1、北京市石景山区2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题（含解析）一、单选题（共10题；共40分）1.已知集合 ， ，则 （ ） A.B.C.D.2.下列函数中，在区间 上为增函数的是（ ） A.B.C.D.3.设 是等比数列，下列说法一定正确的是（ ） A. 成等比数列B. 成等比数列C. 成等比数列D. 成等比数列4.袋中有10个外形相同的球，其中5个白球，3个黑球，2个红球，从中任意取出一球，已知它不是白球，求它是黑球的概率（ ） A.B.C.D.5.已知 ， ， ，则a ， b ， c的大小关系为（ ）A.B.C.D.6.若a，b，c，dR，则“a+d=b+c”是“a，b，c，d
2、依次成等差数列”的（ ） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.设函数 ，则（ ） A. 时 取到极大值B. 时 取到极小值C. 时 取到极大值D. 时 取到极小值8.某人射击一次击中的概率是0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为（ ） A.B.C.D.9.已知函数 有三个零点，则实数 的取值范围是（ ） A.B.C.D.10.在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测。 甲：我的成绩比乙高。乙：丙的成绩比我和甲的都高。丙：我的成绩比乙高。成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（ ）A.甲
3、、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙二、填空题（共5题；共20分）11.函数 的导函数 _. 12.某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；如果失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果：投资成功投资失败192例8例则该公司一年后估计可获收益的数学期望是_元13.已知 在定义域上单调递减，则实数a的取值范围是_. 14.若数列 满足： ， ，则 _. 15.已知集合 .给定一个函数 ，定义集合 ，若 对任意的 成立，则称该函数具有性质“ ”.现给出下列函数： ； ； ，其中具有性质“ ”的函数的序号是_（写出所有正确答案
4、的序号） 三、解答题（共5题；共40分）16.已知 是各项均为正数的等比数列， ， 。 （1）求 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前n项和。 17.为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛. （1）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件 发生的概率； （2）设 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量 的分布列. 18.已知函数 . （1）讨论 的单调性； （2）当 时，求 在区间 上的最大值及最小值.
5、 19.为了提高学生学习数学的兴趣，某校决定在每周的同一时间开设数学史、生活中的数学、数学与哲学、数学建模四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学每人均在四门校本课程中随机选一门进行学习，假设三人选择课程时互不影响，且每人选择每一课程都是等可能的. （1）求甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率； （2）设 为甲、乙、丙三人中选修数学史的人数，求 的分布列和数学期望 . 20.已知函数 ， . （1）求 在点 处的切线方程； （2）若不等式 恒成立，求 的取值范围. 答案解析部分一、单选题（共10题；共40分）1.已知集合 ， ，则 （ ） A.B.C.D.【答案】 B 【考点】并集及其运算 【解
6、析】【解答】 ， .故选:B.【分析】化简集合 ，按照并集定义，即可求解.2.下列函数中，在区间 上为增函数的是（ ） A.B.C.D.【答案】 A 【考点】函数单调性的判断与证明 【解析】【解答】对于A： 的定义域为 ， 是由 和 复合而成， 和 都是增函数，所以 在 上为增函数， A符合题意； 对于B： 对称轴为 ，开口向上，所以 在 单调递减，在 单调递增，B不正确，对于C： 在区间 上为减函数，C不正确；对于D： 在区间 上为减函数，D不正确；故答案为：A. 【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性。即可得出答案。3.设 是等比数列，下列说法一定正确的是（ ） A. 成等比数列B.
