1、第六章6.2A组素养自测一、选择题1已知直角三角形两直角边长分别为a、b，分别以这两个直角边为轴，旋转所形成的几何体的体积比为(B)AabBbaCa3b3Db3a3解析以a为轴的几何体的体积为，以b为轴的几何体的体积为，体积比为ba.2圆锥SO的底面半径是1，高为2，则圆锥SO的体积是(A)AB2C4D6解析V圆锥122.3棱台的上、下底面面积分别是2,4，高为3，则该棱台的体积是(B)A186B62C24D18解析V棱台3(24)62.4正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥AB1DC1的体积为(C)A3BC1D解析本题考查三棱柱、三棱锥的体积问题由条件知
2、底面B1DC1的面积为侧面面积的一半，即为，而高为底面等边三角形的高，为，VAB1DC115若圆锥的母线长为8，底面周长为6，则其体积是(C)A9B9C3D3解析设半径为r，2r6，r3.h，VShr2h93.6.如图所示，三棱柱ABCABC中，若E，F分别为AC，AB的中点，平面ECBF将三棱柱分成体积为V1(棱台AEFACB的体积)，V2的两部分，那么V1V2(A)A75B65C83D43解析设三棱柱的高为h，底面面积为S，体积为V，则VV1V2Sh.因为E，F分别为AC，AB的中点，所以SAEFS，所以V1hSh，V2VV1Sh.所以V1V275.二、填空题7正方体的棱长都增加1 cm，
3、它的体积扩大为原来的8倍，则它的棱长是 1 cm.解析设正方体的棱长为x cm，则(x1)38x3，解得x18设正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为 28 .解析S上6，S下24，代入公式Vh(S上S下)14228.9将圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是 .解析如图所示，则母线PA2，设圆锥底面半径为r，则有2r22，则r1，则圆锥的高h，所以圆锥的体积是12.三、解答题10如图所示，圆锥的轴截面为等腰RtSAB，Q为底面圆周上一点(1)若QB的中点为C，OHSC，求证：OH平面SBQ；(2)如果AOQ60，QB2，求此圆锥的体积解析(1)证明：连接OC，
4、SQSB，OQOB，QCCB，QBSC，QBOC，QB平面SOCOH平面SOC，QBOH.又OHSC，OH平面SQB(2)连接AQ，Q为底面圆周上一点，AB为直径，AQQB在RtAQB中，QBA30，QB2，AB4.SAB是等腰直角三角形，SOAB2.V圆锥OA2SO.B组素养提升一、选择题1若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为(B)ABCD解析由题意知，以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是正八面体(即由两个同底等高的正四棱锥组成)，所有的棱长均为1，其中每个正四棱锥的高均为，故正八面体的体积V2V正四棱锥212.故选B2三棱台ABCA1B1C1中，ABA1B1
5、12，则三棱锥A1ABC，BA1B1C，CA1B1C1的体积之比为(C)A111B112C124D144解析设棱台的高为h，SABCS，则SA1B1C14S.VA1ABCSABChSh，VCA1B1C1SA1B1C1hSh，又V台h(S4S2S)Sh，VBA1B1CV台VA1ABCVCA1B1C1ShSh.体积比为124.应选C3九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积
6、约为162立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有(B)A14斛B22斛C36斛D66斛解析设圆锥底面半径为r，则2r8，解得r，所以米堆的体积为25，故堆放的米约为16222(斛)，故选B4(多选)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P为线段B1C上一动点，则(ACD)A直线BD1平面A1C1DB异面直线B1C与A1C1所成角为45C三棱锥PA1DC1的体积为定值D平面A1C1D与底面ABCD的交线平行于A1C1解析如图，连接B1D1，易知A1C1B1D1，A1C1BB1，B1D1BB1B1，A1C1平面BB1D1，则A1C1BD1，同理DC1BD1，A1C1DC1C1，直线BD1平
7、面A1C1D，故A正确；A1B1CD，且A1B1CD，四边形DA1B1C为平行四边形，则B1CA1D，则DA1C1为异面直线B1C与A1C1所成角，为60，故B错误；B1CA1D，A1D平面A1C1D，B1C平面A1C1D，B1C平面A1C1D可得P到平面A1C1D的距离为定值，即三棱锥PA1DC1的体积为定值，故C正确；A1C1平面ABCD，A1C1平面A1C1D，由直线与平面平行的性质可得，平面A1C1D与底面ABCD的交线平行于A1C1，故D正确二、填空题5如图，长方体ABCDA1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥EBCD的体积是 10 .解析设长方体中BCa，CDb
8、，CC1c，则abc120，VEBCDabcabc10.6如图是一个底面直径为20 cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm，高为20 cm的圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降 0.6 cm.解析因为圆锥形铅锤的体积为22060(cm3)，设水面下降的高度为xcm，则这部分水的体积为(202)2x100x(cm3)所以有60100x，解此方程得x0.6.三、解答题7已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，求该圆柱的体积解析如图所示，在四棱锥VABCD中，O为正方形ABC
9、D的中心，也是圆柱下底面的中心，由四棱锥底面边长为，可得OC1设M为VC的中点，过点M作MO1OC交OV于点O1，则O1即为圆柱上底面的中心O1MOC，O1OVO.VO2，O1O1可得V圆柱O1M2O1O21.8如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点(1)证明：MN平面PAB；(2)求四面体NBCM的体积解析(1)由已知得AMAD2.取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC的中点知TNBC，TNBC2.又ADBC，故TN綊AM，四边形AMNT为平行四边形，于是MNAT.因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB(2)因为PA平面ABCD，N为PC的中点，所以N到平面ABCD的距离为PA取BC的中点E，连接AE.由ABAC3得AEBC，AE.由AMBC得M到BC的距离为，故SBCM42.所以四面体NBCM的体积VNBCMSBCM.