1、第一章 集合与常用逻辑用语 第一节 集 合【知识梳理】1.必会知识 教材回扣 填一填(1)集合的基本概念:集合元素的性质:_、_、_.元素与集合的关系:属于,记为_;不属于,记为_.确定性 无序性 互异性 常见集合的符号:集合的表示方法:_、_、_.集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 _ _ _ _ _ N N*或N+Z Q R 列举法 描述法 图示法(2)集合间的基本关系:表示 关系 相 等 子 集 真子集 空 集 文字语言 集合A与集合B中的所有元素_ A中任意一个元素均为B中的元素 A中任意一个元素均为B中的元素,且B中至少有一个元素不是 A中的元素 空集是_的子集
2、,是_ _的真子集 符号语言 _且_A=B _ _ A B(B)相同 AB BA AB或BA AB或B A 任何集合 任何 非空集合(3)集合的基本运算:并集 交集 补集 图形 符号 AB=_ AB=_ _ UA=_ _ x|xA或xB x|xA 且xB x|xU 且xA 2.必备结论 教材提炼 记一记(1)对于有限集合A,若card(A)=n,则集合A的子集个数为2n,真子集 个数为_,非空真子集个数为_.(2)AB=ABA,AB=AAB.(3)一般地,对任意两个有限集合A,B,有card(AB)=card(A)+card(B)-card(AB).2n-1 2n-2 3.必用技法 核心总结
3、看一看(1)常用方法:进行集合运算的数轴图示法.(2)数学思想:分类讨论,数形结合.(3)记忆口诀:集合概念不定义,属性相同来相聚.内含子交并补集,高中数学的基础.集合元素三特征,互异无序确定性.集合元素尽相同,两个集合才相等.书写采用符号化,表示列举描述法.元素集合多属于,集合之间谈包含.0和空集不相同,正确区分才成功.运算如果有难处,Venn图儿来相助.【小题快练】1.思考辨析 静心思考 判一判(1)集合x2+x,0中实数x可取任意值.()(2)任何集合都至少有两个子集.()(3)集合x|y=与集合y|y=是同一个集合.()(4)若A=0,1,B=(x,y)|y=x+1,则AB.()x1x
4、1【解析】(1)错误.由元素的互异性知x2+x0,即x0且x-1.(2)错误.只有一个子集.(3)错误.x|y=x|x1,y|y=y|y0.(4)错误.集合A是数集,集合B是点集.答案:(1)(2)(3)(4)x1x12.教材改编 链接教材 练一练(1)(必修1P12A组T5(2)改编)若集合A=xN|x ,a=,则下面结论中正确的是()A.aA B.aA C.aA D.aA【解析】选D.因为 不是整数,所以aA.102 22 2(2)(必修1P12B组T1改编)已知集合A=0,1,2,集合B满足AB=0,1,2,则集合B有 个.【解析】由题意知BA,则集合B有8个.答案:8 3.真题小试 感
5、悟考题 试一试(1)(2014新课标全国卷)已知集合A=-2,0,2,B=x|x2-x-2=0,则AB=()A.B.2 C.0 D.-2【解析】选B.因为B=x|x2-x-2=0=-1,2,又A=-2,0,2,所以AB=2.(2)(2014广东高考)已知集合M=-1,0,1,N=0,1,2,则MN=()A.0,1 B.-1,0,2 C.-1,0,1,2 D.-1,0,1【解析】选C.结合Venn图,可知MN=-1,0,1,2.(3)(2014湖北高考)已知全集U=1,2,3,4,5,6,7,集合A=1,3,5,6,则UA=()A.1,3,5,6 B.2,3,7 C.2,4,7 D.2,5,7【
6、解析】选C.因为全集U=1,2,3,4,5,6,7,集合A=1,3,5,6,所以UA=2,4,7.考点1 集合的基本概念 【典例1】(1)(2015青岛模拟)已知集合A=0,1,2,则集合B=x-y|xA,yA中元素的个数是()A.1 B.3 C.5 D.9(2)(2015银川模拟)若集合A=xR|ax2-3x+2=0中只有一个元 素,则a=()A.B.C.0 D.0或 929898【解题提示】(1)用列举法把集合B中的元素列举出来,注意元素的互异性.(2)分a=0和a0两种情况讨论.【规范解答】(1)选C.当x=0,y=0,1,2时,x-y=0,-1,-2,当x=1,y=0,1,2时,x-y
7、=1,0,-1,当x=2,y=0,1,2时,x-y=2,1,0.根据集合中元素的互异性知,集合B中的元素为-2,-1,0,1,2.共5个.(2)选D.若集合A中只有一个元素,则方程ax2-3x+2=0只有一个实根或 有两个相等实根.当a=0时,x=,符合题意,当a0时,由=(-3)2-8a=0得a=,所以a的值为0或 .239898【互动探究】本例题(1)中,集合A不变,试确定集合B=(x,y)|xA,yA,x-yA中元素的个数.【解析】当x=0时,y=0,当x=1时,y=0,1,当x=2时,y=0,1,2.因此集合B中有6个元素.【规律方法】与集合中的元素有关问题的求解策略(1)确定集合的元
