1、2020年北京市石景山区高考数学一模试卷一、选择题（共10小题）1设集合P1，2，3，4，Qx|x|3，xR，则PQ等于（）A1B1，2，3C3，4D3，2，1，0，1，2，32在复平面内，复数5+6i，32i对应的点分别为A，B若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是（）A8+4iB2+8iC4+2iD1+4i3下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+）上单调递减的是（）Ayx2+2By2xCylnxD4圆x2+y22x8y+130的圆心到直线ax+y10的距离为1，则a（）ABCD25将4位志愿者分配到博物馆的3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，不同的分配方案有（）种A36B64C72D81
2、6如图，网格纸的小正方形的边长是1，粗线表示一正方体被某平面截得的几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A2B4C6D87函数（0）的最小正周期为，则f（x）满足（）A在上单调递增B图象关于直线对称CD当时有最小值18设an是等差数列，其前n项和为Sn则“S1+S32S2”是“an为递增数列”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件9设f（x）是定义在R上的函数，若存在两个不等实数x1，x2R，使得，则称函数f（x）具有性质P，那么下列函数：；f（x）x2；f（x）|x21|，具有性质P的函数的个数为（）A0B1C2D310点M，N分别是棱长为2的正方体A
3、BCDA1B1C1D1中棱BD，CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1（包括边界）内运动若PA1面AMN，则PA1的长度范围是（）ABCD2，3二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11已知向量（，），（，），则ABC 12已知各项为正数的等比数列an中，a11，其前n项和为，且，则S4 13能够说明“设a，b是任意非零实数，若“ab，则”是假命题的一组整数a，b的值依次为 14已知F是抛物线C：y24x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若M为FN的中点，则|FN| 15石景山区为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名一线中小学教师组成的支教团队，记者采访其中某队员时
4、询问这个团队的人员构成情况，此队员回答：有中学高级教师；中学教师不多于小学教师；小学高级教师少于中学中级教师；小学中级教师少于小学高级教师；支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；无论是否把我计算在内，以上条件都成立由此队员的叙述可以推测出他的学段及职称分别是 、 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16如图，在正四棱锥PABCD中，ABPB2，ACBDO（）求证：BO面PAC；（）求二面角APCB的余弦值172020年，北京将实行新的高考方案，新方案规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还需从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目
5、中选取三个科目作为选考科目若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定：否则，称该学生选考方案待确定，例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定“物理、化学和生物”为其选考方案某校为了解高一年级840名学生选考科目的意向，随机选取60名学生进行了一次调查，统计选性别考科目人数如表：性别选考方案确定情况物理化学生物历史地理政治男生选考方案确定的有16人16168422选考方案待确定的有12人860200女生选考方案确定的有20人610201626选考方案待确定的有12人2810002（）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学
6、生有多少人？（）从选考方案确定的16名男生中随机选出2名，求恰好有一人选“物理、化学、生物”的概率；（）从选考方案确定的16名男生中随机选出2名设随机变量，求的分布列和期望18已知锐角ABC，同时满足下列四个条件中的三个：a13c15（）请指出这三个条件，并说明理由；（）求ABC的面积19已知椭圆的右焦点为F（1，0），离心率为直线l过点F且不平行于坐标轴，l与C有两交点A，B，线段AB的中点为M（）求椭圆C的方程；（）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（）延长线段OM与椭圆C交于点P，若四边形OAPB为平行四边形，求此时直线l的斜率20已知函数，f（x）x2（x0），g（x）aln
