1、山东省潍坊市2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座号、准考证号、班級和科类填写在答题卡和答题纸规定的位置上.2.第卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3.第卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.4.填
2、空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第卷（共60分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足，则复数虚部为.A. -2B. -1C. 1D. 2.【答案】D【解析】【分析】根据复数除法的运算法则去计算即可.【详解】因为，所以，虚部是，故选D.【点睛】本题考查复数的除法运算以及复数实部、虚部判断，难度较易.复数除法运算时，注意利用平方差公式的形式将分母实数化去计算2.若函数在区间内可导，且，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：由函数在某一点处的定义可知，.考点：函数在某一
3、点处导数的定义.3.已知随机变量，若，则实数n的值为（ ）A. 4B. 6C. 8D. 24【答案】B【解析】【分析】直接用二项分布的期望与方差公式计算即可.【详解】由题意，由可得，所以，.故选：B【点睛】本题考查已知二项分布的期望和方差求参数的问题，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.4.有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先把取一次取得次品概率算出来，再根据离散型随机变量的概率即可算出【详解】因为是有放回地取产品，所以每次取产品取到次品的概率为从中取3次，为取得次品的次数，则,选择
4、D答案【点睛】本题考查离散型随机变量的概率,解题时要注意二项分布公式的灵活运用.属于基础题5.同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数小于4”为事件，“两颗骰子的点数之和等于7”为事件，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】用列举法分别写出事件和红骰子向上的点数小于4且两颗骰子的点数之和等于7的基本事件，再根据条件概率的公式求出.【详解】解：由题可知，事件为“红骰子向上的点数小于4”，而红骰子向上的点数小于4的有：1，2，3，共3种情况，则，而“红骰子向上的点数小于4且两颗骰子的点数之和等于7”，有：，共3种情况，则，所以.故选：B.【点睛】本题
5、考查利用条件概率公式求概率，考查分析问题能力和运算能力.6.已知则（ ）A. B. 0C. 1D. 2【答案】C【解析】【分析】令,可得，令代入等式，可得，从而得到答案.【详解】由令得：，则令得：所以，则故选：C【点睛】本题主要考查二项式定理求解系数和，系数和问题一般是利用赋值法进行求解，侧重考查数学运算的核心素养，属于基础题.7.如图，是可导函数，直线是曲线在处的切线，令，是的导函数，则（ ）A. 1B. 0C. 2D. 4【答案】B【解析】【分析】将点坐标代入切线方程得出的值，得出以及，再对函数求导得，即可得出的值【详解】将点代入直线的方程得，得，所以，由于点在函数的图象上，则，对函数求导
6、得，故选B【点睛】本题考查导数的几何意义，在处理直线与函数图象相切的问题时，抓住以下两点：（1）函数在切点处的导数值等于切线的斜率；（2）切点是切线与函数图象的公共点8.函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先对函数求导，将函数在给定区间上单调增，转化为其导数在相应区间上大于等于零恒成立，构造新函数，利用导数研究其最值，求得结果.【详解】，若函数在上单调递增，则在上恒成立，则在上恒成立，令，则，可以得出时，当时，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，故选：A.【点睛】该题考查的是与导数有关的问题，涉及到的知识点为根据函数在给定
7、区间上单调增，确定参数的取值范围，属于中档题目.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9.以下为真命题的是（ ）A. 纯虚数的共轭复数等于B. 若，则C. 若，则与互为共轭复数D. 若，则与互为共轭复数【答案】AD【解析】【分析】根据纯虚数的概念即可判断A选项；根据实数、复数的运算、以及共轭复数的定义即可判断BCD选项.【详解】解：对于A，若为纯虚数，可设，则，即纯虚数的共轭复数等于，故A正确；对于B，由，得出，可设，则，则，此时，故B错误；对于C，设，则，则，但不一定相等，所以与不一定互为
8、共轭复数，故C错误；对于D，则，则与互为共轭复数，故D正确.故选：AD.【点睛】本题考查与复数有关的命题的真假性，考查复数的基本概念和运算，涉及实数、纯虚数和共轭复数的定义，属于基础题.10.设离散型随机变量的分布列为012450.30.20.20.1若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（ ）A B. C. D. 【答案】AC【解析】【分析】由离散型随机变量的分布列的性质求得，可求出和，再由离散型随机变量满足，从而可求出.【详解】解：由离散型随机变量的分布列的性质得：，则，即，因为离散型随机变量满足，故结果正确的有AC.故选：AC.【点睛】本题考查命题真假性的判断，考查离散型随机变量的分布