8、素是什么,即集合是数集还是点集.(2)看这些元素满足什么限制条件.(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数,但要注意检验集合是否满足元素的互异性.【变式训练】已知集合A=m+2,2m2+m,若3A,则m的值为 .【解析】若m+2=3,则m=1,此时2m2+m=3.不合题意.若2m2+m=3.则m=-或1,经检验m=-符合题意.答案:-323232【加固训练】1.已知集合A=x|x2-2x+a0,且1A,则实数a的取值范围是()A.(-,0 B.(-,1 C.1,+)D.0,+)【解析】选B.若1A,则1-2+a0,解得a1.因为1A,所以a1.故选B.2.数集x2+x,2x中,x
9、的取值范围是()A.(-,+)B.(-,0)(0,+)C.(-,1)(1,+)D.(-,0)(0,1)(1,+)【解析】选D.根据题意,由集合中元素的互异性,可得集合x2+x,2x中,x2+x2x,即x0,x1,则x的取值范围是(-,0)(0,1)(1,+),故选D.考点2 集合间的基本关系 【典例2】(1)设a,bR,集合1,a+b,a=0,b,则b-a=.(2)(2015厦门模拟)已知集合A=x|-2x7,B=x|m+1x2m-1,若BA,则实数m的取值范围是 .【解题提示】(1)从a能否为0入手,根据集合相等的性质求解.(2)分B=与B两种情况讨论求解.ba【规范解答】(1)由题意知a0
10、,则a+b=0,从而 =-1,b=1,a=-1,故b-a=1-(-1)=2.答案:2 ba(2)当B=时,满足BA,此时有 m+12m-1,即m2,当B时,要使BA,则有 解得2m4.综上知m4.答案:(-,4 m12,2m 17,m2,【易错警示】解答本例题(2)有两点容易出错:(1)忽视B=的情况导致解析不完整.(2)当B列不等式组时忽视等号成立的情况导致错解.【规律方法】1.根据集合的关系求参数的关键点及注意点(1)根据两集合的关系求参数,其关键是将两集合的关系转化为元素间的关系,进而转化为参数满足的关系,解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析,而且常要对参数进行讨论.(2)
11、注意点:注意区间端点的取舍.2.解决集合相等问题的一般思路 若两个集合相等,首先分析某一集合的已知元素在另一个集合中与哪一个元素相等,有几种情况,然后列方程(组)求解.提醒:解决两个集合的包含关系时,要注意空集的情况.【变式训练】(2015临沂模拟)已知集合A=x|ax=1,B=x|x2-1=0,若AB,则a的取值构成的集合是()A.-1 B.1 C.-1,1 D.-1,0,1【解析】选D.由题意,得B=-1,1,因为AB,所以当A=时,a=0;当A=-1时,a=-1;当A=1时,a=1.又A中至多有一个元素,所以a的取值构成的集合是-1,0,1.【加固训练】1.已知集合A=x|x2-3x+2
12、=0,xR,B=x|0 x5,xN,则满足条件ACB的集合C的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选D.A=x|x2-3x+2=0,xR=1,2,B=x|0 x5,xN=1,2,3,4,由ACB,方法一:C中含有除1,2之外的3,4两元素中的0个、1个、2个,即C的 个数可以看作是集合3,4的子集的个数,有22=4个.方法二:C可能为1,2,1,2,3,1,2,4,1,2,3,4共4个.2.设集合A=x,y,x+y,B=0,x2,xy,若A=B,则实数对(x,y)的取值集 合是 .【解析】由A=B,且0B,故集合B中的元素x20,xy0,故x0,y0,那么集合A中只能是x+y=0,
13、此时就是在条件x+y=0下,x,y=x2,xy,即 或 解得 或 答案:(1,-1),(-1,1)2xy0,xx,xyy,2xy0,xy,xyx.x1,y1,x1,y1.考点3 集合的基本运算 知考情 集合的基本运算是历年高考的热点,常与函数、方程、不等式等知识综合,主要以选择题的形式出现.明角度 命题角度1:求交集【典例3】(2014新课标全国卷)已知集合A=x|x2-2x-30,B=x|-2x0,B=y|y=ex+1,则AB等于()A.x|x2 B.x|1x1 D.x|x0【解题提示】先求出集合A,B,再求并集.【规范解答】选D.由2x-x20得0 x2,故A=x|0 x1,故B=y|y1
14、,所以AB=x|x0,故选D.命题角度3:交、并、补的混合运算【典例5】(2014江西高考)设全集为R,集合A=x|x2-90,B=x|-1x5,则A(RB)=()A.(-3,0)B.(-3,-1)C.(-3,-1 D.(-3,3)【解题提示】先求集合A及RB,再求A(RB).【规范解答】选C.A=(-3,3),RB=(-,-1(5,+),所以A(RB)=(-3,-1.悟技法 集合基本运算的求解策略(1)求解思路:一般是先化简集合,再由交、并、补的定义求解.(2)求解原则:一般是先算括号里面的,然后再按运算顺序求解.(3)求解思想:注重数形结合思想的运用,利用好数轴、Venn图等.通一类 1.
