1、2022届高三年级模拟试卷数学(满分：150分考试时间：120分钟)20223一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设全集U3，2，1，1，2，3，集合A1，1，B1，2，3，则(UA)B()A. 1 B. 1，2 C. 2，3 D. 1，2，32. 已知复数z满足z(12i)i(1z)，则z()A. i B. i C. 1i D. 1i3. 已知|a|3，|b|2，(a2b)(a3b)18，则a与b的夹角为()A. 30 B. 60 C. 120 D. 1504. 时钟花是原产于南美热带雨林的藤蔓植物，从开放到闭合与体内的一种
2、时钟酶有关研究表明，当气温上升到20时，时钟酶活跃起来，花朵开始开放；当气温上升到28时，时钟酶的活性减弱，花朵开始闭合，且每天开闭一次已知某景区一天内517时的气温T(单位：)与时间t(单位：h)近似满足关系式T2010sin (t)，则该景区这天时钟花从开始开放到开始闭合约经历(参考数据：sin 0.8)()A. 1.4 h B. 2.4 h C. 3.2 h D. 5.6 h5. 设(13x)na0a1xa2x2anxn，若a5a6，则n()A. 6 B. 7 C. 10 D. 116. 已知等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，则“d0”是“SnS3n2S2n”的()A. 充分不必要
3、条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件7. 在平面直角坐标系xOy中，点A(1，0)，B(9，6)，动点C在线段OB上，BDy轴，CEy轴，CFBD，垂足分别是D，E，F，OF与CE相交于点P.已知点Q在点P的轨迹上，且OAQ120，则AQ()A. 4 B. 2 C. D. 8. 已知f(x)是定义域为R的偶函数，f(5.5)2，g(x)(x1)f(x).若g(x1)是偶函数，则g(0.5)()A. 3 B. 2 C. 2 D. 3二、 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得
4、0分9. 已知一组数据x1，x2，xn的平均数为x0，若在这组数据中添加一个数据x0，得到一组新数据x0，x1，x2，xn，则()A. 这两组数据的平均数相同 B. 这两组数据的中位数相同C. 这两组数据的标准差相同 D. 这两组数据的极差相同10. 若ab0c，则()A. B. C. acbc D. ac211. 在正六棱锥PABCDEF中，已知底面边长为1，侧棱长为2，则下列说法正确的是()A. ABPDB. 共有4条棱所在的直线与AB是异面直线C. 该正六棱锥的内切球的半径为D. 该正六棱锥的外接球的表面积为12. 已知直线ya与曲线y相交于A，B两点，与曲线y相交于B，C两点，若点A，
5、B，C的横坐标分别为x1，x2，x3，则()A. x2aex2 B. x2ln x1 C. x3ex2 D. x1x3x三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 若tan 3sin 2，为锐角，则cos 2_14. 设函数f(x)若f(f(a)4，则a_15. 已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别是F1，F2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)是双曲线右支上的两点，x1y1x2y23.记PQF1，PQF2的周长分别为C1，C2，若C1C28，则双曲线的右顶点到直线PQ的距离为_16. 某同学的通用技术作品如图所示，该作品由两个相同的正四棱柱制作而成已知正四棱柱的底面边长为3
6、 cm，则这两个正四棱柱的公共部分构成的多面体的面数为_，体积为_cm3.(第一空2分，第二空3分)四、 解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. (本小题满分10分)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin A2sin B.(1) 若b2，c2，求角C的大小；(2) 若点D在边AB上，且ADc，求证：CD平分ACB.18.(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，所有棱长均为2，A1AC60，A1B.(1) 求证：平面A1ACC1平面ABC；(2) 求二面角BA1B1C1的正弦值19. (本小题满分12分)已知数列an的前n项
