1、天津市南开中学2015届高三下学期第二次月考数学试卷（理科）一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题5分，共40分）1“”是“”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件2已知向量=（1，2），=（2，3）若向量满足（+），（+），则=（）A（，）B（，）C（，）D（，）3已知an为等差数列，其公差为2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为an的前n项和，nN*，则S10的值为（）A110B90C90D1104要得到函数y=sinx的图象，只需将函数y=cos（x）的图象（）A向右平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位
2、D向左平移个单位5已知函数f（x）=2sin（x+），xR，其中0，若函数f（x）的最小正周期为6，且当x=时，f（x）取得最大值，则（）Af（x）在区间2，0上是增函数Bf（x）在区间3，上是增函数Cf（x）在区间3，5上是减函数Df（x）在区间4，6上是减函数6在ABC中，则sinBAC=（）ABCD7已知函数，把方程f（x）=x的根按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为（）A（nN*）Ban=n（n1）（nN*）Can=n1（nN*）Dan=2n2（nN*）8已知函数f（x）的图象与函数的图象关于点A（0，1）对称，若，且g（x）在区间（0，2上为减函数，则实数a的取值范围
3、是（）A3，+）B2，+）C（0，3D（0，2二、填空题：（每小题5分，共30分）9已知sin=，则sin4cos4的值为10已知a，b，c为ABC的三个内角A，B，C的对边，向量=（，1），=（cosA，sinA）若，且acosB+bcosA=csinC，则角B=11已知an为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以Sn表示an的前项和，则使得Sn达到最大值的是12数列an的前n项和为Sn，若，则S10等于13已知数列an满足a1=33，an+1an=2n，则的最小值为14已知菱形ABCD的边长为2，BAD=120，点E、F分别在边BC、DC上，=，=若=1，=，则+=
4、三、解答题：（15-18每小题13分，19-20每小题13分，共80分）15甲、乙两人参加某种选拔测试在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的5道题规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，至少得15分才能入选（）求乙得分的分布列和数学期望；（）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率16已知函数（）求f（x）的最小正周期；（）求f（x）在区间上的最大值和最小值17已知cos（x）=，x（，）（1）求sinx的值；（2）求sin（2x）的值18设an为等比数列，a1=1，a2=3（）求最小的自然数n，使an2014
5、；（）求和：19设数列an的前n项和为Sn已知a1=a，an+1=Sn+3n，nN*由（）设bn=Sn3n，求数列bn的通项公式；（）若an+1an，nN*，求a的取值范围20已知函数f（x）=ln（ax）（a0）（）求函数f（x）的单调区间及最值；（）求证：对于任意正整数n，均有1+ln（e为自然对数的底数）；（）当a=1时，是否存在过点（1，1）的直线与函数y=f（x）的图象相切？若存在，有多少条？若不存在，说明理由天津市南开中学2015届高三下学期第二次月考数学试卷（理科）一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题5分，共40分）1“”是“”的（）A充分
6、而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件考点：正切函数的图象 专题：计算题分析：根据当时成立判断是成立的充分条件，当tan=0时不成立，进而可判断是成立的不必要条件解答：可知充分，当=0时可知不必要故选A点评：本题主要考查了充分、必要条件的判定属基础题2已知向量=（1，2），=（2，3）若向量满足（+），（+），则=（）A（，）B（，）C（，）D（，）考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；平行向量与共线向量 专题：平面向量及应用分析：设出要求的向量的坐标，根据向量之间的平行和垂直关系，写出两个关于x，y的方程，组成方程组，解方程组得到变量的值，即求出了向量的坐标解答
