1、第六章5.2A组素养自测一、选择题1如图所示，对于面面垂直的性质定理的符号叙述正确的是(D)A，l，blbB，l，bbC，b，blbD，l，b，blb解析根据面面垂直的性质定理知，D正确2在棱长都相等的四面体PABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则下面四个结论中不成立的是(C)ABC平面PDFBDF平面PAEC平面PDF平面ABCD平面PAE平面ABC解析可画出对应图形，如图所示，则BCDF，又DF平面PDF，BC平面PDF，BC平面PDF，故A成立；由AEBC，PEBC，BCDF，知DFAE，DFPE，DF平面PAE，故B成立；又DF平面ABC，平面ABC平面PAE，故D成立3
2、(多选)在四棱锥PABCD中，已知PA底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中正确的是(ABD)A平面PAB平面PADB平面PAB平面PBCC平面PBC平面PCDD平面PCD平面PAD解析对于A选项，ABPA，ABAD，且PAADA，所以AB平面PAD，又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD；对于B选项，由BCAB，BCPA，且ABPAA，所以BC平面PAB，又BC平面PBC，所以平面PBC平面PAB；对于D选项，CDAD，CDPA，且PAADA，所以CD平面PAD，又CD平面PCD，所以平面PCD平面PAD4.如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF
3、A1B1于F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是(D)A平行BEF平面A1B1C1D1C相交但不垂直D相交且垂直解析由于长方体中平面ABB1A1平面ABCD，所以根据面面垂直的性质定理可知，EF平面A1B1C1D1，相交且垂直5.如图所示，三棱锥PABC中，平面ABC平面PAB，PAPB，ADDB，则(B)APD平面ABCBPD平面ABCCPD与平面ABC相交但不垂直DPD平面ABC解析PAPB，ADDB，PDAB又平面ABC平面PAB，PD平面PAB，平面ABC平面PABAB，PD平面ABC6在二面角l中，A，AB平面于B，BC平面于C，若AB6，BC3，则二面角l的平面角的大小为(D)A
4、30B60C30或150D60或120解析如图，AB，ABl，BC，BCl，l平面ABC，设平面ABClD，则ADB为二面角l的平面角或补角，AB6，BC3，BAC30，ADB60，二面角大小为60或120.二、填空题7.如图所示，已知AB平面BCD，BCCD，则图中互相垂直的平面共有 3 对解析AB平面BCD，且AB平面ABC和AB平面ABD，平面ABC平面BCD，平面ABD平面BCDAB平面BCD，ABCD又BCCD，ABBCB，CD平面ABCCD平面ACD，平面ABC平面ACD故图中互相垂直的平面有平面ABC平面BCD，平面ABD平面BCD，平面ABC平面ACD8.如图，在三棱锥PABC
5、内，侧面PAC底面ABC，且PAC90，PA1，AB2，则PB .解析侧面PAC底面ABC，交线为AC，PAC90(即PAAC)，PA平面ABC，又AB平面ABC，PAAB，PB.9已知正四棱锥(底面为正方形各侧面为全等的等腰三角形)的高为3，底面对角线的长为2，则侧面与底面所成的二面角的大小为 60 .解析设正四棱锥为SABCD，如图所示，高为h，底面边长为a，则2a2(2)2，a212.设O为S在底面上的投影，作OECD于E，连接SE，可知SECD，SEO为所求二面角的平面角tan SEO，SEO60.侧面与底面所成二面角的大小为60.三、解答题10.如图所示，ABC为正三角形，CE平面A
6、BC，BDCE，且CEAC2BD，M是AE的中点(1)求证：DEDA；(2)求证：平面BDM平面ECA解析(1)取EC的中点F，连接DF.CE平面ABC，CEBC易知DFBC，CEDF.BDCE，BD平面ABC在RtEFD和RtDBA中，EFCEDB，DFBCAB，RtEFDRtDBA故DEDA(2)取AC的中点N，连接MN，BN，则MN綊CF.BD綊CF，MN綊BD，N平面BDM.EC平面ABC，ECBN.又ACBN，ECACC，BN平面ECA又BN平面BDM，平面BDM平面ECAB组素养提升一、选择题1下列命题中正确的是(C)A若平面和分别过两条互相垂直的直线，则B若平面内的一条直线垂直于
7、平面内的两条平行直线，则C若平面内的一条直线垂直于平面内的两条相交直线，则D若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则解析当平面和分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面和有可能平行，故A错；由直线与平面垂直的判定定理知B、D错，C正确2(多选)如图所示，四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列结论错误的是(ABC)A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDCD平面ADC平面ABC解析由平面图形易知BDC90.平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，且
8、CDBD，CD平面ABD，CDAB又ABAD，CDADD，AB平面ADC又AB平面ABC，平面ADC平面ABC则A，B，C均错3如图所示，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，则点C1在底面ABC上的射影H必在(A)A直线AB上B直线BC上C直线AC上DABC内部解析连接AC1BAC90，即ACAB，又ACBC1，ABBC1B，所以AC平面ABC1又AC平面ABC，于是平面ABC1平面ABC，且AB为交线，因此，点C1在平面ABC上的射影必在直线AB上，故选A4如图，平面平面，A，B，AB与两平面、所成的角分别为和.过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A、B，则ABAB等于
9、(A)A21B31C32D43解析由已知条件可知BAB，ABA，设AB2a，则BB2asin a，AB2acos a，在RtBBA中，得ABa，ABAB21二、填空题5在三棱锥PABC中，PAPBACBC2，PC1，AB2，则二面角PABC的大小为 60 .解析取AB中点M，连接PM，MC，则PMAB，CMAB，PMC就是二面角PABC的平面角在PAB中，PM1，同理MC1，则PMC是等边三角形，PMC60.6.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足 BMPC(其他合理即可) 时，平面MBD平面PCD(注：只要填写一个你认为正确的条件即可
10、)解析四边形ABCD的边长相等，四边形ABCD为菱形ACBD，又PA平面ABCD，PABD，BD平面PAC，BDPC若PC平面BMD，则PC垂直于平面BMD中两条相交直线当BMPC时，PC平面BDM.平面PCD平面BDM.三、解答题7如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，M是棱CC1的中点证明：平面ABM平面A1B1M.解析由长方体的性质可知A1B1平面BCC1B1，又BM平面BCC1B1，所以A1B1BM.又CC12，M为CC1的中点，所以C1MCM1在RtB1C1M中，B1M，同理BM，又B1B2，所以B1M2BM2B1B2，从而BMB1M.又A1B1B1MB
11、1，所以BM平面A1B1M，因为BM平面ABM，所以平面ABM平面A1B1M.8如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，BAD60，N是PB的中点，过A，D，N三点的平面交PC于M，E为AD的中点求证：(1)EN平面PDC；(2)BC平面PEB；(3)平面PBC平面ADMN.证明(1)ADBC，BC平面PBC，AD平面PBC，AD平面PBC又平面ADMN平面PBCMN，ADMN.又BCAD，MNBC又N是PB的中点，点M为PC的中点MNBC且MNBC，又E为AD的中点，MNDE且MNDE.四边形DENM为平行四边形ENDM，且DM平面PDCEN平面PDC(2)四边形ABCD是边长为2的菱形，且BAD60，BEAD又侧面PAD是正三角形，且E为中点，PEAD，又PEBEE，AD平面PBE.又ADBC，BC平面PEB(3)由(2)知AD平面PBE，又PB平面PBE，ADPB又PAAB，N为PB的中点，ANPB且ANADA，PB平面ADMN.又PB平面PBC平面PBC平面ADMN.