7、x（a0）（）若f（x）g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（）当a1时，过f（x）上一点（1，1）作g（x）的切线，判断：可以作出多少条切线，并说明理由21有限个元素组成的集合Aa1，a2，an，nN*，记集合A中的元素个数为card（A），即card（A）n定义A+Ax+y|xA，yA，集合A+A中的元素个数记为card（A+A），当card（A+A）时，称集合A具有性质P（）A1，4，7，B2，4，8，判断集合A，B是否具有性质P，并说明理由；（）设集合Aa1，a2，a3，2020a1a2a32020，且aiN*（i1，2，3），若集合A具有性质P，求a1+a2+a3的最大值；（）设集合
8、Aa1，a2，an，其中数列an为等比数列，ai0（i1，2，n）且公比为有理数，判断集合A是否具有性质P并说明理由参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1设集合P1，2，3，4，Qx|x|3，xR，则PQ等于（）A1B1，2，3C3，4D3，2，1，0，1，2，3【分析】利用不等式的解法、集合运算性质即可得出解：Qx|x|3，xR3，3，P1，2，3，4，则PQ1，2，3故选：B【点评】本题考查了不等式的解法、集合运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2在复平面内，复数5+6i，32i对应的点分别为A，B若C为线段AB的中点
9、，则点C对应的复数是（）A8+4iB2+8iC4+2iD1+4i【分析】写出复数所对应点的坐标，有中点坐标公式求出C的坐标，则答案可求解：因为复数5+6i，32i对应的点分别为A（5，6），B（3，2）且C为线段AB的中点，所以C（4，2）则点C对应的复数是4+2i故选：C【点评】本题考查了中点坐标公式，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+）上单调递减的是（）Ayx2+2By2xCylnxD【分析】结合函数奇偶性及单调性的定义对各选项进行检验即可判断解：y2x2为偶函数，不符合题意；y2x，ylnx为非奇非偶函数，不符合题意；结合反比例函数的性质
10、可知，y为奇函数，且在（0，+）上单调递减故选：D【点评】本题主要考查了函数奇偶性及单调性的判断，属于基础试题4圆x2+y22x8y+130的圆心到直线ax+y10的距离为1，则a（）ABCD2【分析】求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案解：圆x2+y22x8y+130的圆心坐标为：（1，4），故圆心到直线ax+y10的距离d1，解得：a，故选：A【点评】本题考查的知识点是圆的一般方程，点到直线的距离公式，难度中档5将4位志愿者分配到博物馆的3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，不同的分配方案有（）种A36B64C72D81【分析】根据题意，分2步进行分析：，将4位志愿者分为3组，将分好
11、的三组全排列，对应3个不同场馆服务，由分步计算原理计算可得答案解：根据题意，分2步进行分析：，将4位志愿者分为3组，有C426种情况，将分好的三组全排列，对应3个不同场馆服务，有A336种情况，则有6636种不同的分配方案；故选：A【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题6如图，网格纸的小正方形的边长是1，粗线表示一正方体被某平面截得的几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A2B4C6D8【分析】由题意，直观图如图所示，由图可知该几何体的体积为为正方体的一半解：由题意，直观图如图所示，由图可知该几何体的体积为为正方体的一半，即为2224故选：B【点评】本题考查由三视图
12、求体积，考查学生的计算能力，确定几何体的形状是关键7函数（0）的最小正周期为，则f（x）满足（）A在上单调递增B图象关于直线对称CD当时有最小值1【分析】根据函数f（x）的最小正周期求出的值，写出f（x）的解析式，再判断四个选项是否正确即可解：函数（0）的最小正周期为T，2，f（x）cos（2x）；当x（0，）时，2x（，），f（x）单调递减，A错误；x时，2x，f（）0，其图象不关于直线对称，B错误；f（）cos（2），C错误；x时，f（x）cos（2）1，D正确故选：D【点评】本题考查了余弦函数的图象与性质的问题，是基础题8设an是等差数列，其前n项和为Sn则“S1+S32S2”是“an为
13、递增数列”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】先化简，再判断单调性解：由an是等差数列，S1+S32S2，化简得a3a2，即d0，则an为递增数列，则“S1+S32S2”是“an为递增数列”的充分必要条件，故选：C【点评】本题考查数列，以及充要性，属于基础题9设f（x）是定义在R上的函数，若存在两个不等实数x1，x2R，使得，则称函数f（x）具有性质P，那么下列函数：；f（x）x2；f（x）|x21|，具有性质P的函数的个数为（）A0B1C2D3【分析】根据题意，找出存在的点，如果找不出则需证明解：因为函数是奇函数，可找关于原点对称的点，比如f
