1、穿插滚动练(三)内容：不等式、函数与导数、三角函数与平面向量、数列、推理与证明一、选择题1 设集合Ax|x3k1，kN，Bx|x7，xQ，则AB等于()A1,3,5 B1,4,7C4,7 D3,5答案B解析当k0时，x1；当k1时，x4；当k2时，x7，A1,4,7故选B.2 函数f(x)axlogax在区间1,2上的最大值与最小值之和为，最大值与最小值之积为，则a的值为()A. B.C2 D3答案A解析ax与logax具有相同的单调性，最大值与最小值在区间的端点处取得，f(1)f(2)，f(1)f(2)，解得a.3 在数列an中，a11，an1ann(nN*)，则a100的值为()A5 05
2、0 B5 051C4 950 D4 951答案D解析由于a2a11，a3a22，a4a33，anan1n1，以上各式相加得ana1123(n1)，即an1，所以a10014 951，故选D.4 已知an为等差数列，其公差为2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为an的前n项和，nN*，则S10的值为()A110 B90C90 D110答案D解析a3a12da14，a7a16da112，a9a18da116，又a7是a3与a9的等比中项，(a112)2(a14)(a116)，解得a120.S101020109(2)110.5实数x，y满足若目标函数zxy取得最大值4，则实数a的值为()A4 B3
3、 C2 D.答案C解析画出可行域得直线yxz过(a，a)点时取得最大值，即2a4，a2.6 若函数f(x)sin xcos x(0)的最小正周期为，则它的图象的一个对称中心为()A. B.C. D.答案A解析f(x)sin xcos xsin(x)，这个函数的最小正周期是，令，解得2，故函数f(x)sin xcos xsin(2x)，把选项代入检验得点为其一个对称中心7 已知函数f(x)ax13(a0且a1)的图象过一个定点P，且点P在直线mxny10(m0，且n0)上，则的最小值是()A12 B16C25 D24答案C解析由题意知，点P(1,4)，所以m4n10，故1725，当且仅当，即mn
4、时，“”成立，所以所求最小值为25.8 已知函数f(x)是(，)上的偶函数，且f(5x)f(5x)，在0,5上只有f(1)0，则f(x)在2 012,2 012上的零点个数为()A804 B805C806 D808答案C解析f(5x)f(5x)f(x5)，故f(x)是周期为10的偶函数，且f(9)f(1)0，f(x)在0,2 010上有402个零点，f(2 011)f(1)0，故f(x)在0,2 012上有403个零点，又f(x)是偶函数，故f(x)在2 012,2 012上共有806个零点9 已知数列an满足a1，且对任意的正整数m，n，都有amnaman，若数列an的前n项和为Sn，则Sn
5、等于()A2()n1 B2()nC2 D2答案D解析令m1，得an1a1an，即a1，可知数列an是首项为a1，公比为q的等比数列，于是Sn2.10已知g(x)loga|x1|(a0且a1)在(1,0)上有g(x)0，则f(x)a|x1|()A在(，0)上是递增的B在(，0)上是递减的C在(，1)上是递增的D在(，1)上是递减的答案C解析x(1,0)，x1(0,1)由g(x)0知0a1，只有选项D的图象正确12已知函数yf(x)是定义在R上且以3为周期的奇函数，当x时，f(x)ln(x2x1)，则函数f(x)在区间0,6上的零点个数为()A3 B5 C7 D9答案C解析当x时，x，f(x)f(
6、x)ln(x2x1)；则f(x)在区间上有3个零点(在区间上有2个零点)根据函数周期性，可得f(x)在上也有3个零点，在上有2个零点故函数f(x)在区间0,6上一共有7个零点二、填空题13已知点A(m，n)在直线x2y10上，则2m4n的最小值为_答案2解析因为点A(m，n)在直线x2y10上，所以有m2n1；2m4n2m22n222，当且仅当m2n时“”成立14若函数f(x)sin(x)2cos(x)是奇函数，则sin cos _.答案解析f(x)是奇函数，f(0)0，则sin 2cos ，tan 2，由1tan2，得cos2，sin cos 2cos2.15已知经过计算和验证有下列正确的不
