1、5.3平面向量的数量积1.平面向量的数量积已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，则数量|a|b|cos 叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作ab|a|b|cos .规定：零向量与任一向量的数量积为_0_.两个非零向量a与b垂直的充要条件是ab0，两个非零向量a与b平行的充要条件是ab|a|b|.2.平面向量数量积的几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积.3.平面向量数量积的重要性质(1)eaae|a|cos ；(2)非零向量a，b，abab0；(3)当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|，aaa2，|a|；(4)cos ；(5)
2、|ab|a|b|.4.平面向量数量积满足的运算律(1)abba(交换律)；(2)(a)b(ab)a(b)(为实数)；(3)(ab)cacbc.5.平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2，由此得到(1)若a(x，y)，则|a|2x2y2或|a|.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点间的距离|AB|.(3)设两个非零向量a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y20.1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.()(2)两个向量的数量积是一
3、个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.()(3)ABC内有一点O，满足0，且，则ABC一定是等腰三角形.()(4)在四边形ABCD中，且0，则四边形ABCD为矩形.()(5)两个向量的夹角的范围是0，.()(6)已知a(，2)，b(3，2)，如果a与b的夹角为锐角，则的取值范围是0.()2.(2012陕西改编)设向量a(1，cos )与b(1,2cos )垂直，则cos 2_.答案0解析a(1，cos )，b(1,2cos ).ab，ab12cos20，cos2，cos 22cos21110.3.已知向量a，b的夹角为60，且|a|2，|b|1，则向量a与向量a2b的夹角等于_.答案
4、30解析|a2b|2444ab88cos 6012，|a2b|2，a(a2b)|a|a2b|cos 22cos 4cos ，又a(a2b)a22ab44cos 606，4cos 6，cos ，0，180，30.4.在ABC中，1，2，则AB边的长度为_.答案3解析设ABC各边分别为a，b，c，则bcos A1，同理，acos B2.由余弦定理可得解方程组得c3或0(舍).5.已知a(2,3)，b(4,7)，则a在b方向上的投影为_.答案解析设a和b的夹角为，|a|cos |a|.题型一平面向量数量积的运算例1(1)在RtABC中，C90，AC4，则_.(2)(2012北京)已知正方形ABCD的
5、边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为_；的最大值为_.思维启迪(1)C90，可选取向量，为基底表示向量或者利用数量积的几何意义；(2)建立坐标系求向量的坐标，也可利用数量积的几何意义.答案(1)16(2)11解析(1)方法一()()216.方法二在方向上的投影是AC，|216.(2)方法一以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设E(t,0)，t0,1，则(t，1)，(0，1)，所以(t， 1)(0，1)1.因为(1,0)，所以(t，1)(1,0)t1，故的最大值为1.方法二由图知，无论E点在哪个位置，在方向上的投影
6、都是CB 1，|11，当E运动到B点时，在方向上的投影最大即为DC1，()max|11.思维升华求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.本题从不同角度创造性地解题，充分利用了已知条件.已知点A，B，C满足|3，|4，|5，则的值是_.答案25解析如图，根据题意可得ABC为直角三角形，且B，cos A，cos C，45cos(C)53cos(A)20cos C15cos A201525.题型二求向量的夹角与向量的模例2(1)(2012课标全国)已知向量a，b夹角为45，且|a|1，|2ab|，则|b|_.(2)(2013山东)已知向量与的夹角为120，且
7、|3，|2.若A，且，则实数的值为_.思维启迪利用数量积的定义ab|a|b|cos .答案(1)3(2)解析(1)a，b的夹角为45，|a|1，ab|a|b|cos 45|b|，|2ab|244|b|b|210，|b|3.(2)由知0，即()()(1)A22(1)32940，解得.思维升华(1)在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a|要引起足够重视，它是求距离常用的公式.(2)要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系.在向量的运算中，灵活运用运算律，达到简化运算的目的.(1)已知向量a(1，)，b(1,0)，则|a2b|等于_.(2)若平面向量，满足|1，|1，