7、：解：设=（x，y），则+=（x+1，y+2），+=（3，1）（+），（+），2（y+2）=3（x+1），3xy=0x=，y=，故选D点评：本题考查向量平行和垂直的充要条件，认识向量的代数特性向量的坐标表示，实现了形与数的互相转化以向量为工具，几何问题可以代数化，代数问题可以几何化3已知an为等差数列，其公差为2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为an的前n项和，nN*，则S10的值为（）A110B90C90D110考点：等差数列的前n项和；等比数列的性质 专题：等差数列与等比数列分析：通过a7是a3与a9的等比中项，公差为2，求出解答：解：a7是a3与a9的等比中项，公差为2，所以a72=
8、a3a9，an公差为2，a3=a74d=a7+8，a9=a7+2d=a74，所以a72=（a7+8）（a74），所以a7=8，所以a1=20，所以S10=110故选D点评：本题是基础题，考查等差数列的前n项和，等比数列的应用，考查计算能力，常考题型4要得到函数y=sinx的图象，只需将函数y=cos（x）的图象（）A向右平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向左平移个单位考点：函数y=Asin（x+）的图象变换 专题：三角函数的图像与性质分析：由于函数y=sinx=cos（x），再根据y=Asin（x+）的图象变换规律，可得结论解答：解：由于函数y=sinx=cos（x），故只需将函数的
9、图象象右平移可得函数y=cos（x）的图象，故选A点评：本题主要考查诱导公式的应用，利用了y=Asin（x+）的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于中档题5已知函数f（x）=2sin（x+），xR，其中0，若函数f（x）的最小正周期为6，且当x=时，f（x）取得最大值，则（）Af（x）在区间2，0上是增函数Bf（x）在区间3，上是增函数Cf（x）在区间3，5上是减函数Df（x）在区间4，6上是减函数考点：正弦函数的单调性；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值 专题：三角函数的图像与性质分析：由函数f（x）的最小正周期为6，根据周期公式可得=，且当x=时，f（x）取得最
10、大值，代入可得，2sin（）=2，结合已知可得= 可得，分别求出函数的单调增区间和减区间，结合选项验证即可解答：解：函数f（x）的最小正周期为6，根据周期公式可得=，f（x）=2sin（），当x=时，f（x）取得最大值，2sin（）=2，=+2k，=， 由 可得函数的单调增区间：，由可得函数的单调减区间：，结合选项可知A正确，故选A点评：本题主要考查了利用函数的部分图象求解函数的解析式，还考查了函数y=Asin（x+）（A0，0）的单调区间的求解，属于对基础知识的考查6在ABC中，则sinBAC=（）ABCD考点：余弦定理；正弦定理 专题：解三角形分析：由AB，BC及cosABC的值，利用余弦
11、定理求出AC的长，再由正弦定理即可求出sinBAC的值解答：解：ABC=，AB=，BC=3，由余弦定理得：AC2=AB2+BC22ABBCcosABC=2+96=5，AC=，则由正弦定理=得：sinBAC=故选C点评：此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键7已知函数，把方程f（x）=x的根按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为（）A（nN*）Ban=n（n1）（nN*）Can=n1（nN*）Dan=2n2（nN*）考点：数列递推式 专题：计算题；压轴题分析：函数y=f（x）与y=x在（0，1，（1，2，（2，3，（3，4，（n，n+1上的交点依次为（0，0
12、），（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（n+1，n+1）即方程f（x）x=0在（2，3，（3，4，（n，n+1上的根依次为3，4，n+1方程f（x）x=0的根按从小到大的顺序排列所得数列为0，1，2，3，4，其通项公式为an=n1解答：解：若0x1，则1x10，得f（x）=f（x1）+1=2x1，若1x2，则0x11，得f（x）=f（x1）+1=2x2+1若2x3，则1x12，得f（x）=f（x1）+1=2x3+2若3x4，则2x13，得f（x）=f（x1）+1=2x4+3以此类推，若nxn+1（其中nN），则f（x）=f（x1）+1=2xn1+n，下面分析函数f（x）=2x的图