7、等式：2，2，0，n0，则当mn20时，有0，n0，则当mn20时，有2.16在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c且c3，a2，a2bsin A，则ABC的面积为_答案解析由题意知，bsin A1，又由正弦定理得：bsin A2sin B，故解得sin B，所以ABC的面积为acsin B.三、解答题17设函数f(x)cos2cos2，xR.(1)求f(x)的值域；(2)记ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若f(B)1，b1，c，求a的值解(1)f(x)cos xcos sin xsin cos x1cos xsin xcos x1cos xsin x1sin1，因
8、此f(x)的值域为0,2(2)由f(B)1得sin11，即sin0，又因0B，故B.方法一由余弦定理b2a2c22accos B，得a23a20，解得a1或2.方法二由正弦定理，得sin C，C或.当C时，A，从而a2；当C时，A，又B，从而ab1.故a的值为1或2.18已知函数f(x)，数列an满足：2an12anan1an0且an0.数列bn中，b1f(0)且bnf(an1)(1)求证：数列是等差数列；(2)求数列|bn|的前n项和Tn.(1)证明由2an12anan1an0得，所以数列是等差数列(2)解因为b1f(0)5，所以5，7a125a1，所以a11，1(n1)，所以an.bn7(
9、n1)6n.当n6时，Tn(56n)；当n7时，Tn15(1n6).所以，Tn19已知向量m(sin ，1)，n(cos ，cos2)记f(x)mn.(1)若f()，求cos()的值；(2)在ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足(2ac)cos Bbcos C，若f(A)，试判断ABC的形状解f(x)sin cos cos2sincossin().(1)由已知f()得sin()，于是2k，kZ，即4k，kZ，cos()cos(4k)1.(2)根据正弦定理知：(2ac)cos Bbcos C(2sin Asin C)cos Bsin Bcos C2sin Acos Bsin(BC
10、)sin Acos BB，f(A)，sin()或A或，而0A，所以A，因此ABC为等边三角形20为保增长、促发展，某地计划投资甲、乙两项目，市场调研得知，甲项目每投资百万元需要配套电能2万千瓦，可提供就业岗位24个，增加GDP260万元；乙项目每项投资百万元需要配套电能4万千瓦，可提供就业岗位32个，增加GDP200万元，已知该地为甲、乙两项目最多可投资3 000万元，配套电能100万千瓦，并要求它们提供的就业岗位不少于800个，如何安排甲、乙两项目的投资额，增加的GDP最大？解设甲项目投资x(单位：百万元)，乙项目投资y(单位：百万元)，两项目增加的GDP为z260x200y，依题意，x、y
11、满足所确定的平面区域如图中阴影部分，解得即A(10,20)解得即B(20,10)设z0，得y1.3x，将直线y1.3x平移至经过点B(20,10)，即甲项目投资2 000万元，乙项目投资1 000万元时，两项目增加的GDP最大21已知函数f(x)2x4，令Snf()f()f()f()f(1)(1)求Sn；(2)设bn(aR)且bnbn1对所有正整数n恒成立，求a的取值范围解(1)方法一因为f(x)f(1x)6，Snf()f()f()f(1)，2Sn2f(1)6n2.即Sn3n1.方法二Snf()f()f()f(1)2()4n3n1.(2)由，得：an()0(*)，显然a0.当a0，由(*)式得
12、an0，矛盾，所以a0时，因为an0恒成立，由an()1，当n1时，1取最大值，故a.综上所述，a的取值范围为(，)22已知函数f(x)ln x.(1)当a0时，判断f(x)在定义域上的单调性；(2)f(x)在1，e上的最小值为，求实数a的值；(3)试求实数a的取值范围，使得在区间(1，)上函数yx2的图象恒在函数yf(x)图象的上方解(1)f(x)(x0)，当a0时，f(x)0恒成立，故f(x)在(0，)上是单调递增函数(2)由f(x)0得xa，当a1时，f(x)0在1，e上恒成立，f(x)在1，e上为增函数f(x)minf(1)a得a(舍)当ae时，f(x)0在1，e上恒成立，f(x)在1
13、，e上为减函数则f(x)minf(e)1得a(舍)当ea1时，由f(x)0得x0a.当1xx0时，f(x)0，f(x)在(1，x0)上为减函数；当x0x0，f(x)在(x0，e)上为增函数f(x)minf(a)ln(a)1，得a.综上知：a.(3)由题意得：x2ln x在(1，)上恒成立，即axln xx3在(1，)上恒成立设g(x)xln xx3(x1)，则g(x)ln x3x21.令h(x)ln x3x21，则h(x)6x.当x1时，h(x)0恒成立h(x)g(x)ln x3x21在(1，)上为减函数，则g(x)g(1)20.所以g(x)在(1，)上为减函数，g(x)g(1)1，故a1.