1、2019-2020学年广东省深圳实验学校高中部高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题）1. 抛物线的焦点坐标为A. B. C. D. 2. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是A. ，B. ，C. ，D. ，3. 方程表示的曲线是A. 一个点B. 一条直线C. 两条直线D. 双曲线4. 如图，在平行六面体中，AC与BD的交点为设，则下列向量中与相等的向量是A. B. C. D. 5. 曲线与曲线的A. 长轴长相等B. 短轴长相等C. 离心率相等D. 焦距相等6. 设平面与平面的夹角为，若平面，的法向量分别为和，则A. B. C. D. 7. 与圆及圆都外切的圆的圆心在A. 一
2、个椭圆上B. 一个圆上C. 一条抛物线上D. 双曲线的一支上8. 以点1，4，为顶点的三角形是A. 等腰直角三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形9. 已知点P在抛物线上，点Q在直线上，则的最小值是A. B. C. D. 10. 直三棱柱，点，分别是，的中点，则与所成角的余弦值是A. B. C. D. 11. 已知双曲线的离心率，若A，B，C是双曲线上任意三点，且A，B关于坐标原点对称，则直线CA，CB的斜率之积为A. 2B. 3C. D. 12. 已知空间直角坐标系中，P是单位球O内一定点，A，B，C是球面上任意三点，且向量，两两垂直，若注：以X表示点X的坐标，则动点Q的轨迹
3、是A. O为球心，为半径的球面B. O为球心，为半径的球面C. P为球心，为半径的球面D. P为球心，为半径的球面二、填空题（本大题共3小题）13. 双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于1，则点P到另一个焦点的距离等于_14. 已知PA、PB、PC是从P点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，则直线PC与平面PAB所成角的余弦值是_15. 已知椭圆，一组平行直线的斜率是，当它们与椭圆相交时，这些直线被椭圆截得的线段的中点轨迹方程是_三、解答题（本大题共6小题）16. 已知空间三点2，1，求以AB、AC为边的平行四边形的面积；若向量分别与、垂直，且，求的坐标17. 设抛物线上的点M与焦点F的距
4、离为，到y轴的距离为求抛物线的方程和点M的坐标；若点M位于第一象限，直线与抛物线相交于A，B两点，求证：18. 如图，在三棱锥中，G是的重心三条中线的交点，P是空间任意一点用向量，表示，并证明你的结论；设，x，y，请写出点P在的内部不包括边界的充分必要条件不必给出证明19. 已知动点M与定点的距离和M到定直线l：的距离的比是定值其中，求动点M的轨迹方程；当a，c变化时，指出中轨迹方程表示的曲线形状20. 如图，四边形ABCD为梯形，四边形CDEF为矩形，平面平面CDEF，M为AE的中点证明：平面MDF；求平面MDF与平面BCF的夹角的大小21. 已知直线l：经过椭圆E：右焦点，且与椭圆相交于A
5、，B两点，M为AB的中点，OM的斜率为为坐标原点求椭圆的方程；若直线l与圆C：相切，且圆C的动切线与椭圆E相交于P，Q两点，求面积的最大值答案和解析1.【答案】D【解析】解：整理抛物线方程得焦点在y轴，焦点坐标为故选：D先把抛物线整理标准方程，进而可判断出焦点所在的坐标轴和p，进而求得焦点坐标本题主要考查了抛物线的简单性质求抛物线的焦点时，注意抛物线焦点所在的位置，以及抛物线的开口方向2.【答案】C【解析】解：由平面向量基本定理得：对于A选项，所以，三个向量共面；对于B选项，同理：，三个向量共面；对于D选项，所以三个向量共面；故选：C由平面向量基本定理判断本题考查平面向量基本定理，属于基础题3