13、象与直线y=x+1的交点很显然，它们有两个交点（0，1）和（1，2），由于指数函数f（x）=2x为增函数且图象下凸，故它们只有这两个交点然后将函数f（x）=2x和y=x+1的图象同时向下平移一个单位即得到函数f（x）=2x1和y=x的图象，取x0的部分，可见它们有且仅有一个交点（0，0）即当x0时，方程f（x）x=0有且仅有一个根x=0取中函数f（x）=2x1和y=x图象1x0的部分，再同时向上和向右各平移一个单位，即得f（x）=2x1和y=x在0x1上的图象，显然，此时它们仍然只有一个交点（1，1）即当0x1时，方程f（x）x=0有且仅有一个根x=1取中函数f（x）=2x1和y=x在0x1上
14、的图象，继续按照上述步骤进行，即得到f（x）=2x2+1和y=x在1x2上的图象，显然，此时它们仍然只有一个交点（2，2）即当1x2时，方程f（x）x=0有且仅有一个根x=2以此类推，函数y=f（x）与y=x在（2，3，（3，4，（n，n+1上的交点依次为（3，3），（4，4），（n+1，n+1）即方程f（x）x=0在（2，3，（3，4，（n，n+1上的根依次为3，4，n+1综上所述方程f（x）x=0的根按从小到大的顺序排列所得数列为0，1，2，3，4，其通项公式为an=n1；故选C点评：本题考查数列的递推公式的合理运用，解题时要注意分类讨论思想的合理运用8已知函数f（x）的图象与函数的图象关
15、于点A（0，1）对称，若，且g（x）在区间（0，2上为减函数，则实数a的取值范围是（）A3，+）B2，+）C（0，3D（0，2考点：函数的单调性与导数的关系 专题：计算题分析：利用函数图象对称的公式，求得f（x）=2h（x）=，由此可得g（x）=x+然后对函数g（x）求导数，并讨论导数g（x）在区间（0，2恒小于或等于0，即可得到实数a的取值范围解答：解：函数f（x）的图象与函数的图象关于点A（0，1）对称，f（x）=2h（x）=2（）=由此可得=x+，对g（x）求导数，得g（x）=1g（x）在区间（0，2上为减函数，g（x）=10在区间（0，2恒成立，即1，可得x2a+1x2的最大值小于或等
16、于a+1，即a+14，a3故选A点评：本题用导数为工具讨论函数的单调性，着重考查了函数的单调性、函数图象的对称性质和不等式恒成立的讨论等知识，属于基础题二、填空题：（每小题5分，共30分）9已知sin=，则sin4cos4的值为考点：三角函数的恒等变换及化简求值 专题：计算题分析：用平方差公式分解要求的算式，用同角的三角函数关系整理，把余弦变为正弦，代入题目的条件，得到结论解答：解：sin4cos4=sin2cos2=2sin21=，故答案为：点评：已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的10已知a，b，c为ABC的三个内角A，
17、B，C的对边，向量=（，1），=（cosA，sinA）若，且acosB+bcosA=csinC，则角B=考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；三角函数的积化和差公式 专题：常规题型；压轴题分析：由向量数量积的意义，有，进而可得A，再根据正弦定理，可得sinAcosB+sinBcosA=sinC sinC，结合和差公式的正弦形式，化简可得sinC=sin2C，可得C，由A、C的大小，可得答案解答：解：根据题意，由正弦定理可得，sinAcosB+sinBcosA=sinCsinC，又由sinAcosB+sinBcosA=sin（A+B）=sinC，化简可得，sinC=sin2C，则C=，则，故答
18、案为点评：本题考查向量数量积的应用，判断向量的垂直，解题时，注意向量的正确表示方法11已知an为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以Sn表示an的前项和，则使得Sn达到最大值的是20考点：等差数列的性质；等差数列的前n项和 专题：计算题分析：利用等差数列的通项公式表示出特设中的等式，联立求得a1和d，进而求得a200，a210，判断数列的前20项为正，故可知数列的前20项的和最大解答：解：设等差数列公差为d，则有解得a1=39，d=2a20=39219=10，a21=39220=10数列的前20项为正，使得Sn达到最大值的是20故答案为20点评：本题主要考查了等差数列
19、的性质解题的关键是判断从数列的哪一项开始为负12数列an的前n项和为Sn，若，则S10等于考点：数列的求和 专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：通过裂项可得an=（），并项相消计算即可解答：解：=（），S10=（1+）（+）=（1+）=，故答案为：点评：本题考查求数列的和，注意解题方法的积累，属于基础题13已知数列an满足a1=33，an+1an=2n，则的最小值为考点：数列递推式；基本不等式在最值问题中的应用 专题：计算题；压轴题分析：由累加法求出an=33+n2n，所以，设f（n）=，由此能导出n=5或6时f（n）有最小值借此能得到的最小值解答：解：an=（anan1）+（an1an2）
