1、第二章 函数、导数及其应用 第一节 函数及其表示【知识梳理】1.必会知识 教材回扣 填一填(1)函数与映射的概念:函数 映射 定义 建立在两个_A到B 的一种确定的对应关系f,使 对于集合A中的_一个数 x,在集合B中都有_ 的数f(x)和它对应 建立在两个_A到B的一 种确定的对应关系f,使对于集合 A中的_元素x,在集合B 中都有_的元素y与之 对应 记法 y=f(x),xA f:AB 非空数集 任意 唯一确定 非空集合 任意一个 唯一确定(2)函数的三要素:函数由定义域、_和值域三个要素构成,对函数y=f(x),xA,其中 定义域:_的取值范围;值域:函数值的集合_.(3)函数的表示法:
2、表示函数的常用方法有:_、_、_.对应关系 自变量x f(x)|xA 解析法 列表法 图象法(4)分段函数:若函数在定义域的不同子集上,因_不同而分别用几个不同 的式子来表示,这种函数称为分段函数.对应关系 2.必备结论 教材提炼 记一记(1)映射:映射是函数的推广,函数是特殊的映射,A,B为非空数集的映射就是函数;映射的两个特征:第一:在A中取元素的任意性;第二:在B中对应元素的唯一性;映射问题允许多对一,但不允许一对多.(2)判断两个函数相等的依据是两个函数的_和_完全 一致.(3)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的_,其值域等于各 段函数的值域的_,分段函数虽由几个部分组成,但它表示
3、的是一 个函数.(4)与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点.定义域 对应关系 并集 并集 3.必用技法 核心总结 看一看(1)常用方法:利用待定系数法、换元法、配凑法、消去法确定函数解析式.(2)数学思想:数形结合、分类讨论.(3)记忆口诀:抽象函数不要怕,赋值方法解决它;分段函数分段算,并到一起保平安.【小题快练】1.思考辨析 静心思考 判一判(1)函数是建立在其定义域到值域的映射.()(2)若函数的定义域和值域相同,则这两个函数是相等函数.()(3)函数f(x)=x2-x与g(t)=t2-t是同一函数.()(4)f(x)=是一个函数.()x32x【解析】(1)正确.函数是特殊的映
4、射.(2)错误.如函数y=x与y=x+1的定义域和值域都是R,但它们的对应关系不同,不是相等函数.(3)正确.函数f(x)=x2-x与g(t)=t2-t的定义域和对应关系相同.(4)错误.因定义域为空集.答案:(1)(2)(3)(4)2.教材改编 链接教材 练一练(1)(必修1P17例1(1)改编)函数f(x)=的定义域为()A.0,2)B.(2,+)C.0,2)(2,+)D.(-,2)(2,+)【解析】选C.由题意得 解得x0且x2.x121x2 x210,x20,(2)(必修1P25B组T2改编)若函数y=f(x)的定义域为M=x|-2x2,值域为N=y|0y2,则函数y=f(x)的图象可
5、能是()【解析】选B.选项A,定义域为x|-2x0,不正确.选项C,当x在(-2,2取值时,y有两个值和x对应,不符合函数的概念.选项D,值域 为0,1,不正确,选项B正确.(3)(必修1P23T2改编)如图是张大爷晨练时离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数图象.若用黑点表示张大爷家的位置,则张大爷散步行 走的路线可能是()【解析】选D.由y与x的关系知,在中间时间段y值不变,只有D符合题意.3.真题小试 感悟考题 试一试(1)(2014江西高考)函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为()A.(0,1)B.0,1 C.(-,0)(1,+)D.(-,0)1,+)【解析】选C.由题意可得x2
6、-x0,解得x1或x0,即log2x1或log2x2 或0 x0,排除B.令x=4,则(log24)2-1=30,所以排除选项A.令x=2,则(log22)2-1=0,排除D.故选C.(2)选B.由函数f(x)的定义域为(-1,0),则使函数f(2x+1)有意义,需满足-12x+10,解得-1x-,即所求函数的定义域为(-1,-).12121414【互动探究】若本例(2)中条件变为:“函数f(x-1)的定义域为(-1,0)”,则结果如何?【解析】因为f(x-1)的定义域为(-1,0),即-1x0,所以-2x-1-1,故f(x)的定义域为(-2,-1),则使函数f(2x+1)有意义,需满足-22
7、x+1-1,解得-x-1.所以f(2x+1)的定义域为(-,-1).3232【规律方法】1.求函数定义域的类型及方法(1)已知函数的解析式:构造使解析式有意义的不等式(组)求解.(2)对实际问题:由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解.(3)抽象函数:若已知函数f(x)的定义域为a,b,则函数f(g(x)的 定义域由不等式ag(x)b求出;若已知函数f(g(x)定义域为a,b,则f(x)的定义域为g(x)在 xa,b时的值域.2.求函数定义域的注意点(1)不要对解析式进行化简变形,以免定义域变化.(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时,定义域一般是各个基本初
