1、第三讲分类与整合思想1 在解答某些数学问题时，有时需要对各种情况进行分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类与整合的思想分类讨论体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法2 分类的原则是：(1)分类的对象确定，标准统一；(2)不重复，不遗漏；(3)分层次，不越级讨论3 中学数学中可能引起分类讨论的因素：(1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等(2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列an的
2、前n项和公式等(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等(5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等总之，分类讨论要明确讨论的原因和对象，确定讨论标准，最后要对讨论进行总结；可以不分类的就不要分类讨论1 (2013安徽)“a0”是“函数f(x)|(ax1)x|在区间(0，)内单调递增”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案C解析当a
3、0时，f(x)|(ax1)x|x|在区间(0，)上单调递增；当a0时，结合函数f(x)|(ax1)x|ax2x|的图象知函数在(0，)上先增后减再增，不符合条件，如图(2)所示所以，要使函数f(x)|(ax1)x|在(0，)上单调递增只需a0.即“a0”是“函数f(x)|(ax1)x|在(0，)上单调递增”的充要条件2 (2011课标全国)已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y2x上，则cos 2等于()A B C. D.答案B解析设P(t,2t)(t0)为角终边上任意一点，则cos .当t0时，cos ；当t0，且a1)的图象可能是()答案D解析当a1时，yax为增函数
4、，且在y轴上的截距为011，排除A，B.当0a1时，yax为减函数，且在y轴上的截距为10，故选D.4 (2013天津)已知函数f(x)x(1a|x|)设关于x的不等式f(xa)f(x)的解集为A.若A，则实数a的取值范围是()A. B.C. D.答案A解析A，f(a)f(0)，a(1a|a|)0，解得1a0，可排除C.ff，aa.1a，2，2，a0，则的最小值为_答案解析当a0时，；当a0时，1.综上所述，的最小值是.题型一由数学概念、运算引起的分类讨论例1函数f(x)若f(1)f(a)2，则a的所有可能值为()A1 B1，C D1，审题破题由于f(x)为分段函数，故求f(a)时要分1a0，
5、a0两种情形讨论答案B解析f(1)e01，即f(1)1.当a0时，f(a)1ea1，a1.当1a0时，f(a)sin(a2)1，a22k(kZ)a22k(kZ)，k只取0，此时a2.1a0，a.反思归纳(1)分段函数在自变量不同取值范围内，对应关系不同，必须进行讨论由数学定义引发的分类讨论一般由概念内涵所决定，解决这类问题要求熟练掌握并理解概念的内涵与外延(2)在数学运算中，有时需对不同的情况作出解释，就需要进行讨论，如解二元不等式涉及到两根的大小等变式训练1(1)已知数列an的前n项和Snpn1(p是常数)，则数列an是()A等差数列B等比数列C等差数列或等比数列D以上都不对答案D解析Snp
6、n1，a1p1，anSnSn1(p1)pn1(n2)，当p1且p0时，an是等比数列；当p1时，an是等差数列；当p0时，a11，an0(n2)，此时an既不是等差数列也不是等比数列(2)若集合Ax|ax2ax10，则实数a的值的集合是()Aa|0a4 Ba|0a4Ca|0a4 Da|0a4答案D解析由题意知a0时，满足条件a0时，由得0|PF2|知，只需分PF2F1和F1PF2分别为直角两种情况即可解若PF2F190，则2|PF2|22，又6，2，解得，.若F1PF290，则222，2(6)220，又|PF1|PF2|，4，2，2.综上知，或2.反思归纳(1)本题中直角顶点的位置不定，影响边