7、 成等比数列C. 成等比数列D. 成等比数列【答案】 D 【考点】等比数列 【解析】【解答】 项中 ，故 项说法错误； 项中 ，故 项说法错误； 项中 ，故 项说法错误；故 项中 ，故 项说法正确， 故答案为：D. 【分析】根据题意，由等比数列的性质，逐项进行分析，即可得出答案。4.袋中有10个外形相同的球，其中5个白球，3个黑球，2个红球，从中任意取出一球，已知它不是白球，求它是黑球的概率（ ） A.B.C.D.【答案】 C 【考点】等可能事件的概率 【解析】【解答】由题意知本题是一个等可能事件的概率， 试验发生包含的事件是从盒子中取出一个不是白球的小球，共有5种结果，满足条件的事件是取出的
8、球是一个黑球，共有3种结果，根据等可能事件的概率得到P= 故答案为：C 【分析】根据题意由等可能事件的定义结合概率公式即可求出答案。5.已知 ， ， ，则a ， b ， c的大小关系为（ ）A.B.C.D.【答案】 D 【考点】对数值大小的比较 【解析】【解答】解： 则a ， b ， c的大小关系为：cab故答案为：D【分析】先判断出b比1小，再将比1都大的a,c化为同底，由对函数的单调性，可比较a,c的大小.6.若a，b，c，dR，则“a+d=b+c”是“a，b，c，d依次成等差数列”的（ ） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】 B 【考点】必要
9、条件、充分条件与充要条件的判断 【解析】【解答】解：若a，b，c，d依次成等差数列， 则a+d=b+c，即必要性成立，若a=2，d=2，b=1，c=3，满足+d=b+c，但a，b，c，d依次成等差数列错误，即充分性不成立，即“a+d=b+c”是“a，b，c，d依次成等差数列”的必要不充分条件，故选：B【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合等差数列的性质进行判断即可7.设函数 ，则（ ） A. 时 取到极大值B. 时 取到极小值C. 时 取到极大值D. 时 取到极小值【答案】 D 【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值 【解析】【解答】解： ， 所以当 时， ；当 时， ，故
10、函数 在 上递减，在 递增，所以 时 取到极小值.故答案为：D. 【分析】 求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极小值点即可.8.某人射击一次击中的概率是0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为（ ） A.B.C.D.【答案】 A 【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 【解析】【解答】由题意可得：此人至少有两次击中目标的概率为： ， 故答案为：A. 【分析】 由题意知本题符合独立重复试验的条件,是一个独立重复试验，经过3次射击，至少有2次击中目标包含两次击中目标和三次击中目标，代入公式得到结果.9.已知函数 有三个零点，则实数 的取值范围
11、是（ ） A.B.C.D.【答案】 D 【考点】函数的图象，函数的零点 【解析】【解答】显然 不满足三个零点，所以 ， ，当 时， （ ）两图像必有一交点，所以必有一零点在 当x0时， 所以f(x)在 单调递减，在 上单调递增 上要有两个零点，只需 ，解得 ， 故答案为：D. 【分析】根据零点判定定理，再观察两图像交点个数，从而可求得答案。10.在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测。 甲：我的成绩比乙高。乙：丙的成绩比我和甲的都高。丙：我的成绩比乙高。成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（ ）A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、
12、甲D.甲、丙、乙【答案】 A 【考点】进行简单的演绎推理 【解析】【解答】解:由题意，可把三人的预测简写如下: 甲：甲乙. 乙：丙乙且丙甲. 丙；丙乙. 只有一个人预测正确, 分析三人的预测,可知:乙、丙的预测不正确. 如果乙预测正确,则丙预测正确，不符合题意。 如果丙预测正确,假设甲、乙预测不正确， 则有丙乙，乙甲, 乙预测不正确,而丙乙正确, 只有丙甲不正确， 甲丙，这与丙乙，乙甲矛盾.不符合题意. .只有甲预测正确,乙、丙预测不正确, 甲乙，乙丙. 故答案为：A 【分析】本题可从三人预测中互相关联的乙、丙两人的预测入手,因为只有一个人预测正确 ,而乙对则丙必对,丙对乙很有可能对,假设丙对
13、乙错则会引起矛盾故只有-种情况就是甲预测正确乙、丙错误,从而得出结果.二、填空题（共5题；共20分）11.函数 的导函数 _. 【答案】【考点】导数的运算 【解析】【解答】 ， .故答案为： . 【分析】根据函数的导数运算公式，即可得到答案。12.某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；如果失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果：投资成功投资失败192例8例则该公司一年后估计可获收益的数学期望是_元【答案】 4760 【考点】离散型随机变量的期望与方差 【解析】【解答】解：由题意知本题投资成功的概率是 ，投资失败的概率是 ， 投资
14、成功的收益是5000012%，投资失败的损失是500000.5该公司一年后估计可获收益的期望是5000012% -5000050% =4760元故答案为4760 【分析】 由题意可以做出本题投资成功的概率，投资失败的概率，也可以做出投资成功的收益是 50000X12%，和投资失败的损失是50000X0.5，利用期望公式，得到可获益的期望.13.已知 在定义域上单调递减，则实数a的取值范围是_. 【答案】【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】【解答】由题意知 对于 恒成立， 可得 对于 恒成立，令 ，只需要 即可，因为当 时， 最小为 ，所以 ，所以实数a的取值范围是 ，故答案为： . 【分
