1、第二节 等差数列及其前n项和【知识梳理】1.必会知识 教材回扣 填一填(1)等差数列的概念:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于_,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的_,一般 用字母d表示;定义的表达式为:_.同一个常数 公差 an+1-an=d(nN*)(2)等差中项:如果a,A,b成等差数列,那么A叫做a,b的等差中项,且A=_.(3)等差数列的通项公式:若等差数列an的首项是a1,公差是d,则其通项公式为an=_.ab2a1+(n-1)d(4)等差数列的前n项和公式:已知条件 前n项和公式 a1,an,n Sn=a1,d,n Sn=1nn(aa)21n(n1
2、)nad22.必备结论 教材提炼 记一记(1)通项公式的推广:an=am+_(n,mN*).(2)等差数列的性质:若an是等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,nN*),则_;k+l=2m_(k,l,mN*).若an,bn是等差数列,则pan+qbn(nN*)是等差数列.Sm,S2m,S3m分别为an的前m项,前2m项,前3m项的和,则Sm,S2m-Sm,_成等差数列.(n-m)d ak+al=am+an ak+al=2am S3m-S2m 两个等差数列an,bn的前n项和Sn,Tn之间的关系为 数列an的前n项和Sn=An2+Bn(A0)是an成等差数列的_条件.(3)等差数列的增减性:d
3、0时为_数列,且当a10时前n项和Sn有最 小值.d0时前n项和Sn有最大值.n2n 1n2n 1aS.bT充分 递增 递减 3.必用技法 核心总结 看一看(1)常用方法:整体代入法、待定系数法,等差数列的判定方法,求等差数列前n项和的最大(小)值的方法等.(2)数学思想:函数与方程、分类讨论、化归与转化.【小题快练】1.思考辨析 静心思考 判一判(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个 数列是等差数列.()(2)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*,都有2an+1=an+an+2.()(3)等差数列an的单调性是由公差d决定的.()(4)数列an为等差数列的充要
4、条件是其通项公式为n的一次函数.()(5)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.()【解析】(1)错误.若这些常数都相等,则这个数列是等差数列;若这些常数不全相等,这个数列就不是等差数列.(2)正确.如果数列an为等差数列,根据定义an+2-an+1=an+1-an,即2an+1=an+an+2;反之,若对任意nN*,都有2an+1=an+an+2,则an+2-an+1=an+1-an=an-an-1=a2-a1,根据定义数列an为等差数列.(3)正确.当d0时为递增数列;d=0时为常数列;d0时为递减数列.(4)错误.根据等差数列的通项公式,an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d
5、),只有当d0时,等差数列的通项公式才是n的一次函数,否则不是.(5)错误根据等差数列的前n项和公式 显然只有公差d0时才是关于n的常数项为0的二次函数，否则不是(甚至也不是n的一次函数，即a1=d=0时)答案：(1)(2)(3)(4)(5)2n1n(n1)dSnadn221d(a)n2，2.教材改编 链接教材 练一练(1)(必修5P38例1(1)改编)已知等差数列-5,-2,1,则该数列的第20项为 .【解析】依题意得,该等差数列的首项为-5,公差为3,所以a20=-5+193=52,故第20项为52.答案:52(2)(必修5P46T5改编)在100以内的正整数中有 个能被6整除 的数.【解
6、析】由题意知,能被6整除的数构成一个等差数列an,则a1=6,d=6,得an=6+(n-1)6=6n.由an=6n100,即n 则在100以内有16个能被6整除的数.答案:16 421616,633.真题小试 感悟考题 试一试(1)(2014重庆高考)在等差数列an中,a1=2,a3+a5=10,则a7=()A.5 B.8 C.10 D.14【解析】选B.因为a1+a7=a3+a5,所以a7=(a3+a5)-a1=10-2=8.(2)(2014辽宁高考)设等差数列an的公差为d,若数列 为 递减数列,则()A.d0 C.a1d0 1 na a2【解析】选C.由数列 为递减数列，得 又由指数函数
