1、北京市育英学校2020-2021学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题（共10小题，每题4分，共40分）. 1在复平面内，复数1+i的共轭复数所对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2在ABC中，若a7，b8，cosB，则c的大小为（）A3B4C5D63若角的终边过点（1，2），则sin2（）ABCD4在ABC中，AB1，AC，则B（）AB或CD或5已知平面向量，满足（+）3，且|2，|1，则向量与的夹角为（）ABCD6将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则g（x）（）ABCcos2xDcos2x7在ABC中，已知atanBbtanA，则此三角
2、形是（）A等腰三角形B直角三角形C等边三角形D直角或等腰三角形8圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即ABC）为26.5，夏至正午太阳高度角（即ADC）为73.5，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为a，则表高（即AC的长）为（）ABCD9设点A，B，C不共线，则“与的夹角为
3、锐角”是“|+|”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件10在平行四边形ABCD中，A，AB2，AD1，若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足，则的最大值为（）A2B4C5D6二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。11若复数为纯虚数（i为虚数单位），则实数a的值为 12已知向量（1，），（，1），则|+|为 13已知，则的值为 14已知函数f（x）cos2x2cosx（xR），则 ；f（x）的最大值为 15已知ABC中，点A（2，0），B（2，0），C（x，1）（i）若ACB是直角，则x （ii）若ABC是锐角三角形，则x的取值范围是 三、解答题共
4、4小题，共40分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16已知函数（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最大值，并求出此时对应的x的值17在ABC中，acosBbsinA（）求B；（）若b2，c2a，求ABC的面积18已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，（1，1sinB），（cosB，1）且，（1）求角B；（2）若a+cb，判断ABC的形状19在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，时（1）若a7，求c；（2）记（）当k为何值时，使得ABC有解；（写出满足条件的所有k的值）（）当k为何值时，ABC为直角三角形；（）直接写出一个满足条件的k值
5、，使得ABC有两解参考答案一、选择题10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出四个选项中，选出符合题目要求的一项。1在复平面内，复数1+i的共轭复数所对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解：复数z1+i的共轭复数为z1i，对应的点为（1，1），所以该点位于第四象限，故选：D2在ABC中，若a7，b8，cosB，则c的大小为（）A3B4C5D6解：在ABC中，若a7，b8，cosB，则，根据正弦定理得，解得，且A，cosCcos（A+B）sinAsinBcosAcosB，在ABC中，根据余弦定理得，c2a2+b22abcosC49+64，c3故选：A3若角的终边过点（1，2
6、），则sin2（）ABCD解：角的终边过点A（1，2），r|OA|sin，cossin22sincos故选：D4在ABC中，AB1，AC，则B（）AB或CD或解：由cAB1，bAC，cb，则CB，根据正弦定理得：sinB，B为三角形的内角，B或，故选：D5已知平面向量，满足（+）3，且|2，|1，则向量与的夹角为（）ABCD解：2，4又（+）3，+4+3，得1，设与的夹角为，则cos1，即21cos1，得cos0，故选：C6将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则g（x）（）ABCcos2xDcos2x解：函数的图象向左平移个单位长度后，可得ysin2（x+）sin（2x+）
7、cos2x；故选：C7在ABC中，已知atanBbtanA，则此三角形是（）A等腰三角形B直角三角形C等边三角形D直角或等腰三角形解：在ABC中，atanBbtanA，可得：asinBcosAbsinAcosB，由正弦定理可得：abcosAabcosB，即：cosAcosB，A，B（0，），ycosx在（0，）单调递减，AB，即三角形为等腰三角形故选：A8圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬
8、至，日影长度最短的那一天定为夏至图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即ABC）为26.5，夏至正午太阳高度角（即ADC）为73.5，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为a，则表高（即AC的长）为（）ABCD解：由题可知：BAD73.526.547，在BAD中，由正弦定理可知：，即，则，又在ACD中，所以，故选：D9设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“|+|”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解：点A，B，C不共线，当与的夹角为锐角时，0，“与的夹角为锐角”“|+|”，“|+|”“与的夹角为锐
9、角”，设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“|+|”的充分必要条件故选：C10在平行四边形ABCD中，A，AB2，AD1，若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足，则的最大值为（）A2B4C5D6解：设k0，建立如图所示的坐标系A（0，0），B（2，0），D，C，由，可得+k，同理可得，+k22k+5（k+1）2+6，k0，的最大值是5，当且仅当M、N与点C重合时取得最大值故选：C二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。11若复数为纯虚数（i为虚数单位），则实数a的值为 解：为纯虚数，解得a故答案为：12已知向量（1，），（，1），则|+|为 2解：根据题意，向量（1，），（，1），
10、则+（4，2），则|+|2，故答案为：213已知，则的值为 解：由于，所以，所以，故故答案为：14已知函数f（x）cos2x2cosx（xR），则；f（x）的最大值为 3解：f（x）cos2x2cosx2cos2x2cosx12（cosx）2，当cosx1时，f（x）取得最大值3，故答案为：；315已知ABC中，点A（2，0），B（2，0），C（x，1）（i）若ACB是直角，则x（ii）若ABC是锐角三角形，则x的取值范围是（2，）（，2）解：（i）ABC中，点A（2，0），B（2，0），C（x，1），（2x，1），（2x，1），ACB是直角，（2x）（2x）+（1）（1）x230，解得x（i
11、i）ABC中，点A（2，0），B（2，0），C（x，1），（2x，1），（2x，1），（x+2，1），（4，0），（x2，1），（4，0），ABC是锐角三角形，解得2x或x2x的取值范围是（2，）（，2）故答案为：，（2，）（，2）三、解答题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16已知函数（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最大值，并求出此时对应的x的值解：（1）f（x）sin2x+sinxcosxsin2xcos2x+sin（2x）+，f（x）的最小正周期T；（2）x，2x，当2x，即x时，f（x）取得最大值17在ABC中，acosBbsinA（）
12、求B；（）若b2，c2a，求ABC的面积解：（）在ABC中，由正弦定理，因为，所以，因为sinA0，所以，所以tanB，因为0B，所以，（）因为b2，c2a，由余弦定理b2a2+c22accosB，可得，所以a，c，所以18已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，（1，1sinB），（cosB，1）且，（1）求角B；（2）若a+cb，判断ABC的形状解：（1），0即有B（0，），（2），得当时，此时C，ABC为直角三角形；当时，ABC为直角三角形19在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，时（1）若a7，求c；（2）记（）当k为何值时，使得ABC有解；（写出满足条件的所有k的值）（）当k为何值时，ABC为直角三角形；（）直接写出一个满足条件的k值，使得ABC有两解解：（1）若a7，b5，A，由余弦定理可得a2b2+c22bccosA，即4925+c225c，整理可得：c25c240，又c0解得：c8；（2），可得cka，（i）由正弦定理，因为，所以sinC（0，1，故（ii）若B为直角，则，所以；若C为直角，则，所以；故k的值为或（iii）结合图象，当B点在线段AB1，B1B2（不含端点）时，即当时，ABC有两解，此时故可取