1、2007年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷三题 号 一 二 总 成 绩13 14 15 16得 分评 卷 人复 核 人考生注意：1.本试卷共三大题（16小题），全卷满分150分. 考试时间：120分钟. 2.用钢笔、签字笔或圆珠笔作答.3.解题书写不要超出装订线.4.不能使用计算器.一、选择题（本题满分36分，每小题6分）得 分 评卷人 本题共有6小题，每题均给出A、B、C、D四个结论，其中有且仅有一个是正确的. 请将正确答案的代表字母填在题的括号内. 每小题选对得6分；不选、选错或选出的字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.1. 已知函数，则 答： （A）有最小正周期 （B）有最小
2、正周期（C）有最小正周期 （D）无最小周期2. 关于的不等式任意两个解的差不超过，则的最大值与最小值的和是 答： （A） （B） （C） （D） 3. 已知向量a、b，设ab，ab，ab，则一定共线的 三点是 答： （A） 、 （B） 、（C） 、 （D） 、4. 设、为平面，、为直线，则的一个充分条件是 答： （A）， （B），（C）， （D），5. 若、，其中，并且，则实数对表示平面上不同点的个数为 答： （A）个 （B）个 （C）个 （D）个 6. 已知（R），且 则a的值有 答： （A）个 （B）个 （C）个 （D）无数个二、填空题（本题满分54分，每小题9分）得 分 评卷人本题共有6
3、小题，要求直接将答案写在横线上. 7. 设为等差数列的前项和，若，则公差为 .8. 设且的图象经过点，它的反函数的图象经过点，则等于 . 9. 已知函数的图象如图，则满足的的取值范围为 . yOx110. 圆锥曲线的离心率是 .11. 在中，已知，则的面积为 .12. 设命题:，命题: 对任何R，都有. 命题与中有且仅有一个成立，则实数的取值范围是 .三、解答题（本题满分60分，共4小题，每题各15分）得 分 评卷人13. 设不等式组 表示的平面区域为. 区域内的动点到直线和直线的距离之积为. 记点的轨迹为曲线. 过点的直线与曲线交于、两点. 若以线段为直径的圆与轴相切，求直线的斜率. 14.
4、 如图，斜三棱柱中，面是菱形，侧面B1BA1C1AC，. 求证：（1）；（2）求点到平面的距离. 15. 已知数列中，. 求.16. 已知平面上个圆，任意两个都相交. 是否存在直线，与每个圆都有公共点？证明你的结论.2007年江苏省高中数学联赛初赛试题参考答案及评分标准一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1已知函数，则（ B ）. （A） 有最小正周期为 （B） 有最小正周期为（C） 有最小正周期为 （D） 无最小正周期解：，则最小正周期. 故选（B）2关于的不等式任意两个解的差不超过9，则的最大值与最小值的和是（ C ）. （A） 2 （B） 1 （C） 0 （D） 解：方程的两根是，则
5、由关于的不等式任意两个解的差不超过，得，即 . 故选（C）3. 已知向量a、b，设ab，ab，ab，则一定共线的三点是（ A ）. （A）A、B、D （B）A、B、C （C）B、C、D （D）A、C、D解：ab，所以A、B、D三点共线. 故选（A）4设、为平面，、为直线，则的一个充分条件是（ D ）.（A）， （B），（C）， （D），解：（A）选项缺少条件；（B）选项当，时，；（C）选项当、两两垂直（看着你现在所在房间的天花板上的墙角），时，；（D）选项同时垂直于同一条直线的两个平面平行本选项为真命题. 故选（D）5. 若、，其中，并且，则实数对表示平面上不同点的个数为（ C ） （A）个
6、（B）个 （C）个 （D）个解：由及题设知，个位数字的选择有5种. 因为 ，故（1） 由知，首位数字的可能选择有种；（2） 由及知，首位数字的可能选择有种. 于是，符合题设的不同点的个数为种. 故选（C）6已知（R），且 则a的值有（ D ）. （A）2个 （B）3个 （C）4个 （D）无数个解：由题设知为偶函数，则考虑在时，恒有 所以当，且时，恒有由于不等式的解集为，不等式的解集为因此当时，恒有. 故选（D）二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7设为等差数列的前项和，若，则公差为 .解：设等差数列的首项为，公差为. 由题设得 即 解之得.8. 设且的图象经过点，它的反函数的图象经过点，则
