xm)又切线过点(e，1)，所以有n11m(me)再由nln m，解得me，n1.故点A的坐标为(e，1)答案：(e，1)4(2019广西梧州一模)若直线ykxb是曲线yln x2的切线，也是曲线yex的切线，则b_解析：设直线ykxb与曲线yln x2的切点为(x1，y1)，与曲线yex的切点为(x2，y2)yln x2的导数为y1x，yex的导
3、数为yex，可得kex2 1x1.又由ky2y1x2x1ex2ln x12x2x1，消去x2，可得(1ln x1)(x11)0，则x1 1e 或x11，则直线ykxb与曲线yln x2的切点为 1e，1 或(1，2)，与曲线yex的切点为(1，e)或(0，1)，所以k e111ee或k12011，则切线方程为yex或yx1，可得b0或1.答案：0或1方法技巧(1)求曲线的切线方程：曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线方程是yf(x0)f(x0)(xx0)；求过某点M(x1，y1)的切线方程时，需设出切点A(x0，f(x0)，则切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)，再把点M(x1
4、，y1)代入切线方程，求x0.(2)求切点坐标：其思路是先求函数的导数，然后让导数值等于切线的斜率，从而得出切线方程或求出切点坐标(3)由切线求参数的值(范围)：其关键是列出函数的导数等于切线斜率的方程(4)曲线的公切线问题：解决此类问题通常有两种方法：一是利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；二是设公切线l在yf(x)上的切点P1(x1，f(x1)，在yg(x)上的切点P2(x2，g(x2)，则f(x1)g(x2)f（x1）g（x2）x1x2.考点(二)利用导数研究函数 的单调性 主要考查利用导数研究函数的单调性，或由函数的单调性求参数的值(或范围)题组练透 1(201
5、8南京三模)若函数f(x)ex(x22xa)在区间a，a1上单调递增，则实数a的最大值为_解析：由题意得，f(x)ex(x22a)0在区间a，a1上恒成立，即x22a0在区间a，a1上恒成立，所以a22a0，（a1）22a0，解得1a 1 52，所以实数a的最大值为1 52.答案：1 522(2019苏北三市一模)已知x0，y0，z0，且x3 yz6，则x3y23z的最小值为_解析：x3y23zx3y23(6x 3y)x33xy3 322454，令f(x)x33x，g(y)y3 322454，f(x)3x233(x1)(x1)(x0)，所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，
6、所以f(x)minf(1)2，当y 3 32 时，g(y)min454.所以x3y23z的最小值为2454 374.答案：3743已知定义域为x|x0的偶函数f(x)，其导函数为f(x)，对任意正实数x满足xf(x)2f(x)，若g(x)x2f(x)，则不等式g(x)0时，xf(x)2f(x)0，所以g(x)0，即g(x)在(0，)上单调递增 又f(x)为偶函数，则g(x)也是偶函数，所以g(x)g(|x|)由g(x)g(1)得g(|x|)g(1)，所以|x|1，x0，则x(1，0)(0，1)答案：(1，0)(0，1)方法技巧 与单调性有关的两类问题的求解策略(1)若求单调区间(或证明单调性)
7、，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f(x)0或f(x)0.(2)若已知函数的单调性求参数，则转化为不等式f(x)0或f(x)0在单调区间上恒成立问题来求解.利用导数研究函数 的极值、最值 考点(三)主要考查利用函数的极值与导数的关系，求函数的极值、最值或由极值的情况求参数.典例感悟典例(1)若x2是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点，则f(x)的极小值为_(2)已知函数f(x)xxln x，若kZ，且k(x1)1恒成立，则k的最大值为_(3)(2018江苏高考)若函数f(x)2x3ax21(aR)在(0，)内有且只有一个零点，则f(x)在1，1上的最大值与最小值的和为_解析(1)因为
8、f(x)(x2ax1)ex1，所以f(x)(2xa)ex1(x2ax1)ex1 x2(a2)xa1ex1.因为x2是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点，所以2是x2(a2)xa10的根，所以a1，f(x)(x2x2)ex1(x2)(x1)ex1.令f(x)0，解得x1，令f(x)0，解得2x1，所以f(x)在(，2)上单调递增，在(2，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以当x1时，f(x)取得极小值，且f(x)极小值f(1)1.(2)法一：依题意得，k1恒成立令g(x)xxln xx1，则g(x)xln x2（x1）2，令h(x)xln x2(x1)，则h(x)11xx1x 0，所
9、以函数h(x)在(1，)上单调递增 因为h(3)1ln 30，所以方程h(x)0在(1，)上存在唯一实数根x0，且满足x0(3，4)，即有h(x0)x0ln x020，ln x0 x02.当1xx0时，h(x)0，即g(x)x0时，h(x)0，即g(x)0，所以函数g(x)xxln xx1 在(1，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，所以g(x)ming(x0)x0（1ln x0）x01 x0（1x02）x01x0(3，4)所以kg(x)minx0(3，4)，故整数k的最大值是3.法二：依题意得，当x2时，k(21)f(2)，即k22ln 21)，则g(x)ln x1.当1xe时，g(x