7、性质得a1an-1a1an.由等差数列的公差为d知,an-an-1=d,所以a1an-1a1ana1an-a1an-10a1(an-an-1)0a1d0,Sn是数列an前n项的和,若Sn取得最大值,则n=()A.7 B.8 C.9 D.10【解析】选C.设公差为d,由题设得3(a1+3d)=7(a1+6d),所以 解不等式an0,即 所以 则n9,当n9时，an0，同理可得n10时，an0,设an的前n项和为Sn,a1=1,S2S3=36.(1)求d及Sn.(2)求m,k(m,kN*)的值,使得am+am+1+am+2+am+k=65.【解析】(1)由题意知，(2a1+d)(3a1+3d)=3
8、6,解得d=2或d=5(舍去).所以(2)由(1)知，am+am+1+am+2+am+k=(2m+k1)(k+1)，所以(2m+k1)(k+1)=65，由m,kN*知，2m+k1k+11，故 所以 2n1n(n 1)Snadnn n 1n.22mk 1 13,k15,m5,k4.【加固训练】1.(2013新课标全国卷)设等差数列an的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=()A.3 B.4 C.5 D.6【解析】选C.方法一：由已知得，am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3，因为 数列an为等差数列，所以d=am+1-am=1，又因为 所以m(a1+2
9、)=0，因为m0，所以a1=-2，又am=a1+(m-1)d=2，解得m=5.方法二：因为Sm-1=-2，Sm=0，Sm+1=3，所以am=Sm-Sm-1=2，am+1=Sm+1-Sm=3，所以公差d=am+1-am=1,由 由得 代入可得m=5.1mmm aaS02，n11n(n1)n(n1)Snadna,2211m(m1)ma0,2(m1)(m2)(m1)a2.2 得11 ma,2方法三：因为数列an为等差数列，且前n项和为Sn,所以数列 也为等差数列.所以 解得m=5.经检验为原方程的解.故选C.nSnm 1m 1mSS2S23,0m 1m 1mm 1m 1即，2.数列an满足an+1+
10、an=4n-3(nN*).(1)若an是等差数列,求其通项公式.(2)若an满足a1=2,Sn为an的前n项和,求S2n+1.【解析】(1)因为an+1+an=4n-3,所以an+2+an+1=4n+1,两式相减得an+2-an=4.因为an是等差数列,设公差为d,所以d=2.又因为a1+a2=1,即a1+a1+d=1,所以 所以 11a,2 n5a2n.2(2)因为a1=2,a1+a2=1,所以a2=-1.又因为an+2-an=4,所以该数列的奇数项与偶数项分别成等差数列,公差均为4,所以a2n-1=4n-2,a2n=4n-5.所以S2n+1=(a1+a3+a2n+1)+(a2+a4+a2n
11、)2n1 nn n1n124n144nn2.22 考点2 等差数列的判定与证明【典例2】(1)设an=(n+1)2,bn=n2-n(nN*),则下列命题中不正确的 是()A.an+1-an是等差数列 B.bn+1-bn是等差数列 C.an-bn是等差数列 D.an+bn是等差数列(2)(2015上海模拟)已知数列an,对于任意n2,在an-1与an之间插入n个数,构成的新数列bn成等差数列,并记在an-1与an之间插入的这n个数的算术平均值为cn-1.若an=求c1,c2,c3的值;在的条件下是否存在常数,使cn+1-cn是等差数列?如果存在,求出满足条件的;如果不存在,请说明理由.2n3n8
12、2，【解题提示】(1)根据等差数列的定义,逐一验证答案后作出判断.(2)先分别求出a1,a2,a3,a4的值,再由已知分别解出c1,c2,c3的值;根据的结论,求出cn-1,再根据(cn+1-cn)-(cn-cn-1)为常数,求的值,视的值是否存在则得结论.【规范解答】(1)选D.等差数列的通项公式是关于n的一次式形式的函数(一次项系数可以为0).而an+1-an=2n+3,bn+1-bn=2n,an-bn=3n+1,故A、B、C均正确.(2)由题意知a1=-2,a2=1,a3=5,a4=10,在-2,1之间插入两个数,使之成为等差数列,则可得公差为1.故在a1与a2之间插入-1,0,得c1=
