1、中档题目强化练立体几何A组专项基础训练(时间：40分钟)一、填空题1.已知直线l1，l2与平面，则下列结论中正确的是_.(填序号)若l1，l2A，则l1，l2为异面直线；若l1l2，l1，则l2；若l1l2，l1，则l2；若l1，l2，则l1l2.答案解析对于，当Al1时，结论不成立；对于，当l2时，结论不成立.2.设、是三个互不重合的平面，m、n是两条不重合的直线，下列命题中正确的是_.(填序号)若，则；若m，n，则mn；若，m，则m；若，m，m，则m.答案解析对于，若，可以平行，也可以相交，错；对于，若m，n，则m，n可以平行，可以相交，也可以异面，错；对于，若，m，则m可以在平面内，错；
2、易知正确.3.设、为平面，l、m、n为直线，则下列是m的一个充分条件为_.(填序号)，l，ml；n，n，m；m，；，m.答案解析如图1知错；如图2知错；如图3在正方体中，两侧面与相交于l，都与底面垂直，内的直线m，但m与不垂直，故错；由n，n，得.又m，则m，故正确.4.如图，在正四棱柱(底面是正方形的直四棱柱)ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB1、BC1的中点，则下列结论不成立的是_.EF与BB1垂直；EF与BD垂直；EF与CD异面；EF与A1C1异面.答案解析连结B1C，AC，则B1C交BC1于F，且F为B1C的中点，又E为AB1的中点，所以EF綊AC，而B1B平面ABCD，所以
3、B1BAC，所以B1BEF，正确；又ACBD，所以EFBD，正确；显然EF与CD异面，正确；由EF綊AC，ACA1C1，得EFA1C1.故不成立的为.5.底面直径和母线长相等的圆柱称为等边圆柱.已知一等边圆柱的底面半径为2，则其体积为_.答案16解析由题意，圆柱的高为4，则V22416.6.三棱锥PABC中，PA底面ABC，PA3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥PABC的体积等于_.答案解析PA底面ABC，PA为三棱锥PABC的高，且PA3.底面ABC为正三角形且边长为2，底面面积为22sin 60，VPABC3.7.已知四棱锥PABCD的底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，点E、
4、F分别是棱PC、PD的中点，则棱AB与PD所在直线垂直；平面PBC与平面ABCD垂直；PCD的面积大于PAB的面积；直线AE与直线BF是异面直线.以上结论正确的是_.(写出所有正确结论的编号)答案解析由条件可得AB平面PAD，ABPD，故正确；若平面PBC平面ABCD，由PBBC，得PB平面ABCD，从而PAPB，这是不可能的，故错；SPCDCDPD，SPABABPA，由ABCD，PDPA知正确；由E、F分别是棱PC、PD的中点，可得EFCD，又ABCD，EFAB，故AE与BF共面，错.8.三棱锥SABC中，SBASCA90，ABC是斜边ABa的等腰直角三角形，则以下结论中：异面直线SB与AC
5、所成的角为90；直线SB平面ABC；平面SBC平面SAC；点C到平面SAB的距离是a.其中正确结论的序号是_.答案解析由题意知AC平面SBC，故ACSB，SB平面ABC，平面SBC平面SAC，正确；取AB的中点E，连结CE，(如图)可证得CE平面SAB，故CE的长度即为C到平面SAB的距离a，正确.二、解答题9.如图，已知在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADDC，ABDC，DCDD12AD2AB2.(1)求证：DB平面B1BCC1；(2)设E是DC上一点，试确定E的位置，使得D1E平面A1BD，并说明理由.(1)证明在RtABD中，ABAD1，BD，又BC，CD2，DBC90，即BDBC
6、.又BDBB1，B1BBCB，BD平面B1BCC1.(2)解DC的中点即为E点，连结D1E，BE，DEAB，DEAB，四边形ABED是平行四边形.AD綊BE.又AD綊A1D1，BE綊A1D1，四边形A1D1EB是平行四边形.D1EA1B.D1E平面A1BD，A1B平面A1BD，D1E平面A1BD.10.在正方体ABCDABCD中，棱AB，BB，BC，CD的中点分别是E，F，G，H，如图所示.(1)求证：AD平面EFG；(2)求证：AC平面EFG；(3)判断点A，D，H，F是否共面？并说明理由.(1)证明连结BC.在正方体ABCDABCD中，ABCD，ABCD，所以四边形ABCD是平行四边形，所
7、以ADBC.因为F，G分别是BB，BC的中点，所以FGBC，所以FGAD.因为EF，AD是异面直线，所以AD平面EFG.因为FG平面EFG，所以AD平面EFG.(2)证明连结BC.在正方体ABCDABCD中，AB平面BCCB，BC平面BCCB，所以ABBC.在正方形BCCB中，BCBC，因为AB平面ABC，BC平面ABC，ABBCB，所以BC平面ABC.因为AC平面ABC，所以BCAC.因为FGBC，所以ACFG，同理可证ACEF.因为EF平面EFG，FG平面EFG，EFFGF，所以AC平面EFG.(3)解点A，D，H，F不共面.理由如下：假设A，D，H，F共面，连结CF，AF，HF.由(1)
