1、第二节 参 数 方 程【知识梳理】1.曲线的参数方程 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某 个变数t的函数 并且对于t的每一个允许值,由这个方程组 所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么这个方程组就叫做这条曲线 的_,联系变数x,y的变数t叫做参变数,简称_.相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程F(x,y)=0叫做 _方程.xf t,yg t,参数方程 参数 普通 2.直线、圆与椭圆的普通方程和参数方程 轨迹 普通方程 参数方程 直线 yy0=tan(xx0)(点斜式)_(t为参数)圆(x-a)2+(y-b)2=r2 _(为参数)椭圆 =1(ab0)
2、_(为参数)00 xxtcos,yytsin 2xarcos,ybrsin 2222xyabxacos,ybsin【小题快练】1.(2014北京高考)曲线 (为参数)的对称中心 ()A.在直线y=2x上 B.在直线y=-2x上 C.在直线y=x-1上 D.在直线y=x+1上 x1cosy2sin，【解析】选B.由 得 所以(x+1)2+(y-2)2=1.曲线是以(-1,2)为圆心,1为半径的圆,所以对称中心为(-1,2),在直线y=-2x上.x1 cos,y2sin,cosx1,siny2.2.(2015佛山模拟)已知直线l的参数方程为 (t为参数),圆 C的极坐标方程为=2 sin,则直线l
3、与圆C的位置关系为()A.相离 B.相切 C.相交 D.由参数确定 x2t,y14t 2【解析】选C.将直线的参数方程 (t为参数)化为普通方 程，得2x-y+1=0.将圆C的极坐标方程=2 sin 化为直角坐标方程，得x2+y2-2 y=0，即x2+(y-)2=2，圆心到直线的距离为d=r=，所以直线l与圆C相交.x2t,y14t 22221523(2015潮州模拟)以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为 极轴，建立极坐标系，在两种坐标系中取相同的单位长度，点A的极 坐标为 曲线C:(为参数)，则曲线C上的点B 与点A距离的最大值为_.(2 2,)4，x2cos y2sin 【解析】由点
4、A的极坐标为 得直角坐标为A(2,2)，曲线C:(为参数)的直角坐标方程为(x2)2+(y+2)2=1，圆 心(2，-2)与点A(2,2)的距离为4，所以点A在圆的外部，则圆C上的 点B与点A距离的最大值为5.答案：5(2 2,),4x2cos y2sin 4.(2015黄冈模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是 以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲 线C2的极坐标方程是 则两曲线交点间的距离是_.1xt,t1yt,t sin()13，【解析】将曲线C1的参数方程 化为普通方程，得x2-y2=-4，将曲线C2的极坐标方程 =1化为直角坐标方程，得y=-x+2，代入x2-
5、y2=-4，得x2-2 x=0，解得 1xt,t1ytt sin()333x0,x2 3,y2,y4,即两曲线交点的坐标分别为A(0,2),B(2 ,-4),所以两曲线交点间的距离是|AB|=答案：4 3222 30424 3.3考点1 直线的参数方程与应用【典例1】已知经过点P(-1，2)，倾斜角为 的直线l与曲线=3相交 于A，B两点，求|PA|PB|.【解题提示】将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，利用直线 参数方程参数的几何意义以及一元二次方程的根与系数的关系计算.4【规范解答】直线l的参数方程为 (t为参数)，代入圆 的直角坐标方程x2+y2=9，整理，得t2+t-4=0.设点A
6、，B对应的参数分别是t1，t2，则t1t2=-4，所以|PA|PB|=|t1t2|=4.2x1t,22y2t2 2【互动探究】若本例条件不变，如何求|AB|?【解析】由题意可知，设点A，B对应的参数分别是t1，t2，则t1+t2=-,t1t2=-4,|AB|=|t1-t2|=22121 2tt4t t3 2.【规律方法】直线的参数方程在交点问题中的应用 已知直线l经过点M0(x0,y0),倾斜角为,点M(x,y)为l上任意一点,则 直线l的参数方程为 (t为参数).00 xxtcos,yytsin(1)若M1,M2是直线l上的两个点,对应的参数分别为t1,t2,则 (2)若线段M1M2的中点为