20、+（a2a1）+a1=21+2+（n1）+33=33+n2n所以设f（n）=，令f（n）=，则f（n）在上是单调递增，在上是递减的，因为nN+，所以当n=5或6时f（n）有最小值又因为，所以的最小值为点评：本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数判断函数单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力14已知菱形ABCD的边长为2，BAD=120，点E、F分别在边BC、DC上，=，=若=1，=，则+=考点：平面向量数量积的运算；平面向量的基本定理及其意义 专题：平面向量及应用分析：利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，由=1，求得4+42=3 ；再由=
21、，求得+=结合求得+的值解答：解：由题意可得若=（+）（+），=+=22cos120+=2+4+4+22cos120=4+422=1，4+42=3 =（）=（1）（1）=（1）（1）=（1）（1）22cos120=（1+）（2）=，即+= 由求得+=，故答案为：点评：本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档题三、解答题：（15-18每小题13分，19-20每小题13分，共80分）15甲、乙两人参加某种选拔测试在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的5道题规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答
22、错一题（不答视为答错）减5分，至少得15分才能入选（）求乙得分的分布列和数学期望；（）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率考点：离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列 专题：计算题分析：（）确定乙答题所得分数的可能取值，求出相应的概率，即可得到乙得分的分布列和数学期望；（）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，求出甲、乙入选的概率，利用对立事件，即可求得结论解答：解：（）设乙答题所得分数为X，则X的可能取值为15，0，15，30； ； 乙得分的分布列如下：X1501530P （）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，记甲入选为事件A，乙入选为事件B则 ， 故甲乙两人
23、至少有一人入选的概率 点评：本题考查概率的计算，考查互斥事件的概率，考查离散型随机变量的分布列与期望，确定变量的取值，计算其概率是关键16已知函数（）求f（x）的最小正周期；（）求f（x）在区间上的最大值和最小值考点：两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性 专题：三角函数的图像与性质分析：（I）利用两角和的正弦公式将sin（2x+）展开，结合二倍角的正余弦公式化简合并，得f（x）=2sin2x2cos2x，再利用辅助角公式化简得f（x）=2sin（2x），最后利用正弦函数的周期公式即可算出f（x）的最小正周期；（II）根据x，得2x再由正弦
24、函数在区间，上的图象与性质，可得f（x）在区间上的最大值为与最小值解答：解：（I）sinxcosx=sin2x，cos2x=（1+cos2x）f（x）=sin（2x+）+6sinxcosx2cos2x+1=sin2xcos2x+3sin2x（1+cos2x）+1=2sin2x2cos2x=2sin（2x）因此，f（x）的最小正周期T=；（II）0x，2x当x=0时，sin（2x）取得最小值；当x=时，sin（2x）取得最大值1由此可得，f（x）在区间上的最大值为f（）=2；最小值为f（0）=2点评：本小题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦公式、三角函数的最小正周期和函数y=Asi