8、知，ADBC，因为BC平面BCCB，AD平面BCCB.所以AD平面BCCB.因为CDH，所以平面ADHF平面BCCBCF.因为AD平面ADHF，所以ADCF.所以CFBC，而CF与BC相交，矛盾.所以点A，D，H，F不共面.B组专项能力提升(时间：40分钟)1.已知直线l平面，直线m平面，有下面四个命题：lm；lm；lm；lm.其中正确的命题有_.答案解析中，lm，故正确；中，l与m相交、平行、异面均有可能，故错；中，故正确；中，与也有可能相交，故错误.2.如图所示，是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E、F分别为PA、PD的中点.在此几何体中，给出下面四个结论：直线BE与直线CF异
9、面；直线BE与直线AF异面；直线EF平面PBC；平面BCE平面PAD.其中正确的有_.答案解析对于，因为E、F分别是PA、PD的中点，所以EFAD.又因为ADBC，所以EFBC.所以BE与CF共面.故不正确.对于，因为BE是平面APD的斜线，AF是平面APD内与BE不相交的直线，所以BE与AF不共面.故正确.对于，由，知EFBC，所以EF平面PBC.故正确.对于，条件不足，无法判断两平面垂直.3.有一个内接于球的四棱锥PABCD，若PA底面ABCD，BCD，ABC，BC3，CD4，PA5，则该球的表面积为_.答案50解析由BCD90知BD为底面ABCD外接圆的直径，则2r5.又DAB90PAA
10、B，PAAD，BAAD.从而把PA，AB，AD看作长方体的三条棱，设外接球半径为R，则(2R)252(2r)25252，4R250，S球4R250.4.将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”.给出下列四个命题：垂直于同一平面的两直线平行；垂直于同一平面的两平面平行；平行于同一直线的两直线平行；平行于同一平面的两直线平行.其中是“可换命题”的是_.(填命题的序号)答案解析由线面垂直的性质定理可知是真命题，且垂直于同一直线的两平面平行也是真命题，故是“可换命题”；因为垂直于同一平面的两平面可能平行或相交，所以是假命题，不是“可换命题”；由公
11、理4可知是真命题，且平行于同一平面的两平面平行也是真命题，故是“可换命题”；因为平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，故是假命题，故不是“可换命题”.5.如图，直角梯形ABCD中，ABCD，BCD90，BCCD，ADBD，EC底面ABCD，FD底面ABCD，且有ECFD2.(1)求证：ADBF；(2)若线段EC上一点M在平面BDF上的射影恰好是BF的中点N，试求二面角BMFC的余弦值.(1)证明BCDC，且BCCD，BD2且CBDBDC45.又ABDC，可知DBACDB45.ADBD，ADB是等腰三角形，且DABDBA45.ADB90，即ADDB.FD底面ABCD于D，AD平面ABCD
12、，ADDF.又DFDBD1，AD平面BDF，BF平面DBF，ADBF.(2)解以点C为原点，直线CD、CB、CE方向为x，y，z轴建系.则D(，0,0)，B(0，0)，F(，0,2)，A(2，0)，N恰好为BF的中点，N(，1).设M(0,0，z0)，(，1z0).由解得z01.故M为线段CE的中点.设平面BMF的一个法向量为n1(x1，y1，z1)，且(，2)，(0，1)，由可得取x11，则得n1(1,1，).平面MFC的一个法向量为n2(0,1,0)，cosn1，n2.故所求二面角BMFC的余弦值为.6.(2013辽宁)如图，直三棱柱ABCABC，BAC90，ABAC，AA1，点M，N分别
13、为AB和BC的中点.(1)证明：MN平面AACC；(2)求三棱锥AMNC的体积.(锥体体积公式VSh，其中S为底面面积，h为高)(1)证明方法一连结AB，AC，如图，由已知BAC90，ABAC，三棱柱ABCABC为直三棱柱，所以M为AB的中点.又因为N为BC的中点，所以MNAC.又MN平面AACC，AC平面AACC，所以MN平面AACC.方法二取AB的中点P，连结MP，NP，AB，如图，因为M，N分别为AB与BC的中点，所以MPAA，PNAC.所以MP平面AACC，PN平面AACC.又MPNPP，所以平面MPN平面AACC.而MN平面MPN，所以MN平面AACC.(2)解方法一连结BN，如图所示，由题意知ANBC，平面ABC平面BBCCBC，所以AN平面NBC.又ANBC1，故VAMNCVNAMCVNABCVANBC.方法二VAMNCVANBCVMNBCVANBC.