15、(2014福建高考)若集合P=x|2x4,Q=x|x3,则PQ等 于()A.x|3x4 B.x|3x4 C.x|2x3 D.x|2x3 【解析】选A由交集的运算得，PQ=x|2x4 x|x3=x|3x4，故选A 2.(2014四川高考)已知集合A=x|x2-x-20,集合B为整数集,则AB=()A.-1,0,1,2 B.-2,-1,0,1 C.0,1 D.-1,0【解析】选A.由于集合A=x|x2-x-20=x|-1x2,而集合B为整数集,在-1x2范围中的整数有-1,0,1,2,故AB=-1,0,1,2.3.(2014辽宁高考)已知全集U=R,A=x|x0,B=x|x1,则集合U(AB)=(
16、)A.x|x0 B.x|x1 C.x|0 x1 D.x|0 x1【解析】选D.由于AB=x|x0,或x1,结合数轴,U(AB)=x|0 x1.4.(2015开封模拟)设集合U=R,A=x|2x(x-2)1,B=x|y=ln(1-x),则图中阴影部分表示的集合为()A.x|x1 B.x|1x2 C.x|0 x1 D.x|x1【解析】选B.由2x(x-2)1得x(x-2)0,所以0 x2,故A=x|0 x0得,x1,故B=x|x1.则UB=x|x1.阴影部分表示的集合为A(UB)=x|1x2.创新体验1 以集合为载体的创新问题 【创新点拨】1.高考考情:以集合为载体的创新问题是近几年高考命题的一个
17、热点,这类试题以集合为依托,考查学生理解问题、解决创新问题的能力.2.命题形式:常见的有新概念、新法则、新运算、新性质等.【新题快递】1.(2015东莞模拟)对任意实数x,y,定义运算xy=ax+by+cxy,其中a,b,c是常数,等式右边的运算是通常的加法和乘法运算.已知12=3,23=4,并且有一个非零常数m,使得xR,都有xm=x,则34的值是()A.-4 B.4 C.-3 D.3【解析】选D.xR,都有xm=x,则xm=ax+bm+cmx=(a+cm)x+bm=x,由于m为非零常数,则bm=0b=0,因此12=a+2c=3,23=2a+6c=4,解得a=5,c=-1,因此34=3a+1
18、2c=35+12(-1)=3,故选D.2.(2014福建高考)已知集合a,b,c=0,1,2,且下列三个关系:a2,b=2,c0有且只有一个正确,则100a+10b+c等于 .【解析】若b=2正确,则a2不正确,所以a=2,与集合元素互异性矛盾,不符合题意;若a2正确,则b=2不正确,即b2,所以c=2.但是c0不正确,所以c=0,矛盾;若c0正确,则a2不正确,故a=2.又c0,所以c=1.故b=0.符合题意.所以a=2,b=0,c=1.所以100a+10b+c=201.答案:201 3.(2015淮安模拟)设集合Sn=1,2,3,n,若XSn,把X的所有元素的乘积称为X的容量(若X中只有一
19、个元素,则该元素的数值即为它的容量,规定空集的容量为0).若X的容量为奇(偶)数,则称X为Sn的奇(偶)子集.则S4的所有奇子集的容量之和为 .【解析】因为S4=1,2,3,4,所以X=,1,2,3,4,1,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,4,1,2,3,1,2,4,1,3,4,2,3,4,1,2,3,4.其中是奇子集的为X=1,3,1,3,其容量分别为1,3,3,所以S4的所有奇子集的容量之和为7.答案:7【备考指导】1.准确转化:解决集合创新问题时,一定要读懂题目的本质含义,紧扣题目所给条件,结合题目要求进行恰当转化,切忌同已有概念或定义相混淆.2.方法选取:对于集合创新问题,可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法,并结合集合的相关性质求解,同时注意培养学生领悟新信息、运用新信息的能力.