25、n（x+）的单调性等知识，考查基本运算能力，属于中档题17已知cos（x）=，x（，）（1）求sinx的值；（2）求sin（2x）的值考点：两角和与差的正弦函数；运用诱导公式化简求值 专题：计算题分析：（1）利用x的范围确定x的范围，进而利用同角三角函数的基本关系求得sin（x）的值，进而根据sinx=sin（x）+利用两角和公式求得答案（2）利用x的范围和（1）中sinx的值，利用同角三角函数的基本关系求得cosx的值，进而根据二倍角公式求得sin2x和cos2x的值，最后代入正弦的两角和公式求得答案解答：解：（1）因为x（，），所以x（），sin（x）=sinx=sin（x）+=sin（x
26、）cos+cos（x）sin=+=（2）因为x（，），故cosx=sin2x=2sinxcosx=，cos2x=2cos2x1=所以sin（2x+）=sin2xcos+cos2xsin=点评：本题主要考查了两角和公式的化简求值和同角三角函数基本关系的应用考查了学生基础知识的掌握和基本运算能力18设an为等比数列，a1=1，a2=3（）求最小的自然数n，使an2014；（）求和：考点：数列的求和 专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：（）根据题意确定出an通项公式，即可确定出最小的自然数n的值；（）根据题意列举出T2n，以及T2n，两数相减即可确定出T2n解答：解：（）由已知条件得an=1（）n
27、1=3n1，36201437，使an2014成立的最小自然数n=8；（）T2n=+，T2n=+，得：T2n=1+=，则T2n=点评：此题考查了数列的求和，以及等比数列的通项公式，求和公式，熟练掌握公式是解本题的关键19设数列an的前n项和为Sn已知a1=a，an+1=Sn+3n，nN*由（）设bn=Sn3n，求数列bn的通项公式；（）若an+1an，nN*，求a的取值范围考点：数列递推式；数列的概念及简单表示法 专题：计算题；压轴题分析：（）依题意得Sn+1=2Sn+3n，由此可知Sn+13n+1=2（Sn3n）所以bn=Sn3n=（a3）2n1，nN*（）由题设条件知Sn=3n+（a3）2n
28、1，nN*，于是，an=SnSn1=，由此可以求得a的取值范围是9，+）解答：解：（）依题意，Sn+1Sn=an+1=Sn+3n，即Sn+1=2Sn+3n，由此得Sn+13n+1=2Sn+3n3n+1=2（Sn3n）因此，所求通项公式为bn=Sn3n=（a3）2n1，nN*（）由知Sn=3n+（a3）2n1，nN*，于是，当n2时，an=SnSn1=3n+（a3）2n13n1（a3）2n2=23n1+（a3）2n2，an+1an=43n1+（a3）2n2=，当n2时，a9又a2=a1+3a1综上，所求的a的取值范围是9，+）点评：本题考查数列的综合运用，解题时要仔细审题，注意挖掘题设中的隐含条
29、件20已知函数f（x）=ln（ax）（a0）（）求函数f（x）的单调区间及最值；（）求证：对于任意正整数n，均有1+ln（e为自然对数的底数）；（）当a=1时，是否存在过点（1，1）的直线与函数y=f（x）的图象相切？若存在，有多少条？若不存在，说明理由考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；数列与不等式的综合 专题：综合题；导数的综合应用分析：（I）由题意知a0，先对函数求导，分a0，a0讨论函数的定义域及单调区间，从而确定最值（II）当a=1时由（I）知函数f（x）的定义域（0，+），在（0，1）是减函数，1，+）是增函数，从而有1lnx=ln，分别把x=1，2，3代入不等式相加可证（III
30、）假设存在满足条件的直线与函数相切，根据导数的几何意义，求出切线方程，结合导数的知识推导解答：（）解：由题意f（x）=当a0时，函数f（x）的定义域为（0，+），此时函数在（0，a）上是减函数，在（a，+）上是增函数，fmin（x）=f（a）=lna2，无最大值当a0时，函数f（x）的定义域为（，0），此时函数在（，a）上是减函数，在（a，0）上是增函数，fmin（x）=f（a）=lna2，无最大值（）证明：取a=1，由（1）知f（x）=lnxf（1）=0，故1lnx=ln，取x=1，2，3，则1+ln（e为自然对数的底数）；（）解：假设存在这样的切线，设其中一个切点T（x0，lnx0），切线
31、方程：y+1=（x1），将点T坐标代入得：lnx0=，即lnx0+1=0，设g（x）=lnx+1，则g（x）=x0，g（x）在区间（0，1），（2，+）上是增函数，在区间（1，2）上是减函数，故g（x）极大值=g（1）=10，g（x）极小值=g（2）=ln2+0又g（）=ln+12161=ln430，注意到g（x）在其定义域上的单调性，知g（x）=0仅在（，1）内有且仅有一根所以方程有且仅有一解，故符合条件的切线有且仅有一条点评：本题考查了导数的应用：利用导数研究函数单调区间及求最值问题，而对不等式的证明问题，主要是结合函数的单调性，对于存在性问题，通常是先假设存在，由假设出发进行推导，若推出矛盾，说明假设错误，即不存在，反之说明存在