1、北京市西城区2005年抽样测试高三数学试卷（理科）参考公式： 如果事件A、B互斥，那么P (A + B) = P (A) + P (B) 如果事件A、B相互独立，那么P (AB) = P (A)P (B)如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k) =一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1已知集合A = xR | x 0且a1)的图象必过定点（ 1，1）；命题q：如果函数y = f (x 3)的图象关于原点对称，那么函数y = f (x)的图象关于（3，0）点对称 则 （ ） （A）“p且q
2、”为真（B）“p或q”为假 （C）p真q假（D）p假q真7已知向量a和b的夹角为60，| a | = 3，| b | = 4，则(2a b)a等于 （ ） （A）15（B）12（C）6（D）38定义在R上的奇函数f (x)在(0，+)上是增函数，又f ( 3) = 0，则不等于xf (x) 0的解集为 （ ） （A）（ 3，0）（0，3）（B）（， 3）（3，+）（C）（ 3，0）（3，+）（D）（， 3）（0，3）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在题中横线上）9= _10若()9展开式的第7项为，则实数x等于_11双曲线与椭圆9x2 + 25y2 = 225有相同的焦
3、点，并且一条准线方程为x = 2，则双曲线的焦点坐标为_；渐近线方程是_12不等式组表示的区域为D，z = x + y是定义在D上的目标函数，则区域D的面积为_；z的最大值为_13已知函数f (x) =，则f (lg30 lg3) = _；不等式xf (x 1) 10的解集是_14如果函数y = f (x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断： 函数y = f (x)在区间（ 3，）内单调递增；函数y = f (x)在区间（，3）内单调递减；函数y = f (x)在区间（4，5）内单调递增；当x = 2时，函数y = f (x)有极小值；当x =时，函数y = f (x)有极大值；则上述判断中
4、正确的是_三、解答题（本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）15（本小题满分12分） 已知 （）求cos的值； （）求满足sin( x ) sin (+ x) + 2cos=的锐角x16（本小题满分13分） 在同一时间段里，有甲、乙两个天气预报站相互独立的对本地天气进行预测，根据以往的统计规律，甲预报站对天气预测的准确率为0.8，乙预报站对天气预测的准确率为0.75，求在同一时间段内： （）甲、乙两个天气预报站同时预报准确的概率； （）至少有一个预报站预报准确的概率； （）如果甲站独立预报3次，试写出预报准确次数的概率分布及数学期望17（本小题满分14分） 数列an
5、是公差d0的等差数列，其前n项和为Sn，且a10 = 1，a= （）求an的通项公式； （）求； （）将Sn表示成关于an的函数18（本小题满分14分）已知椭圆与直线x + y 1 = 0相交于两点A、B，椭圆的离心率为e（）当椭圆的右准线方程为x = 3，e =时，求AB的长度及AB中点的坐标；（）当e，并且= 0（O为坐标原点）时，求椭圆长轴长的取值范围19（本小题满分14分） 设aR，函数f (x) =（ax2 + a + 1），其中e是自然对数的底数 （）判断f (x)的R上的单调性； （）当 1 a 0时，求f (x)在1，2上的最小值20（本小题满分13分） 已知数列an各项均为正
6、数，并且a1 = a (0 a 1) （）若an + 1 =，0 an 1，求证：0 an + 1 ； （）若an + 1（nN*），求证：an；参考答案一、选择题（1）D （2）C （3）A （4）B （5）B （6）C （7）B （8）A二、填空题（一题两空的题目，第一个空2分，第二个空3分）（9）3（10）（11）（ 4，0），（4，0）；y =x（12）；5（13） 2，x | 5 x 0，即a2 + b2 1（*） 此时x1 + x2 =，x1x2 =，（8分） 由得x1x2 + y1y2 = 0，（10分） 又y1 = 1 x1，y2 = 1 x2，所以，2x1x2 (x1 + x
7、2) + 1 = 0 将代入，得a2 + b2 2a2b2 = 0，由e2 =得b2 = a2 a2e2，代入上式， 整理得2a2 =，（12分） 由已知e2，所以，a2，满足（*）式的条件， 所以2a（14分）（19）解：（）由已知=（4分） 因为，以下讨论函数g (x) = ax2 + 2ax a 1值的情况当a = 0时，g (x) = 1 0时，g (x) = 0的判别式= 4a2 4(a2 + a) = 4a 0， 所以g (x) 0，即，所以f (x)在R上是减函数（7分） 当a 0，即，f (x)在此区间上是增函数 在区间（）上，g (x) 0，即，f (x)在此区间上是增函数（10分） 综上，当a0时，f (x)在R上是减函数； 当a 0时，f (x)在（）上单调递增，在（）上单调递减，在（）上单调递增 （）当 1 a 0时，（12分） 所以，在区间1，2上，函数f (x)单调递减，（13分） 所以，函数f (x)在区间1，2上的最小值为f (2) =（14分）（20）解：（）因为y =， 所以，函数y =是增函数，（2分） 由已知，0 an 1，所以0 an + 1 0（nN*），所以， 所以1（nN*），（6分） 所以1，1，1， 所以n 1， 所以an（8分） （）由已知an，（因为0 a 1）（11分） 所以（13分）