1、32函数的基本性质32.2奇偶性课程目标 1.了解函数奇偶性的含义，了解奇函数、偶函数的图象的对称性；2.会运用定义判断函数的奇偶性 知识点一奇函数和偶函数的概念一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果xI，都有xI，且_f(x)f(x)_，那么函数f(x)就叫做偶函数；如果xI，都有xI，且_f(x)f(x)_，那么函数f(x)就叫做奇函数如果函数f(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数f(x)具有_奇偶性_研读由奇函数和偶函数的定义可知，奇函数或偶函数的定义域关于原点对称 判断正误(请在括号中打“”或“”).(1)函数f(x)的定义域是R，且f(1)f(1)，f(2)f(2)，则f(x)是偶
2、函数()(2)函数yx2(x2，2)是偶函数()(3)函数f(x)x是奇函数()(4)函数f(x)对定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)0，则f(x)是奇函数()【解析】 (1)不满足偶函数的定义(2)定义域不关于原点对称(3)定义域为(，0)(0，)，且满足f(x)f(x)，所以f(x)是奇函数(4)定义域不一定关于原点对称 知识点二奇函数、偶函数的图象与性质1(1)奇函数的图象关于_原点_对称反过来，若一个函数的图象关于_原点_对称，那么这个函数是_奇函数_(2)偶函数的图象关于_y轴_对称反过来，若一个函数的图象关于_y轴_对称，那么这个函数是偶函数2重要性质(1)奇函数在区间a，b
3、和b，a(ba0)上有相同的单调性(2)偶函数在区间a，b和b，a(ba0)上有相反的单调性 判断正误(请在括号中打“”或“”).(1)若奇函数f(x)在x0处有意义，则f(0)等于0.()(2)函数f(x)0(x1，1)既是奇函数又是偶函数()(3)若偶函数f(x)在0，4上单调递增，则在1，0上单调递减()(4)若奇函数f(x)在(0，)上单调递减，则在(，0)上单调递增()【解析】 (1)f(0)f(0)，2f(0)0，所以f(0)0.(2)f(x)0(x1，1)既满足f(x)f(x)，又满足f(x)f(x)，所以f(x)既是奇函数又是偶函数(3)偶函数f(x)在0，4上单调递增，所以在
4、4，0上单调递减，因为1，04，0，所以f(x)在1，0上单调递减(4)奇函数f(x)在(0，)上单调递减，则在(，0)上也单调递减 判断下列函数的奇偶性(1)f(x)；(2)f(x)|x1|x1|.解：(1)依题意得解得1x1且x0，所以函数的定义域为1，0)(0，1，所以解析式化简为f(x)，满足f(x)f(x)，所以f(x)是奇函数(2)因为xR，且f(x)|x1|x1|x1|x1|f(x)，故f(x)为奇函数 活学活用判断下列各函数的奇偶性(1)f(x)(x2)；(2)f(x)解：(1)由0，得定义域为2，2)，不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数(2)函数的定义域为Rx1，所以
5、f(x)(x)2x2f(x)；x1时，f(x)x2，xf(a2a1)，求实数a的取值范围解：由题意知，f(x)在(0，)上单调递增又a22a3(a1)220，a2a10，且f(a22a3)f(a2a1)，所以a22a3a2a1，解得a.综上，实数a的取值范围是.规律方法利用函数的奇偶性和单调性解不等式要注意的两点：1奇函数在定义域内的关于y轴对称的两个区间上，单调性相同，偶函数在定义域内的关于y轴对称的两个区间上，单调性相反2确定单调区间，依据题设条件将不等式转化为具体不等式，在这个区间上解不等式 活学活用设定义在2，2上的偶函数f(x)在区间0，2上单调递减，若f(1m)f(m)，求实数m的
6、取值范围解：因为f(x)是偶函数，所以f(x)f(x)f(|x|).所以不等式f(1m)f(m)等价于f(|1m|)f(|m|).又f(x)在区间0，2上单调递减，所以解得1m.即m的取值范围是.【迁移探究】若奇函数f(x)的定义域为5，5，其y轴右侧图象如图所示，则满足f(x)0的x的集合是_(2，0)(2，5)_【解析】 由奇函数f(x)的图象可知，当x(2，5)时，f(x)0.因为图象关于原点对称，所以当x(5，2)时，f(x)0；当x(2，0)时，f(x)0时，f(x)x32x22，求f(x)的解析式解：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以当x0时，f(0)f(0)f(0)0.当x0
7、，从而有f(x)f(x)x32x22，所以f(x)1设f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2x2x，则f(1)(A)A3 B1C1 D3【解析】 f(1)f(1)2(1)2(1)3.2下列函数中，既是偶函数，又在(0，)上单调递增的函数是(B)Ayx3 By|x|1Cyx21 Dy【解析】 对于函数y|x|1，f(x)|x|1|x|1f(x)，所以y|x|1是偶函数，当x0时，yx1，所以在(0，)上单调递增函数yx3不是偶函数；yx21在(0，)上单调递减；y不是偶函数故选B.3函数y(B)A是奇函数B是偶函数C是既是奇函数又是偶函数D是非奇非偶函数【解析】 由函数可知，定义域为
8、1，1，函数解析式满足f(x)f(x)，所以该函数是偶函数故选B.4设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是(A)Af(x)|g(x)|是偶函数Bf(x)|g(x)|是奇函数C|f(x)|g(x)是偶函数D|f(x)|g(x)是奇函数【解析】 由f(x)是偶函数，可得f(x)f(x)，由g(x)是奇函数可得g(x)g(x)，故|g(x)|为偶函数，所以f(x)|g(x)|为偶函数故选A.5已知yf(x)是R上的奇函数，且当x0时，函数f(x)的解析式为_f(x)x31_【解析】 因为yf(x)是R上的奇函数，所以f(x)f(x)，f(0)0.当x0时，x0，所以f(x)f(x)x31.