9、列、数学期望和方差，考查运算求解能力.11.如图是的导函数的图象，则下列判断正确的是（ ）A. 在区间上是增函数B. 是的极小值点C. 在区间上是增函数，在区间上是减函数D. 是的极大值点【答案】BC【解析】【分析】根据导函数与函数的单调性、函数的极值的关系判断【详解】在上，递减，A错；，且当时，时，所以是的极小值点，B正确；在上，递增，在上，递减，C正确；在区间上是增函数，不是的极大值点，D错故选：BC【点睛】本题考查导数与函数的单调性、函数的极值的关系，掌握用导数判断单调性的方法是解题关键12.下列命题正确的是（ ）A. 已知随机变量X服从正态分布，且，则B. 以模型去拟合一组数据时，为了
10、求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则C. 已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为，若.，则D. 【答案】BCD【解析】【分析】对A，根据正态分布的性质求解；对B，将两边取对数，可得，结合已知，进行求解；对C，根据回归直线方程必过样本点中心，求解；对D，根据二项式定理，写出展开式，即可求得答案.【详解】对A，随机变量服从正态分布，且可得：，故A错误；对B，两边取对数，可得令，可得，故B正确；对C， 其回归直线方程为，且.回归直线方程必过样本点中心，解得，故C正确；对D，即化简可得：，故D正确.故选：BCD【点睛】本题解题关键是掌握正态分布的特征和回归直线必过样本点中心，及其二项式
11、定理的应用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.第卷（非选择题，共90分）三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应的横线上）13.复数_【答案】1【解析】【分析】利用运算的周期性求解【详解】故答案为：1【点睛】本题考查复数的乘方运算，涉及运算的周期性，是基础题14.在杨辉的详解九章算法中载有一个“开方作法本源”图，就是“杨辉三角”我们可以从中发现下列的等式：第1行：，第2行：，第3行：，第4行：，第5行：，那么由此可得，第2020行的等式等号右侧的数值为_（结果保留最简形式）【答案】【解析】【分析】观察前几行可得规律为，可归纳猜想得第行为，得出答案.【详解】第
12、1行：，第2行：，第3行：，第4行：，第5行：归纳猜想可得第行为所以第2020行的等式等号右侧的数值为故答案为：【点睛】本题考查归纳推理，根据有限的信息得出规律，归纳出一般结论，考查学生的抽象概括能力，属于中档题.15.现随机安排甲、乙、丙3名志愿者为某学生辅导数学、物理、化学、生物4门学科，每名志愿者至少辅导1门学科，每门学科由1名志愿者辅导，则数学学科恰好由甲辅导的概率为_【答案】【解析】【分析】先求出3名志愿者辅导4门学科情况总数，再计算出数学学科由甲辅导的种数，由古典概型的计算公式即可得到答案.【详解】甲、乙、丙辅导某学生4门学科，每名志愿者至少辅导1门学科，每门学科由1名志愿者辅导，
13、则有一名志愿者辅导了2门，共有种不同的情况，数学学科恰好由甲辅导共有种不同情况，由古典概型的概率计算公式可知，所求概率为.故答案为：【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算问题，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.16.若点是函数的图象上任意两点，且函数分别在点和点处的切线互相垂直，则的最大值为 _.【答案】【解析】【分析】由题得，即得，.所以，设，利用导数求函数的最值即可.【详解】由导数的几何意义知，点处的切线的斜率为，点处的切线的斜率为，函数的图象在点，处的切线互相垂直时，有，由，可得，即，因为，所以.所以，设，可得，即在，递增，可得有最大值，故答案为：【点睛】本题主要考查导数的几何意义，
14、考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.四、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.若展开式的二项式系数之和是64（1）求n的值；（2）求展开式中的常数项【答案】（1）6；（2）60【解析】【分析】由二项式系数和求出指数，再写出展开式通项后可得常数项.【详解】（1）由题意得，二项式系数之和为，；（2）通项公式为， 令，得 展开式中的常数项为【点睛】该题主要考查二项式定理，在展开式中二项式系数为，只与指数有关，求特定项时要注意通项的正确应用.18.函数在点处的切线斜率为（1）求实数a的值；（2）求的单调区间和极值【答案】（1）3；（2）增区间为，减区
