1、4.1.2 圆的一般方程一、学习目标：1、正确理解圆的一般方程及其特点；2、会求圆的一般方程；3、能进行圆的一般方程和标准方程的互化；4、初步了解用代数方法处理几何问题，掌握求点的轨迹方程的思想方法。二、课前导学：知识回顾：1、 已知圆的圆心为，半径为2 ，则圆的标准方程为 ，将此方程展开得 问题导入：问题1、方程表示什么图形？方程表示什么图形？方程表示什么图形？（1）表示以为圆心，2为半径的圆；(2)表示点（1，-2）（3）不表示任何图形问题2、方程在什么条件下表示圆？（1） 配方（2） 当时，方程表示 以为圆心，为半径的圆 （3） 当时，方程表示 一个点 （4） 当时，方程表示 不表示任何
2、图形 问题3、圆的一般方程的定义：当时， 称为圆的一般方程，其圆心坐标和半径分别是什么？问题4：圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？练习1、二元二次方程，在什么条件下表示圆的方程？练习2、圆的圆心为：_，半径为：_。三、合作探究：探究一、圆的一般方程的概念例1：下列二元二次方程能否表示圆？若能表示圆，求出其圆心和半径。（1）；（2）；（3）； （4）思路点拨：判断一个二元二次方程是否表示圆的方程，可以先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征；当它具备圆的一般方程的特征时，再看它是否能表示圆，途径：看是否成立 直接配方变形，看右端是否为大于0的常数。（1） 不能，因为与的系数不相等（2） 不能
3、，因为含的项（3） 能，圆心，半径为（4） 不一定。当时，不能,仅代表一个点（0,0）；当时，能，圆心，半径为小结：圆的一般方程的特征：与的系数相等 不含的项探究二、求圆的方程例2：求过三点的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径长。思路点拨：由于不在同一条直线上，因此经过三点有唯一的圆。求圆的方程常用“待定系数法”。解：设所求圆的方程为，由题意可得： 解得： 所以所求圆的方程为，圆心坐标为（1,2），半径为小结：用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤为：根据题意，选择标准方程或一般方程；根据条件列出关于或的方程组；解出或，代入标准方程或一般方程。变式：已知圆经过和，若圆心在直线上，求圆的方程。解
4、：设所求圆的方程为，由题意可得： 解得：故所求圆的方程为*探究三、求轨迹方程例3：长为的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，求线段的中点的轨迹方程。思路点拨：点的轨迹方程式指点的坐标满足的关系式。点、运动引起点运动，根据题意求出点、的坐标所满足的方程，建立点与点、坐标之间的关系，就可以建立点的坐标满足的条件，从而求出点的轨迹方程。 解： 设，则有： 从而可得： 将 代入上式可得： 所以线段的中点的轨迹方程为，是以点（0,0）为圆心，为半径的圆。1、任何一个圆的方程都可写成的形式，但方程表示的曲线不一定是圆，只有时，方程才表示圆心为，半径为r的圆。2、在圆的方程中含有三个参变数，因此必须具备三个
5、独立条件才能确定一个圆求圆的方程时是选用标准方程还是一般方程的依据：当给出的条件与圆心坐标、半径有关，或者由已知条件容易求得圆心和半径时，一般用标准方程当上述特征不明显时，常用一般方程，特别是给出圆上三点，用待定系数法求圆的方程时，常用一般式，这样得到的关于D、E、F的三元一次方程组，要比使用标准方程简便得多。3、要画出圆的图象，必须知道圆心和半径，因此应掌握用配方法将圆的一般方程化为标准方程。四、课堂小结 五、课外作业1、方程表示的图像是（ C ）A、表示点（0,0） B、表示圆C、当=0时，表示点（0,0）；当时，表示圆 D、不表示任何图形2、若方程表示一个圆，则有（C ） A、 B、 C、 D、 3、的圆心和半径分别为（ A ） A、 B、 C、 D、 *4、如果直线将圆平分且不通过第四象限，那么的斜率的取值范围是（ A ） A、 B、 C、 D、*5、动圆的圆心的轨迹方程是 。*6、圆的点到直线的距离的最大值为 。7、求经过点且与直线相切于点的圆的方程。解：设所求圆的方程为，则有：解得：故所求圆的方程为8、 已知圆的弦的中点为，求直线的方程。解：设直线的方程为，即由题意可得：，则 故直线的方程为