7、和为Sn，anSn.(1) 从下面两个结论中选择一个进行证明，并求数列an的通项公式； 数列2nan是等差数列； 数列是等比数列；(注：如果选择多个方案进行解答，按第一个方案解答计分)(2) 记bn，求数列bn的前n项和Tn.20.(本小题满分12分)某地举行象棋比赛，淘汰赛阶段的比赛规则是：两人一组，先胜一局者进入复赛，败者淘汰比赛双方首先进行一局慢棋比赛，若和棋，则加赛快棋；若连续两局快棋都是和棋，则再加赛一局超快棋，超快棋只有胜与负两种结果在甲与乙的比赛中，甲慢棋比赛胜与和的概率分别为，快棋比赛胜与和的概率均为，超快棋比赛胜的概率为，且各局比赛相互独立(1) 求甲恰好经过三局进入复赛的概
8、率；(2) 记淘汰赛阶段甲与乙比赛的局数为X，求X的概率分布列和数学期望21. (本小题满分12分)已知曲线C由C1：1(ab0，x0)和C2：x2y2b2(x0)两部分组成，C1所在椭圆的离心率为，上、下顶点分别为B1，B2，右焦点为F，C2与x轴相交于点D，四边形B1FB2D的面积为1.(1) 求a，b的值；(2) 若直线l与C1相交于A，B两点，AB2，点P在C2上，求PAB面积的最大值22.(本小题满分12分)已知函数f(x)|ex|a ln x.(1) 当a1时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2) 若f(x)a，求实数a的取值范围2022届高三年级模拟试卷(南通等
9、七市联考)数学参考答案及评分标准1. C2. A3. B4. B5. B6. C7. A8. D9. AD10. ABD11. BCD12. ACD13. 14. ln 215. 16. 81817. (1) 解：在ABC中，由正弦定理，得，因为sin A2sin B，所以a2b.(2分)又b2，所以a4.在ABC中，由余弦定理，得cos C.(4分)因为C(0，)，所以C.(5分)(2) 证明：(证法1)在ACD中，由正弦定理，得，即.在BCD中，同理可得.(7分)因为ADCBDC，所以sin ADCsin BDC.又a2b，由，得sin ACDsin BCD.(9分)因为0ACDBCD，所
10、以ACDBCD，即CD平分ACB.(10分)(证法2)设ACD，BCD的面积分别为S1，S2，因为ADc，所以S22S1.(7分)又S1bCDsin ACD，S2aCDsin BCD，故aCDsin BCD2bCDsin ACD，所以sin BCDsin ACD.(9分)因为0BCDACD，所以BCDACD，即CD平分ACB.(10分)18. (1) 证明：取AC的中点O，连接OA1，OB，A1C.因为AA1AC2，A1AC60，所以A1AC为正三角形，所以A1OAC，且A1O.(2分)在正三角形ABC中，同理可得，BOAC，且BO.所以A1OB为二面角A1ACB的平面角(4分)又因为A1B，
11、所以A1O2OB2A1B2，所以A1OB90，所以平面A1ACC1平面ABC.(6分)(2) 解：由(1)知，OA1OB，OA1OC，OCOB.以OB，OC，OA1为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则O(0，0，0)，B(，0，0)，A1(0，0，)，A(0，1，0).在三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1(，1，0)，A1B(，0，).设平面BA1B1的法向量m(x，y，z)，则令x1，得y，z1，所以平面BA1B1的一个法向量m(1，1).(8分)又平面A1B1C1的一个法向量n(0，0，1)，(9分)且cos m，n.(10分)设二面角BA1B1C1的大小为，根据图形可知
