1、北京市西城区2011年高三二模试卷数学（理科） 2011.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，且，则等于（A） （B） （C） （D）2.已知是虚数单位，则复数所对应的点落在（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限3.在中，“”是“为钝角三角形”的（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分又不必要条件4.已知六棱锥的底面是正六边形，平面.则下列结论不正确的是（A）平面（B）平面（C）平面（D）平面5.双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线离心率为xABPyO（A）
2、（B）（C） （D）6.函数的部分图象如右图所示，设是图象的最高点，是图象与轴的交点，则（A） （B） （C） （D）7已知数列的通项公式为，那么满足的整数（A）有3个 （B）有2个 （C）有1个 （D）不存在8设点，如果直线与线段有一个公共点，那么（A）最小值为 （B）最小值为 （C）最大值为 （D）最大值为二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.OABPDC9在中，若，则_.10.在的展开式中，的系数是_.11如图，是圆的直径，在的延长线上，切圆于点.已知圆半径为，则_；的大小为_.开始输入否结束输出是12.在极坐标系中，点关于直线的对称点的一个极坐标为_.13定义某种运算，的运
3、算原理如右图所示.设.则_；在区间上的最小值为_.14.数列满足，其中，当时，_；若存在正整数，当时总有，则的取值范围是_.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知函数.（）求函数的定义域；（）若，求的值.16.（本小题满分13分）如图，已知菱形的边长为，,.将菱形沿对角线折起，使，得到三棱锥.（）若点是棱的中点，求证:平面；（）求二面角的余弦值；M（）设点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得，并证明你的结论.17.（本小题满分13分）甲班有2名男乒乓球选手和3名女乒乓球选手，乙班有3名男乒乓球选手和1名女乒乓球选手
4、，学校计划从甲乙两班各选2名选手参加体育交流活动.（）求选出的4名选手均为男选手的概率.（）记为选出的4名选手中女选手的人数，求的分布列和期望.18.（本小题满分14分）已知函数，其中为自然对数的底数.（）当时，求曲线在处的切线与坐标轴围成的面积；（）若函数存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为，求的值.19.（本小题满分14分）已知椭圆的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为（）求椭圆的方程；（）设直线与椭圆交于两点，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求面积的最大值20.（本小题满分13分）若为集合且的子集，且满足两个条件：；对任意的，至少存在一个，使或.则称集
5、合组具有性质.如图，作行列数表，定义数表中的第行第列的数为.（）当时，判断下列两个集合组是否具有性质，如果是请画出所对应的表格，如果不是请说明理由；集合组1：；集合组2：.（）当时，若集合组具有性质，请先画出所对应的行3列的一个数表，再依此表格分别写出集合；（）当时，集合组是具有性质且所含集合个数最小的集合组，求的值及的最小值.（其中表示集合所含元素的个数）北京市西城区2011年高三二模试卷 参考答案及评分标准 2011.5 数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 题号12345678答案CCADCBBA二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 10.
6、11.；12.（或其它等价写法） 13.； 14.；.注：11、13、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15.（本小题满分13分）解：（）由题意， 2分所以， 3分所以， 4分函数的定义域为. 5分（） 7分 8分. 10分因为，所以. 11分所以， 12分 . 13分16.（本小题满分13分）（）证明：因为点是菱形的对角线的交点，所以是的中点.又点是棱的中点，所以是的中位线，. 1分因为平面,平面,所以平面. 3分ABCODxyzM（）解：由题意，因为，所以，. 4分又因为菱形，所以，.建立空间直角坐标系，
7、如图所示.所以 6分设平面的法向量为，则有即：令，则，所以. 7分因为,所以平面. 平面的法向量与平行，所以平面的法向量为. 8分，因为二面角是锐角，所以二面角的余弦值为. 9分（）解：因为是线段上一个动点，设，则，所以， 10分则，由得，即，11分解得或， 12分所以点的坐标为或. 13分（也可以答是线段的三等分点，或）17.（本小题满分13分）解：（）事件表示“选出的4名选手均为男选手”.由题意知 3分. 5分（）的可能取值为. 6分， 7分， 9分， 10分. 11分的分布列：12分. 13分18、（本小题满分14分）解：（）， 3分当时，所以曲线在处的切线方程为， 5分切线与轴、轴的交
8、点坐标分别为， 6分所以，所求面积为. 7分（）因为函数存在一个极大值点和一个极小值点，所以，方程在内存在两个不等实根， 8分则 9分所以. 10分设为函数的极大值点和极小值点，则， 11分因为，所以， 12分即，解得，此时有两个极值点，所以. 14分19.（本小题满分14分）解：（）因为椭圆上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为，所以， 1分又椭圆的离心率为，即，所以， 2分所以，. 4分所以，椭圆的方程为. 5分（）方法一：不妨设的方程，则的方程为.由得， 6分设，因为，所以， 7分同理可得， 8分所以， 10分， 12分设，则， 13分当且仅当时取等号，所以面积的最大值为. 14分方法二
9、：不妨设直线的方程.由 消去得， 6分设，则有，. 7分因为以为直径的圆过点，所以 .由 ，得 . 8分将代入上式，得 . 将 代入上式，解得 或（舍）. 10分所以（此时直线经过定点，与椭圆有两个交点），所以. 12分设，则.所以当时，取得最大值. 14分20.（本小题满分13分）X（）解：集合组1具有性质. 1分011000011001所对应的数表为：3分集合组2不具有性质. 4分因为存在，有，与对任意的，都至少存在一个，有或矛盾，所以集合组不具有性质. 5分111111111111000000000（） 7分. 8分 （注：表格中的7行可以交换得到不同的表格，它们所对应的集合组也不同）（
10、）设所对应的数表为数表，因为集合组为具有性质的集合组，所以集合组满足条件和，由条件：，可得对任意，都存在有，所以，即第行不全为0，所以由条件可知数表中任意一行不全为0. 9分由条件知，对任意的，都至少存在一个，使或，所以一定是一个1一个0，即第行与第行的第列的两个数一定不同.所以由条件可得数表中任意两行不完全相同. 10分因为由所构成的元有序数组共有个，去掉全是的元有序数组，共有个，又因数表中任意两行都不完全相同，所以，所以.又时，由所构成的元有序数组共有个，去掉全是的数组，共个，选择其中的个数组构造行列数表，则数表对应的集合组满足条件，即具有性质.所以. 12分因为等于表格中数字1的个数，所以，要使取得最小值，只需使表中1的个数尽可能少，而时，在数表中，的个数为的行最多行；的个数为的行最多行；的个数为的行最多行；的个数为的行最多行；因为上述共有行，所以还有行各有个，所以此时表格中最少有个.所以的最小值为. 14分版权所有：高考资源网()版权所有：高考资源网()