7、M3,点M1,M2,M3对应的参数分别为t1,t2,t3,则 t3=(3)若直线l上的线段M1M2的中点为M0(x0,y0),则t1+t2=0,t1t20时,点M在点M0的上方;当t=0时,点M与点M0重合;当t0时,点M在点M0的右侧;当t=0时,点M与点M0重合;当t0),过原点O的直线l与C交于A,B两点.(1)求|OA|OB|的最小值.(2)求 的值.11OAOB【解析】(1)设直线l的参数方程为 (t为参数),与抛物线方程y2=4a(x+a)(a0)联立,得t2sin2-4atcos-4a2=0,所以t1+t2=,t1t2=得|OA|OB|=|t1t2|=4a2,所以|OA|OB|的
8、最小值为4a2.(2)xtcosytsin 24acossin224asin224asin 12121 21 2tt|tt|11OAOBt tt t22121 221 224att4t t1sin.4at tasin【加固训练】(2015随州模拟)已知直线l的参数方程为(t为参数),求直线l的斜率.【解析】由直线l的参数方程 (t为参数),得 所 以直线l的斜率为-.x1 3ty12t ，x1 3ty12t ，y 12x 13，23考点2 圆的参数方程与应用【典例2】(2015龙岩模拟)已知在平面直角坐标系xOy中,圆M的方 程为(x-4)2+y2=1,以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,且与
9、直角坐标 系取相同的单位长度,建立极坐标系,直线l的极坐标方程为 (1)求直线l的直角坐标方程和圆M的参数方程.(2)求圆M上的点到直线l的距离的最小值.sin()61.2【解题提示】(1)由三角变换公式将直线的极坐标方程化为直角坐标方程,由三角代换公式求出圆的参数方程.(2)由圆的参数方程转化为三角函数求最小值.【规范解答】(1)由 得 所以 即x+y-1=0,设 所以 所以直线l的直角坐标方程为x+y-1=0,圆M的参数方程为 (为参数).1sin(),621(sin coscos sin)662，131xy222，3x4cos,ysin，x4cos,ysin,3x4cos,ysin(2)
10、设M(4+cos,sin),则点M到直线l的距离为 d=所以当 =-1即=-+2k(kZ)时,dmin=.所以圆M上的点到直线l的距离的最小值为 .32sin()|4cos3sin1|6,22sin()6231212【规律方法】1.利用圆的参数方程求最值的技巧(1)解决与圆上的动点有关的距离取值范围以及最大值和最小值问题,通常可以转化为点与圆、直线与圆的位置关系.(2)求距离的问题,通过设圆的参数方程,就转化为求三角函数的值域问题.2.辅助角公式在求最值中的应用 辅助角公式asin+bcos=sin(+).其中sin=,cos=,或者tan=(a0),且角的终边经过点(a,b).借助其可求含参
11、数的最值问题.22ab22bab22aabba【变式训练】(2015新乡模拟)已知在直角坐标系xOy中,直线l的参 数方程为 (t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极 轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为2-4cos+3=0.(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程.(2)设点P是曲线C上的一个动点,求它到直线l的距离d的取值范围.xt3y3t ，【解析】(1)直线l的普通方程为 x-y+3 =0.曲线C的直角坐标方程为(x-2)2+y2=1.(2)设点P(2+cos,sin)(R),则d=所以d的取值范围是 33|2cos()5 3|3(2cos)sin3 3|6225 3 2
12、 5 32,.22【加固训练】(2014惠州模拟)已知在平面直角坐标系xOy中,圆C的 参数方程为:(为参数),以Ox为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为:=0,求圆C截直线所得的弦长.x33cos,y1 3sin cos()6【解析】圆C:(为参数)的普通方程为(x-)2+(y-1)2=9,表示以点(,1)为圆心,以3为半径的圆;将直线 =0的方程化为直角坐标方程为 x-y=0,圆心(,1)到直线 x-y=0的距离d=1,故圆C截直线所得弦长为 x33cos,y1 3sin 33cos()633322|331|31222 314 2.考点3 椭圆的参数方程【典例3】已知曲线C的参数方程是