14、（）f（0），存在；：假设存在x1，x2R，使得，即，得x1x2，矛盾，故不存在；：函数为偶函数，f（0）1，令f（x）|x21|0，x，则f（）f（0）1，存在故选：C【点评】本题考查学生的理解能力，以及证明，属于中档题10点M，N分别是棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中棱BD，CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1（包括边界）内运动若PA1面AMN，则PA1的长度范围是（）ABCD2，3【分析】取B1C1的中点E，BB1的中点F，连结A1E，A1F，EF，取EF中点O，连结A1O，推导出平面AMN平面A1EF，从而点P的轨迹是线段EF，由此能求出PA1的长度范围解：取B1C1的中
15、点E，BB1的中点F，连结A1E，A1F，EF，取EF中点O，连结A1O，点M，N分别是棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中棱BC，CC1的中点，AMA1E，MNEF，AMMNM，A1EEFE，平面AMN平面A1EF，动点P在正方形BCC1B1（包括边界）内运动，且PA1面AMN，点P的轨迹是线段EF，A1EA1F，EF，A1OEF，当P与O重合时，PA1的长度取最小值A1O，当P与E（或F）重合时，PA1的长度取最大值为A1EA1FPA1的长度范围为，故选：B【点评】本题考查线段长度的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题二、填空题
16、共5小题，每小题5分，共25分.11已知向量（，），（，），则ABC【分析】运用向量的数量积的坐标表示可得可得，由向量的模公式可得|，再由cosABC，计算即可得到所求值解：向量（，），（，），可得，|1，可得cosABC，由0ABC，可得ABC故答案为：【点评】本题考查向量的数量积的坐标表示和模的公式，考查夹角的求法，以及化简整理的运算能力，属于基础题12已知各项为正数的等比数列an中，a11，其前n项和为，且，则S415【分析】由题意先求出公比，再根据前n项和公式计算即可解：正项等比数列an中，a11，且，1，即q2q20，解得q2或q1（舍去），S415，故答案为：15【点评】本题考查了
17、等比数列的前n项和公式，属于基础题13能够说明“设a，b是任意非零实数，若“ab，则”是假命题的一组整数a，b的值依次为2，1【分析】可看出，取a2，b1时，可说明”ab，则”是假命题解：取a2，b1时，可得出“ab，则“不成立，即该命题为假命题故答案为：2，1【点评】本题考查了真假命题的定义，举反例说明一个命题是假命题的方法，考查了推理能力，属于基础题14已知F是抛物线C：y24x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若M为FN的中点，则|FN|3【分析】求出抛物线的焦点坐标，推出M坐标，然后求解即可解：抛物线C：y24x的焦点F（1，0），M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N若
18、M为FN的中点，可知M的横坐标为：，则|FM|11，|FN|2|FM|213故答案为：3【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力15石景山区为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名一线中小学教师组成的支教团队，记者采访其中某队员时询问这个团队的人员构成情况，此队员回答：有中学高级教师；中学教师不多于小学教师；小学高级教师少于中学中级教师；小学中级教师少于小学高级教师；支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；无论是否把我计算在内，以上条件都成立由此队员的叙述可以推测出他的学段及职称分别是小学、中级【分析】设小学中级、小学高级、中学中级、中学高级人数分别为a，b
19、，c，d，根据条件建立不等式组关系，分别讨论队长的学段和职称是否满足不等式组即可解：设小学中级、小学高级、中学中级、中学高级人数分别为a，b，c，d，则， 所以13（a+b）a+b，a+b7，c+d6， 若a+b7，则c+d6，ab，a3，b4，c5，d1， 若a+b8，则c+d5，d1，c4，bc，b3，a5b矛盾， 若队长为小学中级时，去掉队长则a2，b4，c5，d1， 满足d11，c+d6a+b4，b4c5，a2b4； 若队长为小学高级时，去掉队长则a3，b3，c5，d1，不满足ab；若队长为中学中级时，去掉队长则a3，b4，c4，d1，不满足bc； 若队长为中学高级时，去掉队长则a3，
20、b3，c5，d0，不满足d1； 综上可得队长为小学中级故答案为：小学中级【点评】本题主要考查合情推理的应用，结合不等式组，利用分类讨论的数学是解决本题的关键三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16如图，在正四棱锥PABCD中，ABPB2，ACBDO（）求证：BO面PAC；（）求二面角APCB的余弦值【分析】（）连结PO，推导出POBO，BOAC，由此能证明BO面PAC（）由PO，AO，BO两两垂直，以O为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法能法出二面角APCB的余弦值解：（）证明：连结PO，在正四棱锥PABCD中，PO底面ABCD，BO底面ABCD，POBO