15、间为极小值，无极大值【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义，导数值为切线的斜率求出实数的值；（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间和极值.【详解】解：（1）函数的导数为， 在点处的切线斜率为，即，；（2）由（1）得， 令，得，令，得， 即的增区间为，减区间为在处取得极小值，无极大值【点睛】本题考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值问题，属于容易题19.第35届牡丹花会期间，我班有5名学生参加志愿者服务，服务场所是王城公园和牡丹公园.(1)若学生甲和乙必须在同一个公园，且甲和丙不能在同一个公园，则共有多少种不同的分配方案？(2)每名学生都被随机分配到其中的
16、一个公园，设分别表示5名学生分配到王城公园和牡丹公园的人数，记，求随机变量的分布列和数学期望.【答案】（1）8；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）利用分布计数乘法原理解答即可；（2）的所有可能取值是1，3，5，分别求出各随机变量的概率，从而可得分布列，由期望公式可得结果.试题解析：(1)依题意甲，乙，丙三人的分配方法有2种，其余二人的分配方法有种，故共有种不同的分配方案.(2)设5名学生中恰有名被分到王城公园的事件为，的所有可能取值是1，3，5.，则随机变量的分布列为135故随机变量的数学期望.20.“十三五”规划确定了到2020年消除贫困的宏伟目标，打响了精准扶贫的攻坚战，为完成脱贫任务
17、，某单位在甲地成立了一家医疗器械公司吸纳附近贫困村民就工，已知该公司生产某种型号医疗器械的月固定成本为20万元，每生产1千件需另投入5.4万元，设该公司一月内生产该型号医疗器械x千件且能全部销售完，每千件的销售收入为万元，已知（1）请写出月利润y（万元）关于月产量x（千件）的函数解析式；（2）月产量为多少千件时，该公司在这一型号医疗器械的生产中所获月利润最大？并求出最大月利润（精确到0.1万元）【答案】（1）（2）当月产量为8千件时，该公司在这一型号医疗器械的生产中所获月利润最大，最大月利润为14.1万元【解析】【分析】（1）分别求出和两种情况所对应的利润即可；（2）利用导数及基本不等式求出（
18、1）中分段函数的最大值即可.【详解】解：（1）当时，当时， （2）当时，令，可得时，时， 时，（万元）；当时，（万元）（当且仅当时取等号）综合知，当时，y取最大值14.1，故当月产量为8千件时，该公司在这一型号医疗器械的生产中所获月利润最大，最大月利润为14.1万元【点晴】本题主要考查函数模型的应用，考查学生数学建模能力，数学运算能力，是一道中档题.21.山东省高考改革试点方案规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年高考总成绩由语数外三门统考科目和物理、化学等六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为、共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比
19、例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到、，八个分数区间，得到考生的等级成绩某市高一学生共6000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六门选考科目进行测试，其中化学考试原始成绩大致服从正态分布（1）求该市化学原始成绩在区间的人数；（2）以各等级人数所占比例作为各分数区间发生的概率，按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X表示这3人中等级成绩在区间的人数，求（附：若随机变量，则，）【答案】（1）4911人（2）【解析】【分析】（1）由正态分布曲线的对称性计算概率；（2）根据已
20、知条件得等级成绩在区间内的概率为，则的所有可能取值为0，1，2，3，且，由二项分布概率公式可计算出概率【详解】解：（1）化学原始成绩，化学原始成绩在的人数为（人）；（2）因为以各等级人数所占比例作为各分数区间发生的概率，且等级成绩在区间、的人数所占比例分别为16%、24%，则随机抽取1人，其等级成绩在区间内的概率为所以从全省考生中随机抽取3人，则的所有可能取值为0，1，2，3，且，【点睛】本题考查正态分布，考查二项分布，掌握正态分布曲线的性质和二项分布的概率公式是解题关键22.函数（a为常数，且）在处取得极值（1）求实数a的值，并求的单调区间；（2）关于x的方程在上恰有1个实数根，求实数b的取
21、值范围；（3）求证：当时，【答案】（1），的单调递增区间是，函数的单调递减区间是（2）（3）见解析【解析】【分析】（1）首先写出函数的定义域，之后求函数的导函数，利用条件，得到等式，解出，代入导函数解析式，令，求得函数的单调增、减区间；（2）将的解析式代入方程，化简得，令，利用导数研究其单调性，结合题意，得到不等式组，求得结果；（3）结合（1），得到，进一步得到成立，对依次取值，累加得到结果.【详解】（1），由题意得，得， 当时，令，得，令，得，函数的单调递增区间是，函数的单调递减区间是（2）关于x的方程，化简为，令， 令，解得或1，令，得，函数在上单调递增，关于x的方程在上恰有1个实数根，则只需得 （3）由（1）知，当时，即，当时，令，则成立，即成立 将n依次取1，2，3，4，5，可得，累加求和得：， 即当时，成立【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有根据极值求参数，利用导数求函数的单调性，根据函数零点个数确定参数的取值范围，与数列相关的证明问题，属于较难题目.