8、等函数定义域的交集.(3)定义域是一个集合,要用集合或区间表示,若用区间表示,不能用“或”连接,而应该用并集符号“”连接.【变式训练】(2015银川模拟)函数f(x)=+lg(3x+1)的定义 域是()【解析】选B.依题意得:解得-x1,所以函数定义域为(-,1).23x1x11A.(,)B.(,1)331 11C.(,)D.(,)3 33 1x0,3x10,1313【加固训练】1.已知函数f(2x)的定义域为-1,1,则f(x)的定义域 为 .【解析】因为f(2x)的定义域为-1,1,所以 2x2,即f(x)的定义域为 ,2.答案:,2 1212122.(2015揭阳模拟)函数y=的定义域为
9、 .【解析】要使函数有意义,需 即 即 解得00,所以t1,故f(x)的解析式是f(x)=lg (x1).答案:lg (x1)2x2x2t12t12x12x12.设y=f(x)是二次函数,方程f(x)=0有两个相等实根,且f(x)=2x+2,则f(x)=.【解析】设f(x)=ax2+bx+c(a0),则f(x)=2ax+b=2x+2,所以a=1,b=2,所以f(x)=x2+2x+c.又因为方程f(x)=0有两个相等实根,所以=4-4c=0,c=1,故f(x)=x2+2x+1.答案:x2+2x+1 3.(2013安徽高考)定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=2f(x).当 0 x1时,f(
10、x)=x(1-x),则当-1x0时,f(x)=.【解析】当0 x1时,f(x)=x(1-x),当-1x0时,0 x+11,所以 f(x+1)=(x+1)1-(x+1)=-x(x+1),而f(x)=f(x+1)=-x2-x.所以当-1x0时,f(x)=-x2-x.答案:-x2-x 12121212121212考点3 分段函数及应用 知考情 分段函数作为考查函数知识的最佳载体,以其考查函数知识容量大成为高考命题的热点,试题常以选择题、填空题形式出现,考查求值、解方程(零点)、解不等式、函数图象及函数性质等问题.解题过程中常渗透分类讨论的数学思想.命题角度1:求分段函数的函数值【典例3】(2015厦
11、门模拟)设函数f(x)=则f(f(3)=()2x1x12x1x，1213A B 3 C D539明角度【解题提示】根据自变量的值选择相应的对应关系求值,先求出f(3),然后再求出f(f(3)的值.【规范解答】选D.因为f(3)=,所以f(f(3)=23222413f()()113399 命题角度2:求解分段的方程、不等式【典例4】(2014浙江高考)设函数f(x)=若f(f(a)=2,则a=.(本题源于教材必修1P45T4)22x2x2,x0,x,x0,【解题提示】根据自变量的取值分两种情况进行讨论,列出方程 进行求解.【规范解答】当a0时,f(a)=a2+2a+2=(a+1)2+10,f(f
12、(a)0时,f(a)=-a20,所以a=.答案:222悟技法 与分段函数有关问题的类型及求解思路(1)求分段函数的函数值,根据所给自变量的大小选择相应段的解析式求解,有时各段交替使用求值.(2)求分段方程或分段不等式的解,依据不同范围的不同段分类讨论求解,最后将讨论结果并起来.通一类 1.(2014江西高考)已知函数f(x)=(aR),若f(f(-1)=1,则a=()A.B.C.1 D.2【解析】选A.因为-10,所以f(f(-1)=f(2)=a22=1,解得a=.xxa 2,x0,2,x01214142.(2015日照模拟)已知函数f(x)=满足f(a)=3,则f(a-5)的值为()A.lo
13、g23 B.C.D.1【解析】选C.分两种情况分析,或者 无解,由得,a=7,所以f(a-5)=22-3+1=2x 3logx1,x3,21,x3171632a 3a3,213,2a3,loga13,3.23.(2014新课标全国卷)设函数f(x)=则使得f(x)2 成立的x的取值范围是 .【解析】当x1时,由ex-12可得x-1ln2.即xln2+1,故x1;当x1时,由f(x)=2可得x8,故1x8,综上可得x8.答案:(-,8 x 113e,x1,xx1,，13x4.(2015石家庄模拟)已知函数f(x)=若f(f(0)=4a,则实数a=.【解析】因为f(0)=30+2=2,f(f(0)
14、=f(2)=4+2a=4a,所以a=2.答案:2 23x2,x1,xax,x1,自我纠错3 分段函数的参数求值问题 【典例】(2015郑州模拟)已知实数a0,函数f(x)=若f(1-a)=f(1+a),则a的值为()33A.B.243333C.D.2424 或或2xa,x1,x2a,x1,【解题过程】【错解分析】分析上面解题过程,你知道错在哪里吗?提示:上述解题过程出现的错误主要有两个方面:(1)误以为1-a1,没有对a进行讨论直接代入求解.(2)求解过程中忘记检验所求结果是否符合要求致误.【规避策略】(1)分类讨论思想的应用:对于分段函数的求值问题,若自变量的取值范围不确定,应分情况求解.(2)检验结果:求解过程中,求出的参数的值或范围并不一定符合题意,因此要检验结果是否符合要求.【自我矫正】选B.当a0时,1-a1,由f(1-a)=f(1+a)可得2-2a+a=-1-a-2a,解得a=,不合题意;当a1,1+a1,由f(1-a)=f(1+a)可得-1+a-2a=2+2a+a,解得a=故a的值为 3.43.432