10、)e时，g(x)0，g(x)在区间(e，)上单调递增因此，g(x)的最小值是g(e)3e0，于是有g(x)0恒成立所以满足题意的最大整数k的值是3.(3)法一：f(x)6x22ax2x(3xa)(x0)当a0时，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增，又f(0)1，f(x)在(0，)上无零点 当a0时，由f(x)0，得xa3；由f(x)0，得0 xa3，f(x)在 0，a3 上单调递减，在 a3，上单调递增又f(x)在(0，)内有且只有一个零点，fa3 a32710，a3.此时f(x)2x33x21，f(x)6x(x1)，当x1，1时，f(x)在1，0上单调递增，在0，1上单调递减 又f(1
11、)0，f(1)4，f(x)maxf(x)minf(0)f(1)143.法二：令f(x)2x3ax210，得a2x31x22x 1x2.令g(x)2x 1x2，则g(x)2 2x3.由g(x)0，得0 x0，得x1，g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增 f(x)在(0，)内有且只有一个零点，ag(1)3，此时f(x)2x33x21，f(x)6x(x1)，当x1，1时，f(x)在1，0上单调递增，在0，1上单调递减 又f(1)0，f(1)4，f(x)maxf(x)minf(0)f(1)143.答案(1)1(2)3(3)3 方法技巧利用导数研究函数极值、最值的方法(1)若求极值，则先
12、求方程f(x)0的根，再检查f(x)在方程根的左右函数值的符号(2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f(x)0根的大小或存在情况来求解(3)求函数f(x)在闭区间a，b的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值(4)最值和极值还可以用来转化恒成立问题以及方程有解问题 演练冲关1(2019南京三模)已知函数f(x)12x2aln xx12，对任意x1，)，当f(x)mx恒成立时实数m的最大值为1，则实数a的取值范围是_解析：不等式12x2aln xx12mx在1，)上恒成立，则12xaln xx 1 12xm在1，)上恒
13、成立设g(x)12xaln xx 1 12x(x1，)，则g(x)minm.因为实数m的最大值为1，所以g(x)min1，又g(1)1，所以g(x)g(1)在1，)上恒成立，即g(x)12xaln xx 1 12x1，12x2aln x120在1，)上恒成立记h(x)12x2aln x12(x1，)，则h(x)xax.若a1，则h(x)xax 0，所以h(x)在1，)上单调递增，所以h(x)h(1)0，满足条件；若a1，易知h(x)在(1，a)上单调递减，此时h(x)h(1)0，与h(x)0恒成立矛盾综上所述，实数a的取值范围是(，1答案：(，12已知点A(0，1)，曲线C：ylogax恒过点
14、B，若P是曲线C上的动点，且 AB AP的最小值为2，则实数a_解析：点A(0，1)，B(1，0)，设P(x，logax)，则 AB AP(1，1)(x，logax1)xlogax1.依题f(x)xlogax1在(0，)上有最小值2且f(1)2，所以x1是f(x)的极值点，即最小值点f(x)1 1xln axln a1xln a.若0a0，f(x)单调递增，在(0，)无最小值，所以a1.设f(x)0，则xlogae，当x(0，logae)时，f(x)0，从而当且仅当xlogae时，f(x)取最小值，所以logae1，ae.答案：e3(2019扬州期末)若存在正实数x，y，z满足3y23z210
15、yz，且ln xln zeyz，则xy的最小值为_解析：因为正实数x，y，z满足3y23z210yz，所以yzzy103，所以 yz 13，3.因为ln xln z eyz，所以ln xz eyz，所以ln xy ln xzzy ln xz lnzyeyz ln yz，令yz t，则lnxy etln t，t13，3，记f(t)etln t，则f(t)e 1t，令f(t)0，得t 1e 13，3，可得f(t)在 13，1e 上单调递减，在 1e，3 上单调递增，所以f(t)minf1e 1(1)2，即ln xy min2，所以xy的最小值为e2.答案：e2必备知能自主补缺 (一)主干知识要牢记
16、1.导数公式及运算法则(1)基本导数公式c0(c 为常数)；(xm)mxm1(mQ)；(sin x)cos x；(cos x)sin x；(ax)axln a(a0 且 a1)；(ex)ex；(logax)1xln a(a0 且 a1)；(ln x)1x.(2)导数的四则运算(uv)uv；(uv)uvuv；uv uvuvv2(v0)2导数与极值、最值(1)函数f(x)在x0处的导数f(x0)0且f(x)在x0附近“左正右负”f(x)在x0处取极大值；函数f(x)在x0处的导数f(x0)0且f(x)在x0附近“左负右正”f(x)在x0处取极小值(2)函数f(x)在一闭区间上的最大值是此函数在此区
17、间上的极值与其端点处函数值中的“最大者”；函数f(x)在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极值与其端点处函数值中的“最小者”(二)二级结论要用好1常用乘式与除式的求导(1)xnf(x)nxn1f(x)xnf(x)；(2)f（x）xnxnf（x）nxn1f（x）x2n；(3)exf(x)exf(x)f(x)；(4)f（x）exf（x）f（x）ex.2不等式恒成立(或有解)问题的常用结论(1)恒成立问题af(x)恒成立af(x)max；af(x)恒成立af(x)max；af(x)恒成立af(x)有解af(x)min；af(x)有解af(x)min；af(x)有解af(x)max；af(x)有解af(x)max.“课时达标训练”见“课时达标训练(十九)”(单击进入电子文档)谢观看THANK YOU FOR WATCHING谢