15、析】由题意可得 对于 恒成立，即 对于 恒成立，由此可解出实数a的取值范围。14.若数列 满足： ， ，则 _. 【答案】 5 【考点】数列递推式 【解析】【解答】由 得 ， 所以 ， ， ，所以 是以3为周期的周期数列，所以 .故答案为：5 【分析】 由递推公式分别求出数列的前四项，由此推导出an是周期为3的周期数列，由此能求出a2021.15.已知集合 .给定一个函数 ，定义集合 ，若 对任意的 成立，则称该函数具有性质“ ”.现给出下列函数： ； ； ，其中具有性质“ ”的函数的序号是_（写出所有正确答案的序号） 【答案】 【考点】归纳推理 【解析】【解答】对于， ， ， ，依次循环下去
16、，符合 ； 对于， ， ， ， ，根据函数 的单调性得相邻两个集合不会有交集，符合 ；对于， ， ， ， ，不符合 ；所以具有性质“ ”的函数序号是.故答案为： 【分析】分别运用反比例函数，二次函数，余弦函数的单调性和值域，结合新定义，即可得出答案。三、解答题（共5题；共40分）16.已知 是各项均为正数的等比数列， ， 。 （1）求 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前n项和。 【答案】 （1）解：设 的公比为q，由题设得 ，即 .解得 （舍去）或q=4.因此 的通项公式为 .（2）由（1）得 ，因此数列 的前n项和为 .【考点】等比数列的通项公式，等比数列的前n项和 【解析】【分析】（1
17、）利用等比数列的通项公式整理化简原式得出关于q的方程，求出公比的值进而求出等比数列的通项公式即可。（2）由已知求出数列 的通项公式，再利用等差数列的前n项和公式即可求出结果。 17.为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛. （1）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件 发生的概率； （2）设 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量 的分布列. 【答案】（1）解：从这8名运动员中随机选择4人参加比赛，共有
18、种，其中事件所包含的基本事件数为，所以 .（2）解：随机变量的所有可能取值为，所以随机变量的分布列为:：1234【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率，离散型随机变量及其分布列 【解析】【分析】(1)根据题意首先求出总的事件个数再由题意求出基本事件的个数，再把数值代入到概率的个数计算出结果即可。 (2)根据题意即可得出X的取值，再由概率的公式求出对应的X的概率由此得到X的分布列即可。18.已知函数 . （1）讨论 的单调性； （2）当 时，求 在区间 上的最大值及最小值. 【答案】 （1） ， 令 ，得 或 ，若 ，则当 时， ；当 时， .故 在 ， 单调递增，在 单调递减；若 ， 在
19、 单调递增；若 ，则当 时， ；当 时， .故 在 ， 单调递增，在 单调递减.（2）当 时，由（）知， 在 单调递减，在 单调递增， 所以 在 的最小值为 ，最大值为 或 .不妨设最小值为m，最大值为M，则 ， .【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值 【解析】【分析】（1）求导， 令 ， 得或 ， 分 ， ， 讨论函数的单调性； （2） 当时，由（）知，在单调递减，在单调递增，求得在的最小值为，最大值为或 ， 得到 在区间上的最大值及最小值.19.为了提高学生学习数学的兴趣，某校决定在每周的同一时间开设数学史、生活中的数学、数学与哲学、数学建模四门校本选修课程，甲、
20、乙、丙三位同学每人均在四门校本课程中随机选一门进行学习，假设三人选择课程时互不影响，且每人选择每一课程都是等可能的. （1）求甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率； （2）设 为甲、乙、丙三人中选修数学史的人数，求 的分布列和数学期望 . 【答案】（1）甲、乙、丙三人从四门课程中各任选一门，共有种不同的选法，记“甲、乙、丙三人选择的课程互不相同”为事件M，事件M共包含个基本事件，则，所以甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率为；（2）方法一：X可能的取值为0，1，2，3， .所以X的分布列为：X0123P所以X的数学期望方法二：甲、乙、丙三人从四门课程中任选一门，可以看成三次独立重复试验，X
21、为甲、乙、丙三人中选修数学史的人数，则，所以，1，2，3，所以X的分布列为：X0123P所以X的数学期望 .【考点】古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差 【解析】【分析】（1）根据分步计数原理总事件数是43,满足条件的事件数是A43,利用古典概率计算公式即可得出； （2）设X为甲、乙、丙三人中选修数学史的人数，则X=0，1,2，3，分别求出对应的概率，即可得出 X的数学期望 。20.已知函数 ， . （1）求 在点 处的切线方程； （2）若不等式 恒成立，求 的取值范围. 【答案】 （1）函数 的定义域为 ， ， ， ，函数 在点 处的切线方程为 ，即 （2）由题意可知： ，设 ，即： ， ， ， ， 单调递增， ， ， 单调递减，不等式 恒成立，且 ， ， 即可，故 【考点】函数恒成立问题，利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】【分析】 (1)先对函数求导，然后结合导数的几何意义求出切线斜率，进而可求切线方程； (2)构造函数 ， 然后求导，结合导数可研究其单调性，由不等式的恒成立转化为求解函数的最值，可求 的取值范围.