21、，在正方形ABCD中，BOAC，POACO，BO面PAC（）解：由（）知PO，AO，BO两两垂直，以O为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，在正方形ABCD中，AB2，AO2，PB2，PO2，P（0，0，2），C（2，0，0），B（0，2，0），（2，0，2），（2，2，0），由（1）知BO平面PAC，平面PAC的一个法向量（0，2，0），设平面PBC的一个法向量（x，y，z），则，取x1，得（1，1，1），设二面角APCB的平面角为，则cos二面角APCB的余弦值为【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是
22、中档题172020年，北京将实行新的高考方案，新方案规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还需从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定：否则，称该学生选考方案待确定，例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定“物理、化学和生物”为其选考方案某校为了解高一年级840名学生选考科目的意向，随机选取60名学生进行了一次调查，统计选性别考科目人数如表：性别选考方案确定情况物理化学生物历史地理政治男生选考方案确定的有16人16168422选考方案待确定的有12人86
23、0200女生选考方案确定的有20人610201626选考方案待确定的有12人2810002（）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？（）从选考方案确定的16名男生中随机选出2名，求恰好有一人选“物理、化学、生物”的概率；（）从选考方案确定的16名男生中随机选出2名设随机变量，求的分布列和期望【分析】（）由数据知，60人中选考方案确定的学生中选考生物的学生有8+2028人，由此能求出该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生人数（）选考方案中确定且为“物理、化学、生物”的男生共有8人，设“恰好有一人选考物理、化学、生物”为事件A，由此能求出恰好有一人选“物理、化学、
24、生物”的概率（）由数据知，选考方案确定的男生中有8人选择物理、化学和生物，有4人选择物理、化学和历史，有2人选择物理、化学和地理，有2人选择物理、化学和政治，的可能取值为0，1，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和E解：（）由数据知，60人中选考方案确定的学生中选考生物的学生有8+2028人，该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有：840392人（）选考方案中确定且为“物理、化学、生物”的男生共有8人，设“恰好有一人选考物理、化学、生物”为事件A，则恰好有一人选“物理、化学、生物”的概率：P（A）（）由数据知，选考方案确定的男生中有8人选择物理、化学和生物，有4人选择物理、化学
25、和历史，有2人选择物理、化学和地理，有2人选择物理、化学和政治，的可能取值为0，1，P（0），P（1），的分布列为： 0 1 P E【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频数分布表、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题18已知锐角ABC，同时满足下列四个条件中的三个：a13c15（）请指出这三个条件，并说明理由；（）求ABC的面积【分析】（）根据内角和定理和正余弦定理进行推导即可；（）根据（）可知，同时满足，所以先利用余弦定理求出b，然后代入面积公式即可解：（）ABC同时满足理由：若ABC同时满足，因为是锐角三角形，所以sinC，结合，B与题设矛盾故ABC
26、同时满足不成立；所以ABC同时满足因为ca，所以CA，满足则，与题设矛盾，故此时不满足ABC同时满足（）因为a2b2+c22bccosA，所以解得b8或7当b7时，C为钝角，与题设矛盾所以b8，【点评】本题考查利用正余弦定理、三角形中如内角和定理、大边对大角等基础知识同时考查了学生的逻辑推理、数学运算等数学核心素养属于中档题19已知椭圆的右焦点为F（1，0），离心率为直线l过点F且不平行于坐标轴，l与C有两交点A，B，线段AB的中点为M（）求椭圆C的方程；（）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（）延长线段OM与椭圆C交于点P，若四边形OAPB为平行四边形，求此时直线l的斜率【分析】（
27、）由题可知，c1，再结合a2b2+c2，解出a和b的值即可得解；（）设直线l的方程为yk（x1）（k0），A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线l的方程和椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，写出两根之和与系数的关系；由于M为线段AB的中点，利用中点坐标公式可用k表示点M的坐标，利用可求出直线OM的斜率，进而得解；（）若四边形OAPB为平行四边形，则，利用平面向量的线性坐标运算可以用k表示点P的坐标，再将其代入椭圆方程即可得到关于k的方程，解之即可得解解：（）由题意可知，c1，a2b2+c2，椭圆的方程为（）设直线l的方程为yk（x1）（k0），A（x1，y1），B（x2，y2），