12、为钝角，所以sin ，所以二面角BA1B1C1的正弦值为.(12分)19解：(1) 若选：因为anSn，所以an1Sn1，所以(an1Sn1)(anSn)()，即2an1an，(2分)所以2n1an12nan1.又当n1时，a1S1，得a1，2a11，所以数列2nan是以1为首项，1为公差的等差数列(4分)所以2nan1(n1)1n2，所以an.(6分)若选：因为anSn，所以an1Sn1，所以(an1Sn1)(anSn)()，即2an1an，(2分)所以an1an，所以an1(an).又当n1时，a1S1，得a1，所以a11，所以.所以数列是以1为首项，为公比的等比数列(4分)所以an(1)
13、()n1，所以an.(6分)(2) (解法1)由(1)知Snan.(7分)因为bn.(10分)所以数列bn的前n项和Tnb1b2bn()()()2.(12分)(解法2)由(1)知Snan，(7分)所以bn.(10分)所以数列bn的前n项和Tnb1b2bn(2)()()2.(12分)20. 解：(1) 记“甲恰好经过三局进入复赛”为事件A，则在甲与乙的比赛中，第一、二局为和棋，第三局甲胜，所以P(A).(3分)答：甲恰好经过三局进入复赛的概率为.(4分)(2) 随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4.(6分)则P(X1)1，P(X2)(1)，P(X3)(1)，P(X4).(10分)所以X的概率
14、分布列为X1234P所以E(X)1234.(12分)21. 解：(1) 如图，因为C2：x2y2b2(x0)与x轴相交于点D，所以D(b，0).设C1所在椭圆的右焦点为F(c，0)，所以c.因为C1所在椭圆的离心率e，所以.所以a2b，cb.(1分)所以B1B22b，FDbc.所以四边形B1FB2D的面积SB1B2FD2b(bc).(2分)因为四边形B1FB2D的面积为1，所以b2bc1，即(1)b21，解得b1，所以a2，b1.(4分)(2) 由(1)得曲线C1：y21(x0).当直线l斜率不存在时，不妨设A(0，1)，B(0，1)，此时PAB的面积S1，当且仅当P(1，0)时等号成立(5分
15、)当直线l斜率存在时，由C1的对称性，不妨设l的方程为ykxm(k0)，由消去y，得(4k21)x28kmx4(m21)0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x10，x20，所以(6分)所以m1.所以AB|x1x2|.(7分)又AB2，所以2，整理，得m2.(8分)因为m1，所以k2，m.作斜率为k的直线l与半圆C2相切，切点为P，此时PAB的面积最大，设直线l的方程为ykxn(n0)，因为1，所以n.(9分)因为直线l与直线AB距离d1，设t，则d1112.(11分)所以PAB面积的最大值为ABdmax2，当且仅当t时等号成立，此时直线AB的方程为yx，点P(，).综上，PAB的面积的最
16、大值为2.(12分)22. 解：(1) 函数f(x)的定义域为(0，)，当a1时，f(x)exln x，f(x)ex.(2分)所以f(1)e1，f(1)e.所以所求的切线方程为y(e1)e(x1)，即exy10.(4分)(2) 当a0时，f(x)exa ln xexa(ln x).设h(x)ln x，则h(x).令h(x)0，得0x1，所以h(x)在(0，1)上是减函数；令h(x)0，得x1，所以h(x)在(1，)上是增函数，所以h(x)minh(1)1，h(x)1.因为ex0，a0，所以f(x)exa(ln x)0，所以f(x)a，所以a0符合题意(7分)当a0时，函数f(x)|ex|a l
17、n x|a ln x.设g(x)xexa(x0)，则g(x)(x1)ex0，所以g(x)在0，)上是增函数因为g(0)a0，g(a)a(ea1)0，且函数g(x)在0，)上的图象是不间断的，所以存在x0(0，a)，使得g(x0)x0ex0a0，所以ax0ex0，所以f(x)(9分) 当0xx0时，f(x)exa ln x，所以f(x)ex0，所以f(x)在(0，x0上是减函数 当xx0时，ex0，所以f(x)ex(ex)0，所以f(x)在(x0，)上是增函数由，得f(x)minf(x0)a ln x0，又f(x)a，所以a ln x0a，解得x0，所以0ax0ex0ee1.综上，实数a的取值范围是(，e1).(12分)