1、北京市西城区2014 2015学年度第一学期期末试卷 高二数学 2015.1（文科）试卷满分：150分 考试时间：120分钟题号一二三本卷总分171819202122分数一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. 圆的圆心为（ ）A. B. C. D. 2. 椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 3. 双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 4. 已知表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（ ）A. 若则B. 若，则C. 若，则D. 若，则5. 命题“，如果，则”的否命题为（ ）A. ，如果，则B. ，如果，
2、则C. ，如果，则D. ，如果，则6. 圆 与圆的位置关系是（ ）A. 相离B. 外切C. 内切D.相交7. “四边形为菱形”是“四边形中”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8. 已知直线和直线平行，则实数的值为（ ）A. B. C. 和D.10cm24cm9. 如图所示，汽车前灯反光镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反光镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点处. 已知灯口的直径是24cm，灯深10cm，那么灯泡与反光镜的顶点（即截得抛物线的顶点）距离为（ ）A.10cmB. 7.2cmC. 3.6cmD. 2.4cm10
3、. 如图，在边长为的正方体中，为棱的中点，为面上的点. 一质点从点射向点，遇正方体的面反射（反射服从光的反射原理），反射到点. 则线段与线段的长度和为（ ）A1BPDACB1C1D1MA.B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上.11. 抛物线的准线方程为_.12. 命题“”的否定是_.正（主）视图侧（左）视图俯视图13. 右图是一个四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为_.14. 圆心在直线上，且与轴相切于点的圆的方程为_.15. 已知为双曲线的一个焦点，则点到双曲线的一条渐近线的距离为_.12mm24mm16. “降水量”是指从天空降落到地面上
4、的液态或固态（经融化后）降水，未经蒸发、渗透、流失而在水平面上积聚的深度.降水量以为单位. 为了测量一次降雨的降水量，一个同学使用了如图所示的简易装置：倒置的圆锥. 雨后，用倒置的圆锥接到的雨水的数据如图所示，则这一场雨的降水量为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分13分）如图，四边形为矩形，平面，为 上的点.AEBCDF（）求证：平面；（）求证： 18.（本小题满分13分）已知三个顶点的坐标分别为，.（）求中边上的高线所在直线的方程； （）求外接圆的方程. 19.（本小题满分14分）如图，已知直三棱柱中，为中点.ABCEA1B
5、1C1（）求证：平面；（）求证：平面平面.20.（本小题满分13分）如图，是椭圆的两个顶点，过点的直线与椭圆交于另一点.（）当的斜率为时，求线段的长；（）设是的中点，且以为直径的圆恰过点. 求直线的斜率.xyOABCD21.（本小题满分13分）如图，四棱锥中，底面为矩形，平面平面，且，为中点.（）求三棱锥的体积；（）求证：平面；PABCDEM（）设是线段上一点，且满足，试在线段上确定一点，使得平面，并求出的长.22.（本小题满分14分）已知是抛物线上的不同两点，弦（不平行于轴）的垂直平分线与轴交于点.（）若直线经过抛物线的焦点，求两点的纵坐标之积；（）若点的坐标为，弦的长度是否存在最大值？若存
6、在，求出其最大值；若不存在，请说明理由.北京市西城区2014 2015学年度第一学期期末试卷高二数学（文科）参考答案及评分标准 2015.1一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 1.B 2.B 3.D 4. C 5. D 6.D 7.A 8. A 9.C 10. C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 三、解答题：本大题共6小题，共80分.17. （本小题满分13分）AEBCDF（）证明：因为四边形为矩形，所以. 2分又因为平面，平面， 4分所以平面. 5分（）证明：因为平面，所以平面，则 . 7分又因为，所以. 9
7、分所以平面. 11分又平面， 12分所以. 13分18. （本小题满分13分）解：（）因为，所以直线的斜率为， 2分又边上的高所在的直线经过点，且与垂直， 所以所求直线斜率为， 4分所求方程为， 即 . 5分（）设外接圆的方程为, 6分因为点，在圆上，则 9分解得，. 12分所以外接圆的方程为. 13分19. （本小题满分14分）（）证明：连结，与交于点，连结. 1分ABCEA1B1C1F因为三棱柱是直三棱柱，所以四边形是矩形， 点是中点. 3分又为中点，所以. 5分因为平面，平面， 所以平面. 7分（）证明：因为，为中点，所以. 9分又因为三棱柱是直三棱柱，所以底面，从而. 11分所以平面.
8、 12分因为平面， 13分所以平面平面. 14分20. （本小题满分13分）解：（）由已知，直线的方程为. 1分由 得， 2分解得或（舍）， 3分所以点的坐标为， 4分所以. 5分（）依题意，设直线的方程为，.由 得， 7分解得或（舍）， 8分所以点的横坐标为，设点的坐标为，则， 9分， 10分因为以为直径的圆恰过点，所以，即. 11分整理得， 12分所以. 13分21. （本小题满分13分）（）解：由已知，可知，是等腰直角三角形，. 1分因为平面平面，底面为矩形，所以平面. 2分三棱锥的体积. 4分（）证明：由（）知，平面， 所以.因为，即，PABCDEMFN所以平面. 5分因为平面，所以.
9、 6分因为，为中点，所以， 7分因为，所以平面. 8分（）解：在面上，过作交于.在面上，过作交于，连结. 9分因为，平面，平面，所以平面. 因为，平面，平面，所以平面.所以平面平面. 10分从而，平面. 11分由所作可知，为等腰直角三角形，所以，. 12分,均为等腰直角三角形，所以，.所以为线段上靠近点的三等分点，且. 13分22. （本小题满分14分）解：（）抛物线的焦点为， 1分依题意，设直线方程为，其中. 2分将代入直线方程，得，整理得， 4分所以，即两点的纵坐标之积为. 5分（）设，.由 得. 6分由，得. 7分所以，. 8分设中点坐标为，则， ， 9分所以弦的垂直平分线方程为，令，得. 10分由已知，即. 11分 12分当，即时，的最大值为. 13分当时，；当时，.均符合题意.所以弦的长度存在最大值，其最大值为. 14分