1、专题三高考中的三角函数的综合问题1.(2013北京改编)“”是“曲线ysin(2x)过坐标原点”的_条件答案充分而不必要解析当时，ysin(2x)sin 2x过原点.当曲线过原点时，k，kZ，不一定有.“”是“曲线ysin(2x)过原点”的充分不必要条件.2.已知向量a(2，sin x)，b(cos2x,2cos x)，则函数f(x)ab的最小正周期是_.答案解析f(x)2cos2x2sin xcos x1cos 2xsin 2x1sin，T.3.若函数f(x)(1tan x)cos x,0x，则f(x)的最大值为_.答案2解析依题意，得f(x)cos xsin x2sin(x)，当0x时，x
2、，f(x)的最大值是2.4.已知向量(2,0)，向量(2,2)，向量(cos ，sin )，则向量与向量的夹角的取值范围是_.答案解析由题意，得：(2cos ，2sin )，所以点A的轨迹是圆(x2)2(y2)22，如图，当A位于使向量与圆相 切时，向量与向量的夹角分别达到最大、最小值.所以向量与向量的夹角的取值范围是，.5.(2012四川改编)如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE1，连结EC、ED，则sinCED_.答案解析方法一应用两角差的正弦公式求解.由题意知，在RtADE中，AED45，在RtBCE中，BE2，BC1，CE，则sinCEB，cosCEB.而CED45CE
3、B，sinCEDsin(45CEB)(cosCEBsinCEB).方法二利用余弦定理及同角三角函数基本关系式求解.由题意得ED，EC.在EDC中，由余弦定理得cosCED，又0CED0).(1)求函数f(x)的值域；(2)若函数yf(x)的图象与直线y1的两个相邻交点间的距离为，求函数yf(x)的单调增区间.思维启迪对三角函数的性质的讨论，首先要化成yAsin(x)k(一角、一次、一函数)的形式；根据(2)中条件可确定.解(1)f(x)sin xcos xsin xcos x(cos x1)2(sin xcos x)12sin(x)1.由1sin(x)1，得32sin(x)11，所以函数f(x
4、)的值域为3,1.(2)由题设条件及三角函数图象和性质可知，yf(x)的周期为，所以，即2.所以f(x)2sin(2x)1，再由2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ).所以函数yf(x)的单调增区间为k，k(kZ).思维升华三角函数的图象和性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为yAsin(x)k的形式，然后将tx视为一个整体，结合ysin t的图象求解.已知函数f(x)sin2x2sin xcos x3cos2x.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)当x，时，求函数f(x)的最大值和最小值.解f(x)sin2x2sin xcos x3cos2x1sin 2x2cos2x2cos 2x
5、sin 2x2cos(2x).(1)函数f(x)的最小正周期T.(2)因为x，所以2x.所以cos(2x)1.所以32cos(2x)2，即3f(x)2.所以函数f(x)的最小值为3，最大值为2.题型二三角函数和解三角形例2(2013重庆)在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2b2abc2.(1)求C；(2)设cos Acos B，求tan 的值.思维启迪(1)利用余弦定理求C；(2)由(1)和cos Acos B可求得AB，代入求tan .解(1)因为a2b2abc2，由余弦定理有cos C.又0C，故C.(2)由题意得.因此(tan sin Acos A)(tan sin
6、Bcos B)，tan2sin Asin Btan (sin Acos Bcos Asin B)cos Acos B，tan2sin Asin Btan sin(AB)cos Acos B.因为C，所以AB，所以sin(AB)，因为cos(AB)cos Acos Bsin Asin B，即sin Asin B，解得sin Asin B.由得tan25tan 40，解得tan 1或tan 4.思维升华三角函数和三角形的结合，一般可以利用正弦定理、余弦定理先确定三角形的边角，再代入到三角函数中，三角函数和差公式的灵活运用是解决此类问题的关键.(2012安徽)设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为