6、.【答案】C【解析】解：因为：；，即；或者；方程表示的曲线是两条直线故选：C先把已知条件转化，再根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0即可求出结论本题考查曲线与方程，重点是对于方程的理解，属于基础题4.【答案】A【解析】解：由题意得，平行六面体中，；故选：A在平行六面体中，根据空间向量的加法合成法则，对向量进行线性表示即可本题考查了空间向量的加法运算问题，解题时应结合图形进行解答，属于基础题5.【答案】D【解析】解：曲线表示焦点在x轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为，焦距为8曲线表示焦点在x轴上，长轴长为，短轴长为，离心率为，焦距为8对照选项，则D正确故选：D分别求出两椭圆的长轴长、
7、短轴长、离心率、焦距，即可判断本题考查椭圆的方程和性质，考查运算能力，属于基础题6.【答案】B【解析】解：平面，的法向量分别为和，若两个平面的夹角为，两平面夹角范围是，则故选：B直接利用已知条件写出二面角的余弦值即可本题考查空间向量的数量积求解二面角的公式，是基本知识的考查，基础题7.【答案】D【解析】解：由，得，画出圆与的图象如图，设圆P的半径为r，圆P与圆O和圆M都外切，则，点在以O、M为焦点的双曲线的左支上，故选：D化圆的一般方程为标准方程，画出图形，由动圆与两定圆圆心距及半径的关系结合双曲线定义得答案本题考查圆与圆的位置关系的判断与应用，考查双曲线的定义，是基础题8.【答案】A【解析】
8、解：1，4，3，5，且，以点1，4，为顶点的三角形是等腰直角三角形故选：A分别求出，3，5，再求出模，由此能求出结果本题考查三角形形状的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用9.【答案】B【解析】解：设与直线平行且与抛物线相切的直线为，联立消去x得，则的最小值是故选：B设与直线平行且与抛物线相切的直线为，则可知的最小值即为两直线的距离直线方程与抛物线方程联立，消去x根据判别式等于0求得b，根据距离公式求得答案本题考查了直线与抛物线的综合问题，以及判别式来判断直线与圆锥曲线的关系属于基础题10.【答案】B【解析】解：直三棱柱，以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，为z轴，建
9、立空间直角坐标系，点，分别是，的中点，设，则0，1，2，1，1，设与所成角为，则与所成角的余弦值为故选：B以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出与所成角的余弦值本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用11.【答案】B【解析】解：由题意，设，则，则，两式相减可得，故选：B设出点A，B、C的坐标，求出斜率，将点的坐标代入方程，两式相减，再结合即可求得结论本题考查双曲线的几何性质：离心率的求解，考查了点差法，属中档题12.【答案】B【解析】解：由得，即又，两两垂直，所以Q是以PA，PB，PC为三条相邻棱的长方体中
10、与顶点P相对的顶点由，得又，所以，同理，三式相加，得，代入式，得，即定值所以，动点Q的轨迹是以O为球心，为半径的球面故选：B利用已知条件推出，然后说明结果即可本题考查空间几何体的特征，空间向量的应用，距离公式的应用，是中档题；本题也可以采用排除法分别考虑P与O重合和点P在球面上两种极端情形，研究即得答案13.【答案】17【解析】解：将双曲线化成标准形式：，P到它的一个焦点的距离等于1，设舍负故答案为：17首先将双曲线方程化成标准方程，从而得出参数a、b的值，然后根据双曲线的定义得出，根据题中的已知数据，可以求出点P到另一个焦点的距离本题考查了双曲线的定义与标准方程，属于基础题利用圆锥曲线的第一
11、定义解题，是近几年考查的常用方式，请同学们注意这个特点14.【答案】【解析】解：在PC上任取一点D并作平面APB，则就是直线PC与平面PAB所成的角过点O作，因为平面APB，则，因为，所以点O在的平分线上，即设，在直角中，则在直角中，则即直线PC与平面PAB所成角的余弦值是过PC上一点D作平面APB，则就是直线PC与平面PAB所成的角能证明点O在的平分线上，通过解直角三角形PED、DOP，求出直线PC与平面PAB所成角的余弦值本题考查直线与平面所成角的求法，直线与直线的垂直的证明方法，考查空间想象能力，计算能力、转化能力15.【答案】【解析】解：设这组平行直线的方程为，联立，整理得，则，所以它
