1、广东省深圳实验学校2020-2021学年高二数学上学期第三阶段考试试题时间：120分钟 满分：150分第卷（选择题，共60分）一选择题：本大题共8小题，每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的1“”是“方程表示双曲线”的 （ ） A必要但不充分条件； B充分但不必要条件；C充要条件； D既不充分又不必要条件2 设等差数列的前n项和为若，则（ ） A B12 C16 D323函数的递增区间是 （ ） A和； B；C； D.4设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 （） A BC D5已知函数，则
2、下列式子成立的是 （）Af(1)f()f() Bf()f(1)f()Cf()f()f(1) Df()f(1)f()6已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于，两点，为坐标原点 若双曲线的离心率为2，AOB的面积为，则 （）A1BC2D37已知函数，若曲线存在两条过(1，0)点的切线，则a的取值范围是 （）A B C D 8已知函数，若x=1是函数f(x)的唯一极值点，则实数k的取值范围是 （ ）A(，e B(，e) C(e，+) De，+)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9与直线仅
3、有一个公共点的曲线是 （ ）A； B； C； D10对于函数，下列说法正确的有 （ ）A在处取得极大值； B有两个不同的零点；C； D若在上恒成立，则11已知抛物线C:，焦点为F，过焦点的直线l抛物线C相交于，则下列说法一定正确的是 （ ） A若的最小值为2； B线段AB为直径的圆与直线相切；C为定值； D若，则12已知数列，均为递增数列，的前n项和为，的前n项和为且满足，则下列说法正确的是（ ） A； B； C； D第卷（非选择题，共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13已知函数的导函数为，且满足，则 14数列满足：，则数列的通项公式 .15光线从椭圆的一个焦点发出，被
4、椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出如图，一个光学装置由有公共焦点，的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时秒若将装置中的去掉，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒若，则与的离心率之比为 .16设为实数，函数在和都是增函数，则的取值范围是 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（本题满分10分）已知函数(1)求函数的图象在处的切线方程；(2)求函数在上的最大值与最小值18（本题满分12分）已知等差数列满足， (1)求数列的通项公式； (2)
5、求数列的前n项和19（本题满分12分）如图，已知抛物线：，直线交抛物线于两点，为坐标原点(1)证明：；xAy1BOM1(2)设抛物线在点处的切线为，在点处的切线为，证明：与的交点在一定直线上20（本题满分12分）如图所示，某大型水上乐园内有一块矩形场地ABCD，AB=120米，AD=80米，以AD，BC为直径的半圆O1和半圆O2(半圆在矩形ABCD内部)为两个半圆形水上主题乐园，BC，CD，DA都建有围墙，游客只能从线段AB处进出该主题乐园为了进一步提高经济效益，水上乐园管理部门决定沿着，修建不锈钢护栏，沿着线段EF修建该主题乐园大门并设置检票口，其中E，F分别为，上的动点， EF/AB，且线
6、段EF与线段AB在圆心O1和O2连线的同侧已知弧线部分的修建费用为200元/米，直线部分的平均修建费用为400元/米(1)若EF=80米，则检票等候区域(阴影部分)的面积为多少平方米?(2)试确定点E的位置，使得修建费用最低21（本题满分12分）xyOFD已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，右顶点为D（2，0），设点A的坐标是(1)求该椭圆的标准方程；(2)过原点O的直线交椭圆于点B、C，求ABC面积的最大值22（本题满分12分）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若函数有两个不同的零点,，求实数的取值范围；证明：深圳实验学校高中部2020-2021学年
7、度第一学期第三阶段考试高二数学参考答案一、选择题1A 2D 3D4D5B 6C7D 8A二、多项选择题：9 AC 10ACD 11BCD 12ABC三、填空题：1314.151：2.16四、解答题：17解：(1)，函数的图象在处的切线方程为：，即 4分(2)令，得与，当变化时，、的变化如下表：00所以，与是函数在上的两个极值点，而，函数在上的最大值是，最小值是10分18解：(1) 设等差数列的公差为d，由已知条件可得解得故数列的通项公式为 4分 (2) 设数列的前项和为，即，故所以，当时，所以 12分19解：(1)设，把代入，得由韦达定理得6分(2)，故经过点的切线的方程为：，即 ， 同理，经
8、过点的切线的方程为：， x2x1，得 即点在直线：上 12分20解： (1)如图所示，设直线EF与矩形ABCD交于M，N两点，连接O1E，O2F，O1O2，则ME20米，O1M20米梯形O1O2FE的面积为(120+80)202000 (平方米),矩形AO1O2B的面积为120404800(平方米),易得AO1E，则扇形O1AE和扇形O2FB的面积均为1600= (平方米),故阴影部分的面积为48002000平方米. 6分(2)设AO1E，则，的长都是40，EF120-240sin 12080sin ,所以修建费用f() 20080+400(12080sin ) 16 000(+32sin )
9、,所以f() 16 000(12cos ).令f() 0，得,当变化时，f()，f()的变化情况如下表:f()-0+f()极小值由上表可得，当，即AO1E时，f()有极小值，也为最小值故当AO1E为时，修建费用最低 12分22解：（1）设椭圆方程为. 由题意得，椭圆方程为. 4分（2）当轴时，易得.当直线不垂直于轴时，设直线BC所在方程为，且设B（x1，y1），C（x2，y2），由，联立得，.又到直线的距离，于是 当时，； 当时，； 当时， 当且仅当时，取“”， 综上所述ABC面积的最大值为12分22解：(1)当时, ,所以，所以曲线在点处的切线方程是4分(2) 函数有两个不同的零点,，等价于方程有两个不同实根,令，则,所以在(0,e)上单调递增，在(e,+)上单调递减，所以当时, 取得最大值 ,由于，当时，;当,的大致图象如图所示 所以，当,即时, 函数有两个不同的零点,. 8分证明:不妨设,两式相加得,两式相减得,所以.要证,只需证.即证 .设,令,则,所以函数在(1,+)上单调递增,且,所以,即.12分