13、在a2与a3之间插入2,3,4,得c2=3;在a3与a4之间插入6,7,8,9,得c3=12；15.2在an-1与an之间插入n个数构成等差数列，则 假设存在使得cn+1-cn是等差数列，则(cn+1-cn)-(cn-cn-1)=cn+1-cn-(cn-cn-1)=为常数，所以=1.即当=1时，cn+1-cn是等差数列.nn 1aad,n1n 1n2n 1nn 1n(aa)aan2n92c.n22故2n52n32253(1)n22【规律方法】等差数列的四个判定方法(1)定义法:证明对任意正整数n都有an+1-an等于同一个常数.(2)等差中项法:证明对任意正整数n都有2an+1=an+an+2
14、后,可递推得出an+2-an+1=an+1-an=an-an-1=an-1-an-2=a2-a1,根据定义得出数列an为等差数列.(3)通项公式法:得出an=pn+q后,得an+1-an=p对任意正整数n恒成立,根据定义判定数列an为等差数列.(4)前n项和公式法:得出Sn=An2+Bn后,根据Sn,an的关系,得出an,再使用定义法证明数列an为等差数列.提醒:等差数列主要的判定方法是定义法和等差中项法,而对于通项公式和前n项和公式的方法主要适合在选择题或填空题中简单判断.【变式训练】(2015南昌模拟)设等差数列an的前n项和为Sn,且a5+a13=34,S3=9.(1)求数列an的通项及
15、前n项和公式.(2)设数列bn的通项公式为bn=问:是否存在正整数t,使得b1,b2,bm(m3,mN)成等差数列?若存在,求出t和m的值;若不存在,请说明理由.nna,at【解析】(1)设公差为d,由题意得 解得a1=1,d=2，故an=2n-1,Sn=n2.(2)由(1)知 要使b1,b2,bm成等差数列，必须2b2=b1+bm,即 整理得 112a16d34,3a3d9,n2n 1b,2n 1t 312m 12,3t1t2m 1t 4m3,t1 因为m,t为正整数,所以t只能取2,3,5.当t=2时,m=7;当t=3时,m=5;当t=5时,m=4.所以存在正整数t,使得b1,b2,bm成
16、等差数列.【加固训练】已知等差数列的前三项依次为a,4,3a,前n项和为Sn,且Sk=110.(1)求a及k的值.(2)设数列bn的通项bn=证明数列bn是等差数列,并求其前n 项和Tn.nSn，【解析】(1)设该等差数列为an,则a1=a,a2=4,a3=3a,由已知有a+3a=8,得a1=a=2,公差d=4-2=2,所以 由Sk=110,得k2+k-110=0,解得k=10或k=-11(舍去)，故a=2,k=10.2k1k(k1)k(k1)Skad2k2kk.22(2)由(1)得 则 故bn+1-bn=(n+2)-(n+1)=1,即数列bn是首项为2，公差为1的等差数列,所以 nn(22n
17、)Sn n1,2nnSbn1,nnn(2n1)n(n3)T.22考点3 等差数列性质的应用 知考情 对等差数列性质的考查几乎每年都有涉及,有时以选择题、填空题出现,难度中等偏下,有时在解答题中出现,常与求通项an及前n项和Sn结合命题,题目难度中等.明角度 命题角度1:根据等差数列的性质求基本量【典例3】(2015广州模拟)等差数列an前17项和S17=51,则a5-a7+a9-a11+a13等于()A.3 B.6 C.17 D.51【解题提示】利用等差数列的前n项和公式及性质求解.【规范解答】选A.由于S17=17=17a9=51,所以a9=3.根据等差数列的性质a5+a13=a7+a11,
18、所以a5-a7+a9-a11+a13=a9=3.117aa2命题角度2:根据等差数列的性质求前n项和的最值【典例4】(2015乌鲁木齐模拟)设等差数列an的前n项和为Sn,已知a3=12,S120,S130,S130,S130,S130,所以 即 又a3=a1+2d=12,所以解得 1112 1112ad0,213 1213ad0,2112a11d0,a6d0.24d3.7(2)由题意及等差数列的性质可得 所以a70.所以在数列an中，前6项为正，从第7项起，以后各项为负，故S6最大.112126711313712(aa)S6 aa0,213(aa)S13a0.2【一题多解】解答本题，你知道几