8、且以向量，为邻边的平行四边形的面积为，则与的夹角的取值范围是_.答案(1)2(2)解析(1)|a2b|2a24ab4b244144，|a2b|2.(2)由题意知S|sin sin ，0，.题型三数量积的综合应用例3已知ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m(a，b)，n(sin B，sin A)，p(b2，a2).(1)若mn，求证：ABC为等腰三角形；(2)若mp，边长c2，角C，求ABC的面积.思维启迪(1)由mn可得ABC的边角关系，再利用正弦定理边角互化即可证得结论；(2)由mp得a、b关系，再利用余弦定理得ab，代入面积公式.(1)证明mn，asin Absin B，
9、即ab，其中R是三角形ABC外接圆半径，ab.ABC为等腰三角形.(2)解由题意可知mp0，即a(b2)b(a2)0.abab.由余弦定理可知，4a2b2ab(ab)23ab，即(ab)23ab40，ab4(舍去ab1)，Sabsin C4sin .思维升华以向量为载体考查三角形问题时，要注意正弦定理、余弦定理、面积公式的应用、边与角之间的互化是判断三角形形状的常用方法.(2013江苏)已知向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0.(1)若|ab|，求证：ab；(2)设c(0,1)，若abc，求，的值.(1)证明由|ab|，即(cos cos )2(sin sin )22，整
10、理得cos cos sin sin 0，即ab0，因此ab.(2)解由已知条件，又00.又|10，2，(6，8)，又A(1,2)，B点坐标为(7，6).5.(2012天津改编)在ABC中，A90，AB1，AC2.设点P，Q满足，(1)，R.若2，则_.答案解析(1)，(1)224(1)342，即.6.(2012安徽)设向量a(1,2m)，b(m1,1)，c(2，m).若(ac)b，则|a|_.答案解析ac(1,2m)(2，m)(3,3m).(ac)b，(ac)b(3,3m)(m1,1)6m30， m.a(1，1)，|a|.7.(2013课标全国)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则
11、_.答案2解析由题意知：()()()()224022.8.已知a(2，1)，b(，3)，若a与b的夹角为钝角，则的取值范围是_.答案(，6)解析由ab0，即230，解得，由ab得：6，即6.因此，且6.二、解答题9.已知向量a(4,5cos )，b(3，4tan )，(0，)，ab，求：(1)|ab|；(2)cos()的值.解(1)因为ab，所以ab435cos (4tan )0，解得sin .又因为(0，)，所以cos ，tan ，所以ab(7,1)，因此|ab|5.(2)cos()cos cos sin sin .10.已知ABC的内角为A、B、C，其对边分别为a、b、c，B为锐角，向量m
12、(2sin B，)，n(cos 2B,2cos21)，且mn.(1)求角B的大小；(2)如果b2，求SABC的最大值.解(1)mn2sin B(2cos21)cos 2B0sin 2Bcos 2B02sin(2B)0(B为锐角)2BB.(2)cos Baca2c242ac4ac4.SABCacsin B4.B组专项能力提升(时间：35分钟)1.ABC的外接圆圆心为O，半径为2，0，且|，则在方向上的投影为_.答案解析如图，设D为BC的中点，由0，得2，A、O、D共线且|2|，又O为ABC的外心，AO为BC的中垂线，|2，|1，|，在方向上的投影为.2.(2013湖南改编)已知a，b是单位向量，
13、ab0，若向量c满足|cab|1，则|c|的取值范围是_.答案1，1解析ab0，且a，b是单位向量，|a|b|1.又|cab|2c22c(ab)2aba2b21，2c(ab)c21.|a|b|1且ab0，|ab|，c212|c|cos (是c与ab的夹角).又1cos 1，0b，求a，b的值.解(1)f(x)2sin2x2sin xcos x1cos 2x2sin xcos xsin 2xcos 2x12sin(2x)1.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，f(x)的单调增区间是(kZ).(2)f(C)2sin(2C)11，sin(2C)1，C是三角形的内角，2C，即C.cos C，即a2b
14、27.将ab2代入可得a27，解得a23或4.a或2，b2或.ab，a2，b.7.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a(1,2)，又点A(8,0)，B(n，t)，C(ksin ，t)(0).(1)若a，且|，求向量；(2)若向量与向量a共线，当k4，且tsin 取最大值4时，求.解(1)由题设知(n8，t)，a，8n2t0.又|，564(n8)2t25t2，得t8.当t8时，n24；t8时，n8，(24,8)，或(8，8).(2)由题设知(ksin 8，t)，与a共线，t2ksin 16，tsin (2ksin 16)sin 2k(sin )2.k4，10，当sin 时，tsin 取得最大值.由4，得k8，此时，(4,8).(8,0)(4,8)32.