7、a，b，c，且有2sin Bcos Asin Acos Ccos Asin C.(1)求角A的大小；(2)若b2，c1，D为BC的中点，求AD的长.解(1)方法一由题设知，2sin Bcos Asin(AC)sin B.因为sin B0，所以cos A.由于0A，故A.方法二由题设可知，2bac，于是b2c2a2bc，所以cos A.由于0A，故A.(2)方法一因为22(222)(14212cos )，所以|.从而AD.方法二因为a2b2c22bccos A412213，所以a2c2b2，B.因为BD，AB1，所以AD .题型三三角函数与平面向量的综合应用例3已知向量m，n.(1)若mn1，求
8、cos的值；(2)记f(x)mn，在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2ac)cos Bbcos C，求函数f(A)的取值范围.思维启迪(1)由向量数量积的运算转化成三角函数式，化简求值.(2)在ABC中，求出A的范围，再求f(A)的取值范围.解(1)mnsin cos cos2sin sin，mn1，sin.cos12sin2，coscos.(2)(2ac)cos Bbcos C，由正弦定理得(2sin Asin C)cos Bsin Bcos C，2sin Acos Bsin Ccos Bsin Bcos C.2sin Acos Bsin(BC).ABC，sin(BC)
9、sin A0.cos B，0B，B.0A.0，|)在同一个周期内，当x时，y取最大值1，当x时，y取最小值1.(1)求函数的解析式yf(x)；(2)函数ysin x的图象经过怎样的变换可得到yf(x)的图象；(3)若函数f(x)满足方程f(x)a(0a1)，求在0,2内的所有实数根之和.解(1)T2()，3，又sin()1，2k，kZ.又|，得，函数的解析式为f(x)sin(3x).(2)ysin x的图象向右移个单位，得到ysin(x)的图象，再由ysin(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到ysin(3x)的图象.(3)f(x)sin(3x)的最小正周期为，f(x)sin
10、(3x)在0,2内恰有3个周期，sin(3x)a(0a0)的最小正周期为.(1)求的值；(2)讨论f(x)在区间上的单调性.解(1)f(x)4cos xsin2sin xcos x2cos2x(sin 2xcos 2x)2sin.因为f(x)的最小正周期为，且0.从而有，故1.(2)由(1)知，f(x)2sin.若0x，则2x.当2x，即0x时，f(x)单调递增；当2x，即x时，f(x)单调递减.综上可知，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减.3.(2013四川)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cos Bsin(AB)sin Bcos(AC).(1)求cos
11、A的值；(2)若a4，b5，求向量在方向上的投影.解(1)由2cos2cos Bsin(AB)sin Bcos(AC)，得cos(AB)1cos Bsin(AB)sin Bcos B，即cos(AB)cos Bsin(AB)sin B.则cos(ABB)，即cos A.(2)由cos A，0Ab，则AB，故B，根据余弦定理，有(4)252c225c，解得c1或c7(舍去).故向量在方向上的投影为|cos B.4.已知向量a(cos ，sin )，b(cos x，sin x)，c(sin x2sin ，cos x2cos )，其中0x.(1)若，求函数f(x)bc的最小值及相应x的值；(2)若a
12、与b的夹角为，且ac，求tan 2的值.解(1)b(cos x，sin x)，c(sin x2sin ，cos x2cos )，f(x)bccos xsin x2cos xsin sin xcos x2sin xcos 2sin xcos x(sin xcos x).令tsin xcos x，则2sin xcos xt21，且1t.则yt2t12，1t，t时，ymin，此时sin xcos x，即sin，x，x，x，x.函数f(x)的最小值为，相应x的值为.(2)a与b的夹角为，cos cos cos xsin sin xcos(x).0x，0x0，0,0)的部分图象如图所示.(1)求f(x)的解析式；(2)设g(x)f(x)2，求函数g(x)在x，上的最大值，并确定此时x的值.解(1)由题图知A2，则4，.又f()2sin()2sin()0，sin()0，0，0，即，f(x)2sin(x).(2)由(1)可得f(x)2sin(x)2sin(x)，g(x)f(x)2422cos(3x)，x，3x，当3x，即x时，g(x)max4.