1、北京市西城区2011年高三一模试卷 数 学（理科） 2011. 4 第卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合，则等于（A）（B）（C）（D）2下列给出的函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是（A）（B）（C）（D）3. 设，则（A）（B）（C）（D）4设向量，且，则等于（A）（B）（C）（D）5. 阅读右侧程序框图，为使输出的数据为，则处应填的数字为（A）（B）（C）（D）开始是否输出结束6.已知函数，则下列结论正确的是（A）两个函数的图象均关于点成中心对称（B）两个函数的图象均关于直线成中心对称
2、（C）两个函数在区间上都是单调递增函数（D）两个函数的最小正周期相同7已知曲线及两点和，其中.过，分别作轴的垂线，交曲线于，两点，直线与轴交于点，那么（A）成等差数列（B）成等比数列（C）成等差数列（D）成等比数列来源:学+科+网Z+X+X+K8如图，四面体的三条棱两两垂直，,，为四面体外一点.给出下列命题.不存在点,使四面体有三个面是直角三角形不存在点,使四面体是正三棱锥OABDC存在点,使与垂直并且相等存在无数个点,使点在四面体的外接球面上其中真命题的序号是（A）（B）（C）（D）第卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 在复平面内，复数对应的点
3、到原点的距离为_.PABCO10.如图，从圆外一点引圆的切线和割线，已知，圆心到的距离为，则圆的半径为_.正(主)视图俯视图侧(左)视图34433311.已知椭圆经过点，则_，离心率_.12.一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积为_.13.某展室有9个展台，现有件展品需要展出，要求每件展品独自占用个展台，并且件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有_种；如果进一步要求件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位，则不同的展出方法有_种.14.已知数列的各项均为正整数，对于，有当时，_；若存在，当且为奇数时，恒为常数，则的值为_.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出
4、文字说明，演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）设中的内角，所对的边长分别为，且,.（）当时，求角的度数；（）求面积的最大值.来源:学+科+网Z+X+X+K来源:学科网ZXXK16（本小题满分13分）甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为.且他们是否破译出密码互不影响.若三人中只有甲破译出密码的概率为.（）求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率；（）求的值；（）设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为，求的分布列和数学期望.17.（本小题满分13分）ABCDFE如图, 是边长为的正方形，平面，与平面所成角为.()求证：平面；()求二面角的余弦值；（）设点
5、是线段上一个动点，试确定点的位置，使得平面，并证明你的结论.18. （本小题满分14分）已知函数，其中.（）求函数的单调区间；（）若直线是曲线的切线，求实数的值；（）设，求在区间上的最大值.（其中为自然对数的底数）19. （本小题满分14分）已知抛物线的焦点为，过的直线交轴正半轴于点，交抛物线于两点，其中点在第一象限.（）求证：以线段为直径的圆与轴相切；（）若,，求的取值范围.20.（本小题满分13分）定义为有限项数列的波动强度.（）当时，求；（）若数列满足，求证：；（）设各项均不相等，且交换数列中任何相邻两项的位置，都会使数列的波动强度增加，求证：数列一定是递增数列或递减数列.北京市西城区2
6、011年高三一模试卷来源:学_科_网Z_X_X_K参考答案及评分标准数学（理科） 2011.4来源:Zxxk.Com一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 题号12345678答案CBADBCAD二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 10. 11. ，12. 13. ， 14.；或注：11题，13题，14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15.（本小题满分13分）解：（）因为，所以. 2分因为，由正弦定理可得. 4分因为，所以是锐角，所以. 6分（）因为的面积， 7分所以当最大时
7、，的面积最大.因为，所以. 9分因为，所以， 11分所以，（当时等号成立） 12分所以面积的最大值为. 13分16.（本小题满分13分）解：记“甲、乙、丙三人各自破译出密码”分别为事件，依题意有且相互独立.（）甲、乙二人中至少有一人破译出密码的概率为. 3分（）设“三人中只有甲破译出密码”为事件，则有， 5分所以，. 7分（）的所有可能取值为. 8分所以，= . 11分分布列为： 12分所以，. 13分yBCAEzDFxMyBCAEzDFx17.（本小题满分13分）()证明： 因为平面，所以. 2分因为是正方形，所以，从而平面. 4分()解：因为两两垂直，所以建立空间直角坐标系如图所示.因为与
8、平面所成角为，即， 5分所以.由可知，. 6分则，所以， 7分设平面的法向量为，则，即，令，则. 8分因为平面，所以为平面的法向量，所以. 9分因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. 10分()解：点是线段上一个动点，设.则，因为平面，所以， 11分即，解得. 12分此时，点坐标为，符合题意. 13分18. （本小题满分14分）解：（），（）， 3分在区间和上，；在区间上，.所以，的单调递减区间是和，单调递增区间是. 4分（）设切点坐标为，则 7分（1个方程1分）解得，. 8分（），则， 9分解，得，所以，在区间上，为递减函数，在区间上，为递增函数. 10分当，即时，在区间上，为递增函数，所
9、以最大值为. 11分当，即时，在区间上，为递减函数，所以最大值为. 12分当，即时，的最大值为和中较大者；，解得，所以，时，最大值为， 13分时，最大值为. 14分综上所述，当时，最大值为，当时，的最大值为.来源:学*科*网Z*X*X*K19. （本小题满分14分） 解：（）由已知,设，则，圆心坐标为，圆心到轴的距离为， 2分圆的半径为， 4分所以，以线段为直径的圆与轴相切. 5分来源:学科网（）解法一：设，由,得， 6分所以， 8分由，得.又，所以 . 10分代入，得，整理得， 12分代入，得，所以， 13分因为，所以的取值范围是. 14分解法二：设，将代入，得，所以（*）， 6分由，得，
10、7分所以， 8分将代入（*）式，得， 10分所以，. 12分代入，得. 13分因为，所以的取值范围是. 14分20（本小题满分13分）（）解： 1分. 3分（）证明：因为，所以. 4分因为，所以，或.若，则当时，上式，当时，上式，当时，上式，即当时，. 6分若，则，.（同前）所以，当时，成立. 7分（）证明：由（）易知对于四个数的数列，若第三项的值介于前两项的值之间，则交换第二项与第三项的位置将使数列波动强度减小或不变.（将此作为引理）来源:学#科#网Z#X#X#K下面来证明当时，为递减数列.（）证明.若，则由引理知交换的位置将使波动强度减小或不变，与已知矛盾.若，则，与已知矛盾.所以，. 9分（）设，证明.若，则由引理知交换的位置将使波动强度减小或不变，与已知矛盾.若，则，与已知矛盾.所以，. 11分（）设，证明.若，考查数列，则由前面推理可得，与矛盾.所以，. 12分综上，得证.同理可证：当时，有为递增数列. 13分