7、长关系，需按直角顶点不同的位置进行讨论(2)涉及几何问题时，由于几何元素的形状、位置变化的不确定性，需要根据图形的特征进行分类讨论变式训练2已知mR，求函数f(x)(43m)x22xm在区间0,1上的最大值解当43m0，即m时，函数y2x，它在0,1上是减函数所以ymaxf(0).当43m0时，即m时，y是二次函数若43m0，即m0，它在0,1上的最大值只能在区间端点取得(由于此处不涉及最小值，故不需讨论区间与对称轴的关系)f(0)m，f(1)22m.当m22m，又m，即m时，ymaxm.当m22m，又m，即m时，ymax22m.若43m时，二次函数y的图象开口向下，又它的对称轴方程x0，故f
8、(x)在(0，)上单调递增当a1时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递减当1a0；当x时，f(x)0.故f(x)在上单调递增，在上单调递减综上，当a0时，f(x)在(0，)上单调递增；当a1时，f(x)在(0，)上单调递减；当1a0)，g(x)x3bx.(1)若曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a24b时，求函数f(x)g(x)的单调区间，并求其在区间(，1上的最大值规范解答解(1)f(x)2ax，g(x)3x2b，因为曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)g(1)，且f(1)g(1)即a1
9、1b，且2a3b.解得a3，b3.4分(2)记h(x)f(x)g(x)当ba2时，h(x)x3ax2a2x1，h(x)3x22axa2.6分令h(x)0，得x1，x2.a0时，h(x)与h(x)的变化情况如下：xh(x)00h(x)所以函数h(x)的单调递增区间为(，)和(，)；单调递减区间为.8分当1，即0a2时，函数h(x)在区间(，1上单调递增，h(x)在区间(，1上的最大值为h(1)aa2.当1，且1，即2a6时，函数h(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，h(x)在区间(，1上的最大值为h1.当6时，函数h(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，又因为hh(1
10、)1aa2(a2)20，所以h(x)在区间(，1上的最大值为h1.12分综上所述：f(x)g(x)的增区间为和；减区间为.当02时，f(x)g(x)在(，1上的最大值为1.14分评分细则(1)求出f(x)，g(x)给1分；(2)没有列表，语言叙述的参照给分；(3)讨论时漏掉端点扣1分阅卷老师提醒(1)本题利用分类与整合思想，在求解时要注意讨论的对象，同时要理顺讨论的目的；(2)分类讨论要保证不重不漏，讨论中要灵活处理临界值1 函数f(x)的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是()A0,1 B(0,4)C4，) D0,4答案D解析因为函数f(x)的定义域为一切实数，所以mx2mx10对一切实数
11、恒成立，当m0时，原不等式即10对一切实数恒成立，当m0时，则需，解得00时，由lg kx2lg(x1)，得lg kx2lg(x1)0，即kx(x1)2在(0，)上仅有一个解，即x2(k2)x10在(0，)上仅有一个解令f(x)x2(k2)x1，则f(0)0，由0，得k0或4.当k0时，方程无意义，舍去，所以k4.当k0时，函数定义域是(1,0)，函数ykx的图象是一条递减且过(1，k)与(0,0)的线段，函数y(x1)2在(1,0)上递增且过(1,0)与(0,1)两点，此时两曲线段恒有一个交点，故k0且b0解析当a0时，需xb恒为非负数，即a0，b0.当a0且b0.专题限时规范训练一、选择题
12、1 若Ax|x2(p2)x10，xR，Bx|x0，且AB，则实数p的取值范围是()Ap4 B4p0Cp0 DR答案A解析当A时，(p2)240，4p4.2 设函数f(x) .若f(a)f(a)，则实数a的取值范围是()A(1,0)(0,1)B(，1)(1，)C(1,0)(1，)D(，1)(0,1)答案C解析若a0，则log2a a，即2log2a0，所以a1；若alog2(a)，即2(a)0，所以0a1，1a1或1a0)的焦点为F，P为其上的一点，O为坐标原点，若OPF为等腰三角形，则这样的点P的个数为()A2 B3 C4 D6答案C解析当|PO|PF|时，点P在线段OF的中垂线上，此时，点P