28、联立，消去y得，（2k2+1）x24k2x+2k220，则，M为线段AB的中点，为定值（）若四边形OAPB为平行四边形，则，点P在椭圆上，解得，即，当四边形OAPB为平行四边形时，直线l的斜率为【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及曲直联立、中点坐标公式、平面向量的坐标运算等知识点，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题20已知函数，f（x）x2（x0），g（x）alnx（a0）（）若f（x）g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（）当a1时，过f（x）上一点（1，1）作g（x）的切线，判断：可以作出多少条切线，并说明理由【分析】（）令h（x）f（x）g（x）x2alnx（x0），则h
29、（x），利用当x变化时，h（x），h（x）的变化情况可得当0a2e时，h（x）0恒成立，即f（x）g（x）恒成立；（）当a1时，g（x）lnx，设过点（1，1）的直线l与g（x）lnx相切于点P（x0，y0），则，整理得x0lnx02x0+10，令m（x）xlnx2x+1，则m（x）在（0，+）上的零点个数与切点P的个数一一对应，m（x）lnx1，令m（x）lnx10解得xe通过对x变化时，m（x），m（x）的变化情况的分析，可得答案解：令h（x）f（x）g（x）x2alnx（x0），所以h（x）2x，令h（x）0，解得x，当x变化时，h（x），h（x）的变化情况如下表： x （0，） （，+
30、） h（x）， 0+ h（x）， 减 极小值 增所以在（0，+）的最小值为h（）alnln，令h（）0，解得0a2e，所以当0a2e时，h（x）0恒成立，即f（x）g（x）恒成立（）可作出2条切线理由如下：当a1时，g（x）lnx，设过点（1，1）的直线l与g（x）lnx相切于点P（x0，y0），g（x0），即，整理得x0lnx02x0+10，令m（x）xlnx2x+1，则m（x）在（0，+）上的零点个数与切点P的个数一一对应，m（x）lnx1，令m（x）lnx10解得xe当x变化时，m（x），m（x）的变化情况如下表： x （0，e） e （e，+） m（x） 0+ m（x） 减 极小值 增
31、所以m（x）在（0，e）上单调递减，在（e，+）上单调递增，且m（）ln110，m（e）elne2e+1e+10，m（e2）e2lne22e2+110，所以m（x）在（，e）和（e，e2）上各有一个零点，即xlnx2x+10有两个不同的解，所以过点（1，1）可以作出2条切线【点评】本题考查利用导数求曲线上某点的切线方程，利用导数求不等式恒成立问题，考查逻辑思维能力与综合运算能力，属于难题21有限个元素组成的集合Aa1，a2，an，n一、选择题*，记集合A中的元素个数为card（A），即card（A）n定义A+Ax+y|xA，yA，集合A+A中的元素个数记为card（A+A），当card（A+A
32、）时，称集合A具有性质P（）A1，4，7，B2，4，8，判断集合A，B是否具有性质P，并说明理由；（）设集合Aa1，a2，a3，2020a1a2a32020，且aiN*（i1，2，3），若集合A具有性质P，求a1+a2+a3的最大值；（）设集合Aa1，a2，an，其中数列an为等比数列，ai0（i1，2，n）且公比为有理数，判断集合A是否具有性质P并说明理由【分析】（）由已知集合结合定义求得A+A与B+B，再由性质P的概念判断；（）首先说明若三个数a，b，c成等差数列，则Aa，b，c不具有性质P，由a1a2a32020，得a32019，结合集合A具有性质P依次求出a32019，a22017，a
33、12014，可得a1+a2+a3的最大值；（）设等比数列的公比为q，得（a10）且q为有理数，假设当iklj时有ai+ajak+al成立，则有qjiqki+qli1，设q（m，nN*且m与n互质），因此有1，整理后出现矛盾，说明ai+ajak+al不成立，得到card（A+A），说明集合A具有性质P解：（）集合A不具有性质P，集合B具有性质P事实上，A1，4，7，A+A2，5，8，11，14，card（A+A）5，故A不具有性质P；B2，4，8，B+B4，6，8，10，12，16，card（B+B）6，故B具有性质P（）若三个数a，b，c成等差数列，则Aa，b，c不具有性质P，理由是a+c2b
34、a1a2a32020，且aiN*（i1，2，3），a32019，要使a1+a2+a3取最大，则a32019，a22018，易知2018，2019，2020不具有性质P，要使a1+a2+a3取最大，则a22017，a12016，要使a1+a2+a3取最大，检验可得a12014；（a1+a2+a3）max6050；（）集合A具有性质P设等比数列的公比为q，（a10）且q为有理数假设当iklj时有ai+ajak+al成立，则有qjiqki+qli1q为有理数，设q（m，nN*且m与n互质），因此有1，即mjimkinjk+mlinjlnji上式左边是m的倍数，右边是n的倍数，而m与n互质，显然ai+ajak+al不成立card（A+A），故集合A具有性质P【点评】本题是新定义题，考查等差数列与等比数列的性质，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题