13、(为参数,a0),直 线l的参数方程是 (t为参数),曲线C与直线l有一个公共点在 x轴上,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C的普通方程.(2)若点A(1,),在曲线C上,求 的值.xacos,y3sin x3t,y1t 2324B(,),C(,)33 2211OAOB21OC【解题提示】将直线与曲线的参数方程化为普通方程,利用三角函数的诱导公式以及三角恒等变换公式计算.【规范解答】(1)由直线l的参数方程 (t为参数),得普通方 程为x+y=2.又曲线C:(为参数,a0)的普通方程为 =1,由于 直线x+y=2与曲线的一个公共点在x轴上,得(2,0)在曲线上,得
14、a2=4,所 以曲线C的普通方程为 =1.x3t,y1t xacos,y3sin 222xya322xy43(2)因为点A(1,),在曲线上,即点A(1cos,1sin),依题意,得 =1,得 2324B(,),C(,)33 223322B(cos()sin()3344C(cos()sin()33 ，2211(cos)(sin)432221111cossin43，同理,得 所以 222211212cos()sin()4333 ，222311414cos()sin()4333 ，222222123111111OAOBOC222222124coscos()cos()433124sinsin()si
15、n()333481cos(2)1cos(2)1 1cos 2334222481 cos(2)1 cos(2)1 1 cos 233322213137.42328 【规律方法】圆锥曲线的参数方程(1)圆与椭圆的参数方程的异同点:圆与椭圆的参数方程 实质都是三角代换,有关圆或椭圆上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题,通常利用圆或椭圆的参数方程 转化为三角函数的最大值、最小值求解.圆的参数方程中的参数与椭圆的参数方程中的参数的几何意义不同,圆的参数方程中的参数是圆心角,椭圆的参数方程中的参数是离心角,只有椭圆上的点在坐标轴上时,离心角才等于圆心角.(2)双曲线与抛物线的参数方程形式不唯一,
16、通常消去参数转化为普通方程解决.【变式训练】(2015平顶山模拟)已知平面直角坐标系xOy,以O为极 点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,P点的极坐标为 曲 线C的极坐标方程为2+2 sin=1.(1)写出点P的直角坐标及曲线C的普通方程.(2)若Q为曲线C上的动点,求PQ中点M到直线 (t为参数)距离 的最小值.(2 3,)6，3x32t,y2t 【解析】(1)由P点的极坐标 ,得直角坐标为 曲线 C:2+2 sin=1的普通方程为x2+y2+2 y=1,标准方程为x2+(y+)2=4.(2 3,)6，(3,3)，333(2)直线 (t为参数)的普通方程为x-2y-7=0,圆x2+(y+)
17、2=4的参数方程为 (为参数)则PQ中点M的坐标为 即 则点M到直线的距离为 所以PQ中点M到直线的距离的最小值为 x32t,y2t.3x2cos,y32sin.32cos332sin(,),223M(cos,sin)2 ，311|cos2sin7|2sincos|22d551111|5sin()|5|11 5221,1055 11 51.10【加固训练】在直角坐标系xOy中,已知点P(0,),曲线C的参数方 程为 (为参数).以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建 立极坐标系,直线l的极坐标方程为=(1)判断点P与直线l的位置关系,说明理由.(2)设直线l与曲线C的两个交点为A,B,求|PA|PB|的值.3x5cos,y15sin3.2cos()6【解析】(1)直线l:即 cos+sin=,所以直线l的直角坐标方程为 x+y=,所以点P(0,)在直线l上.2 cos()36，33333(2)设直线l的参数方程为 (t为参数),曲线C的直角坐标 方程为 将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程,有 =15,所以t2+2t-8=0,=360,设方程的两根为 t1,t2,所以|PA|PB|=|t1|t2|=|t1t2|=|-8|=8.1xt,23y3t2 22xy1515，22133(t)(3t)22