12、们与椭圆交点的中点坐标为，即这些点均在上，故答案为：运用中点坐标公式和参数方程，消去m，即可得到所求的结论本题考查直线和椭圆的位置关系，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和判别式，以及中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题16.【答案】解：，分分设y，分分1，或分【解析】以AB、AC为边的平行四边形的面积我们选择，其中是的夹角设出的坐标，利用向量垂直的充要条件列出方程组，解出即可本题考查向量背景下平行四边形的面积及向量垂直的充要条件17.【答案】解：由抛物线的定义知，点M到准线的距离为即有解之，得，所以，抛物线的方程为，点M的坐标为或证明：联立直线与抛物线的方程，解之，得或，即，或，又，
13、所以故【解析】由抛物线的定义知解得即可联立直线与抛物线的方程，解之得即，或，即可得即可证明本题考查了抛物线性质，斜率公式，考查了运算能力，属于中档题18.【答案】解：证明如下：设，x，y，则点P在的内部不包括边界的充分必要条件是：，且，【解析】由题意根据空间向量的加法法则推出向量，使得它用基底表示即可；设，x，则点P在直线AB上的充分必要条件是：，且，类比平面向量三点共线的结论写出即可本题考查空间向量的加减法，以及向量用不共线的基底进行表示，注意三角形的重心的性质运用，还考察了类比推理能力，属于中档题19.【答案】解：设，由已知，得所以，两边平方，得，化简，得动点M的轨迹方程为因为，所以当时，
14、化为，它表示的曲线是直线x轴；当时，化为，它表示中心在原点，焦点在x轴上，长半轴长为a，短半轴长为的椭圆；当时，化为，它表示中心在原点，焦点在x轴上，实半轴长为a，虚半轴长为的双曲线【解析】设出M的坐标利用已知条件列出方程，化简求解即可通过a，c的大小关系，化简方程，然后推出结果即可本题考查圆锥曲线的轨迹方程的求法，考查转化思想以及计算能力20.【答案】证明：法连结CE与DF相交于N，连结MN因为四边形CDEF为矩形，所以N为CE中点又M为AE的中点，所以，在中，平面MDF法因为四边形CDEF为矩形，且M为AE的中点，所以，从而与，是共面向量又平面MDF，所以平面MDF解：因为四边形CDEF为
15、矩形，所以又平面平面CDEF，平面CDEF，平面平面，所以平面ABCD而，所以，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，如图设，由已知，得，设平面MDF的一个法向量为y，则，且，所以，且，即，取，得，即1，同理，可求得平面BCF的一个法向量为1，所以，平面MDF与平面BCF的夹角为【解析】法连结CE与DF相交于N，连结说明推出平面MDF法说明，推出与，是共面向量即可证明平面MDF以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，设，求出平面MDF的一个法向量，求出平面BCF的一个法向量，通过空间向量的数量积求解平面MDF与平面BCF的夹角即可本题考
16、查空间向量的数量积的应用，二面角以及直线与平面平行的判断定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理计算能力，是中档题21.【答案】解：设，则，两式相减并整理，得，即所以又直线l：与x轴的交点为，由已知，得联立，解得，所以，椭圆的方程为由直线l：与圆C：相切，得，所以，圆C：又设动切线PQ：，注：如果设为斜截式，需分斜率存在和不存在两种情况讨论，若未讨论酌情扣分由，消去x，得所以又直线PQ：与圆C：相切，所以，即，从而所以，面积令，解得，相应的所以，使面积最大的直线PQ共有四条：和故面积的最大值为【解析】设，利用平方差法求出直线的斜率，得到直线方程，转化求解a，b推出结果由直线l：与圆C：相切，得，求出圆的方程，设动切线PQ：，由，消去x，得利用弦长公式转化求解三角形的面积，利用基本不等式求解最值即可本题考查直线与题意的方程的位置关系的综合应用，题意的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题