19、种解法？解答本题还有以下解法.(n=1,2,3,12).所以=因为 所以 所以当n=6时，Sn有最大值，所以S1,S2,S12中值最大的为S6.n1n(n1)Snad2nn(n1)Sn 122dd222d512(5d24)n().22d8d24d3,7 512136,2d2悟技法 求等差数列的前n项和Sn最大(小)值的常用方法 1.邻项变号法：(1)当a10，d0时，满足 的项数m使得Sn取得最大值为Sm.(2)当a10时，满足 的项数m使得Sn取得最小值为Sm.mm 1a0,a0mm 1a0,a02.函数法：利用等差数列的前n项和(d0),Sn可看成关于n的二次函数式且常数项为0,借助二次函
20、数的 图象或配方法解决最值问题，注意nN*.2n11n(n1)ddSnadn(a)n222通一类 1.(2015济南模拟)在等差数列an中，a2+a6=则=()【解析】选D.因为a2+a6=所以 所以 32，4sin(2a)33211A.B.C.D.222232，432a,2431sin(2a)sin()cos.32332 2.(2015成都模拟)设等差数列an的前n项和为Sn,且满足S150,S160.由 得a9+a80,所以a90,且d0,11515815(aa)S15a0,2116981616(aa)16(aa)S0,22则 又S8S7S6,a8a70,所以a3a4,所以a3=9,a4=
21、13,所以 所以 所以通项an=4n-3.11a2d9,a3d13,1a1,d4.(2)由(1)知a1=1,d=4,所以=所以当n=1时，Sn最小，最小值为S1=a1=1.2n1n(n1)Snad2nn22112(n).48(3)由(2)知Sn=2n2-n,所以 所以 因为数列bn是等差数列，所以2b2=b1+b3,即 所以2c2+c=0,所以 或c=0(舍去)，故 2nnS2nnb,ncnc1231615b,b,b.1 c2c3c61152,2c1 c3c1c2 1c.2 巧思妙解7 巧用等差数列的性质求前n项和【典例】(2015日照模拟)等差数列an的前m项和为30,前3m项和为90,则它
22、的前2m项和为 .【常规解法】记等差数列an的前n项和为Sn,公差为d,由已知得 根据等差数列的前n项和公式得 由可得 把代入得 m3mS30,S90,11m(m1)mad30 ,23m(3m1)3mad90 ,2160m(m 1)da,2m 3 60m(m 1)d3m(3m 1)d90,22化简得d=0,再由得 所以 答案：60 130a,m2m2m 2m 130S2m060.m2【巧妙解法一】由Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列，可得2(S2m-Sm)=Sm+S3m-S2m,即 答案：60 m3m2m3SS3 3090S60.33【巧妙解法二】由 得 所以 是以a1为首项，为公差
23、的等差数列,从而 成等差数列，所以 所以 答案：60 n1n(n1)Snad,2n1Sdan1,n2nSnd23mm2m SSS,m 2m 3m3mm2mSSS2,m3m2m3m2mmSSS303060.3【方法指导】1.熟练掌握等差数列性质的实质 等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n项和公式等基础知识的推广与变形,熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题.2.应用等差数列的性质解答问题的关键 寻找项数之间的关系,但要注意性质运用的条件,如若m+n=p+q,则am+an=ap+aq(m,n,p,qN*),需要当序号之和相等、项数相同时才成立,再比如只有当等差数列an的前n项和Sn中的n为奇数时,才有Sn=na中成立.【类题试解】在等差数列an中,已知a4+a8=16,则该数列前11项和S11=()A.58 B.88 C.143 D.176【常规解法】选B.设等差数列an的公差为d，由题意可得a1+3d+a1+7d=16,所以a1=8-5d,所以【巧妙解法】选B.在等差数列an中，已知a4+a8=16,所以a1+a11=a4+a8=16,所以 11111 10S11ad11 85d55d8855d55d88.21111111 aaS88.2