13、的位置有两个；当|OP|OF|时，点P的位置也有两个；对|FO|FP|的情形，点P不存在事实上，F(p,0)，若设P(x，y)，则|FO|p，|FP|，若p，则有x22pxy20，又y24px，x22px0，解得x0或x2p，当x0时，不构成三角形当x2p时，与点P在抛物线上矛盾所以符合要求的P点一共有4个4 (2012湖北)函数f(x)xcos x2在区间0,4上的零点个数为()A4 B5 C6 D7答案C解析根据x2的范围判断ycos x2在区间0,4上的零点个数当x0时，f(x)0.又因为x0,4，所以0x216.因为516，所以函数ycos x2在x2取，时为0，此时f(x)0，所以f
14、(x)xcos x2在区间0,4上的零点个数为6.5 若不等式(a2)x22(a2)x40对一切xR恒成立，则a的取值范围是()A(，2 B2,2C(2,2 D(，2)答案C解析当a20即a2时，不等式为40恒成立，所以a2；当a20时，则a满足，解得2a2，所以a的范围是a|2a2，故选C.6 正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为()A. B4 C. D4或答案D解析分侧面矩形长、宽分别为6和4或4和6两种情况7 已知双曲线的渐近线方程为yx，则双曲线的离心率为()A. B.C.或 D.或答案D解析当双曲线焦点在x轴上时，e21，e2，e；当双曲线焦点在y轴上时，e21
15、，e2，e.8 函数f(x)的图象如图所示，f(x)为奇函数，其定义域为(，0)(0，)，则不等式xf(x)f(x)0的解集为()A(3,0)(0,3)B(，3)(0,3)C(，3)(3，)D(3,0)(3，)答案A解析由xf(x)f(x)0得，2xf(x)0.当x0，由图象知3x0时，则f(x)0，由图象知0x0，a1)在1,2上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)(14m)在0，)上是增函数，则a_.答案解析讨论字母的取值，从而确定函数的最大值与最小值若a1，有a24，a1m，此时a2，m，此时g(x)为减函数，不合题意；若0a1，有a14，a2m，故a，m，检验知符合题意10已知数列
16、an满足：a1m(m为正整数)，an1若a61，则m所有可能的取值为_答案4,5,32解析根据题意可知，当an为奇数时，an1为偶数，由a61为奇数可以判定a5为偶数，a52a62.又当an1为偶数时，若an1是被3除余1的数，则an为奇数或偶数，否则an仍为偶数a4可能为奇数也可能为偶数，a44，依次有a31，a22，a14，即m4.或者a38，a216，a132或a15.11有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是_答案(0,4)解析根据条件，四根长为2的直铁条与两根长为a的直铁条要组成三棱锥形的铁架，有以下两
17、种情况：底面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，a，a，如图(1)，此时a可以取最大值，可知AD，SD，则有2，即a284()2，即有a2，1a0且a4，即0a0，命题p：函数yax (a1)在R上单调递减，命题q：不等式|x2a|x1的解集为R，若p和q有且只有一个是真命题，则a的取值范围是_答案(1，)解析若p真，则0a1.若q真，因为函数y|x2a|x在R上的最小值为2a，由2a1，得a；若q假，则0a.若p真q假，则01.故a的取值范围是01.三、解答题13已知函数f(x)aln xx(a0)(1)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与直线x2y0垂直，求实数a的值；(2)讨论
18、函数f(x)的单调性解(1)由已知得f(x)的定义域为x|x0，f(x)1(x0)根据题意，得f(1)2，a2a212，即2a2a30.解得a1或a.(2)f(x)1(x0)当a0时，由f(x)0，及x0得x2a；由f(x)0得0x2a.当a0，及x0得xa；由f(x)0得0x0时，函数f(x)在(2a，)上单调递增，在(0,2a)上单调递减；当a0时，函数f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，)上单调递增14已知函数f(x)2asin2x2 asin xcos xab(a0)的定义域是，值域是5,1，求常数a，b的值解f(x)2a(1cos 2x) asin 2xab2a2ab2asin2ab，又0x，2x，sin1.因此，由f(x)的值域为5,1可得或解得或.