1、北京市西城区2006年第一次模拟考试 高三数学试卷(理科)YCY本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。第一卷（选择题，共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1设全集U=Z，A=1，2，3，B=2，3，4，5，则B（ UA）等于（ ）A0，4，5B0，1C4，5D2，32已知a=（3，4），b=（8，6），则向量a与b（ ）A互相平行B互相垂直C夹角为30D夹角为603复数在复平面中所对应的点到原点的距离为（ ）ABC1D4已知函数，则其最小正周期和图象的一条对称轴方程分别为（ ）ABCD
2、5设正三棱锥VABC的底边长为，高为2，则侧棱与底面所成角的大小为（ ）ABCD6下列判断正确的是（ ）A“正四棱锥的底面是正方形”的逆命题为真命题B“”的充要条件是“”C若“p或q”是真命题，则p，q中至少有一个真命题D不等式的解集为7已知A（7，1），B（1，4），直线与线段AB交于点C，且，则a等于（ ）A2BC1D 8下列关于函数的判断正确的是（ ）.是极小值，是极大值.没有最小值，也没有最大值.有最大值，没有最小值.ABCD二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上。9等差数列等于 .10若球的表面积为，则与球心距离为的平面截球所得的圆面面积为 .11在3
3、名女生和2名男生中安排2人参加一项交流活动，其中至少有一名男生参加的概率为 .12的展开式中第二项与第三项的系数之和等于27，则n等于 ，系数最大的项是第 项.13已知双曲线以C的右焦点为圆心且与其渐近线相切的圆方程为 ，若动点A，B分别在双曲线C的两条渐近线上，且|AB|=2，则线段AB中点的轨迹方程为 .14对于一切实数x，令x为不大于x的最大整数，则函数称为高斯函数或取整函数.计算 ；若N*，为数列的前n项和，则S3n= .三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15（本小题满分13分）已知 （I）求的值； （II）求的值.16（本小题满分13分）袋
4、中装有大小相同的3个红球和2个白球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个白球得1分。现从袋中每次取出一个球，记住得分后放回再次取出一个球. （I）求连续取3次球，恰得3分的概率； （II）求连续取2次球的得分的分布列及期望.17（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90，AC=BC=CC1=2. （I）证明：AB1BC1； （II）求点B到平面AB1C1的距离. （III）求二面角C1AB1A1的大小18（本小题满分13分）椭圆的焦点在x轴上，其右顶点关于直线的对称点在椭圆的左准线上. （I）求椭圆的方程； （II）过椭圆左焦点F的直线l交椭圆于A、B两点
5、，交椭圆左准线于点C. 设O为坐标原点，且求OAB的面积.19（本小题满分14分）已知数列. （I）求证：为等比数列； （II）记N*），Tn为数列的前n项和. （i）当a=2时，求； （ii）当时，是否存在正整数m，使得对于任意正整数n都有？ 如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理由.20（本小题满分13分）设M是由满足下列条件的函数构成的集合：“方程有实数根；函数的导数满足.” （I）判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由； （II）集合M中的元素具有下面的性质：若的定义域为D，则对于任意m，nD，都存在m，n，使得等式成立”，试用这一性质证明：方程只有一个实数根； （III）设是方
6、程的实数根，求证：对于定义域中任意的.西城区数学（理）参考答案及评分标准一、选择题1.C 2.B 3.B 4.D 5.A 6.C 7.A 8.D 二、填空题（一题两空的题目，第一个空2分，第二个空3分）93 10 110.7 129；5 13 141；三、解答题（限于篇幅，每题只给出一种答案，其他答案仿此给分）15解：（1）因为，所以，2分所以， 5分（2）9分 11分 13分16解法一：（1）设“3次均取得白球得3分”的事伯为A， 2分 则，4分（2）从袋中连续取2个球的情况为：2次均为白球；1次白球，1次红球；2次均为红球三种情况，所以，的可能取值为2、3、4.而每次取得红球的概率为，每次
7、取得白球的概率为，每次取球的情况是彼此独立的.所以， ； 10分234P11分所以，13分17解法一：（1）在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面ABC，所以CC1AC， 因为BC=CC1，所以BCC1B1为正方形.又，所以ACBC，所以AC平面BCC1B1，2分连结B1C，则B1C为AB1在平面BCC1B1上的射影，因为B1CBC1，所以AB1BC1.4分 （2）因为BC/B1C1，BC面AB1C1，所以BC/面AB1C1，所以点B到平面AB1C1的距离等于点C到平面AB1C1的距离. 6分连结A1C交AC1于H，则CHAC1，由于B1C1A1C1，B1C1CC1，所以B1C1平面ACC
8、1A1，B1C1CH，所以CH平面AB1C1，所以CH的长度为点B到平面AB1C1的距离，8分（3）取A1B1中点D，连C1D. 因为A1B1C1是等腰三角形，所以C1DA1B1，又BB1平面A1B1C1，所以BB1C1D，所以C1D平面ABB1A1，10分作DEAB1于E，连C1E，则DE为C1E在平面ABB1A1上的射影，所以，C1EAB1，C1ED为二面角C1AB1A1的平面角. 12分由已知，所以即二面角C1AB1A1的大小为6014分解法二：（1）如图建立直角坐标系，其中C为坐标原点.依题意A（2，0，0），B（0，2，0），B1（0，2，2），C1（0，0，2），2分因为，所以AB
9、1BC1. 4分（2）设是平面AB1C1的法向量，由得所以令，则，6分因为，所以，B到平面AB1C1的距离为.8分（3）设是平面A1AB1的法向量.由 令=1，则10分因为，13分所以，二面角C1AB1A1的大小为60.14分18解：（1）椭圆的右顶点为（2，0），设（2，0）关于直线的对称点为（，则3分 解得则，所求椭圆方程为 （2）设A由所以 ，5分因为即，所以6分由得代入得，整理得9分所以 所以11分由于对称性，只需求时，OAB的面积.此时，所以13分19证明：（1）当时，1分整理得，所以是公比为a的等比数列，又所以3分（2）因为 （i）当时，4分 5分两式相减，整理得7分所以，9分 （ii）因为 所以，当n为偶数时，；当n为奇数时， 所以，如果存在满足条件的正整数m，则m一定是偶数.11分当时，所以 又，所以，当时，即，当时，即，即存在正整数m=8，使得对于任意正整数n都有14分20解：（1）因为，2分 所以满足条件3分又因为当时，所以方程有实数根0.所以函数是集合M中的元素.4分 （2）假设方程存在两个实数根），则，5分 不妨设，根据题意存在数使得等式成立，7分因为，所以，与已知矛盾，所以方程只有一个实数根；9分（3）不妨设，因为所以为增函数，所以，又因为，所以函数为减函数，10分所以，11分所以，即12分所以13分北京西城区高三数学（理）第10页（共4页）