7、等于 .解：由题设知 化简得 解之得 （舍去）. 故等于4.9已知函数的图象如图，则满足的的取值范围为 yOx1（第9题）解： 因为 ，所以. 于是，由图象可知，即 ，解得. 故x的取值范围为 10圆锥曲线的离心率是 解：原式变形为，即 所以动点到定点的距离与它到直线的距离之比为故此动点轨迹为双曲线，离心率为11在中，已知，则的面积为解：在中，由 得由正弦定理得 因为，所以角可取锐角或钝角，从而故12. 设命题:，命题: 对任何R，都有. 命题与中有且仅有一个成立，则实数的取值范围是 或 .解：由得由对于任何R成立，得，即因为命题、有且仅有一个成立，故实数的取值范围是 或 三、解答题（本题满分
8、60分，每小题15分）13. 设不等式组 表示的平面区域为. 区域内的动点到直线和直线的距离之积为. 记点的轨迹为曲线. 过点的直线与曲线交于、两点. 若以线段为直径的圆与轴相切，求直线的斜率. 解：由题意可知，平面区域如图阴影所示xyO设动点为，则，即 由知，xy0，即x2y20所以y2x24(y0)，即曲线的方程为1(y0)5分设，则以线段为直径的圆的圆心为. 因为以线段为直径的圆与轴相切，所以半径 ，即 10分因为直线AB过点F(2，0)，当AB x轴时，不合题意所以设直线AB的方程为yk(x2)代入双曲线方程1(y0)得，k2(x2)2x24，即(k21)x24k2x(8k24)0因为
9、直线与双曲线交于A，B两点，所以k1所以x1x2，x1x2所以|AB| |x1x2|，化简得：k42k210，解得k21（k21不合题意，舍去）由(4k2)24(k21) (8k24) 3k210，又由于y0，所以1k 所以k 15分解：由题意可知，平面区域D如图阴影所示xyO 设动点P(x，y)，则2，即|x2y2|4由PD知：xy0，xy0，即x2y20所以y2x24(y0)即曲线C的方程为1(y0)5分设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以线段AB为直径的圆的圆心为Q(，)因为以线段AB为直径的圆与y轴相切，半径r|AB|即|AB|x1x2| 10分因为直线AB过点F(2，0)，当A
10、B x轴时，不合题意所以设直线AB的方程为yk(x2)代入双曲线方程1(y0)得，k2(x2)2x24，即(k21)x24k2x(8k24)0因为直线与双曲线交于A，B两点，所以k1所以x1x2，x1x2所以|AB| |x1x2|，化简得：k42k210，解得k21（k21不合题意，舍去）由(4k2)24(k21) (8k24) 3k210，又由于y0，所以1k所以k15分14. 如图，斜三棱柱中，面是菱形，侧面B1BA1C1AC，.求证：（1）；（2）求点到平面的距离. 证：（1）设中点为，连、. （第14题）因为，所以因为面，所以面又为正三角形，所以 . 从而 6分（2） 由（1），有，面
11、设到面的距离为，则A. 因为，CEB所以 又 ，且.设的高为，则，.于是有 ，即到平面的距离为 15分15已知数列中，. 求.解：由题设，则. 5分由 ，得，则. 10分于是 ，所以 a2007=2007 易知数列，符合本题要求 15分注意：猜得答案或，给2分16已知平面上个圆，任意两个都相交是否存在直线，与每个圆都有公共点？证明你的结论A1Ak10A2B1B2Bm解：存在直线，与每个圆都有公共点证明如下：如图，先作直线，设第个圆在直线上的正投影是线段，其中、分别是线段的左右端点个圆有个投影线段，有个左端点，有个右端点 5分因为任意两个圆都相交，所以任意两条投影线段都有重叠的部分，设是最右边的左端点，则所有右端点都在的右边，否则必有两条投影线段无重叠部分，与对应的两个圆相交矛盾 10分再设是最左边的右端点，同理所有左端点都在的左边. 与不重合，线段是任意一条投影线段的一部分，过线段上某一点作直线的垂线，则与个圆都相交 15分