1、学案72矩阵与变换(二)矩阵的逆矩阵、特征值与特征向量导学目标： 1.理解逆矩阵的意义，理解二阶矩阵存在逆矩阵的条件，并会求逆矩阵.2.理解二阶矩阵特征与特征向量的意义，会求特征值及特征向量自主梳理1矩阵的逆矩阵(1)一般地，设是一个线性变换，如果存在线性变换，使得I，则称变换可逆并且称是的逆变换(2)设A是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B，使得BAABE，则称矩阵A_，或称矩阵A是_，并且称B是A的_(3)(性质1)设A是一个二阶矩阵，如果A是可逆的，则A的逆矩阵是_A的逆矩阵记为_(4)(性质2)设A，B是二阶矩阵，如果A，B都可逆，则AB也可逆，且(AB)1_.(5)已知A，B，C为二阶
2、矩阵，且ABAC，若矩阵A_，则BC.(6)对于二阶可逆矩阵A(adbc0)，它的逆矩阵为A1.2二阶行列式与方程组的解对于关于x，y的二元一次方程组我们把称为二阶行列式，它的运算结果是一个_(或多项式)，记为det(A)adbc.若将方程组中行列式记为D，记为Dx，记为Dy，则当D0时，方程组的解为3二阶矩阵的特征值和特征向量(1)特征值与特征向量的概念设A是一个二阶矩阵，如果对于实数，存在一个非零向量，使得A，那么称为A的一个_，称为A的一个属于特征值的一个_(2)特征多项式设是二阶矩阵A的一个特征值，它的一个特征向量为，则A_，即也即(*)定义：设A是一个二阶矩阵，R，我们把行列式f()
3、_称为A的特征多项式(3)矩阵的特征值与特征向量的求法如果是二阶矩阵A的特征值，则一定是二阶矩阵A的特征多项式的一个根，即f()0，此时，将代入二元一次方程组(*)，就可得到一组非零解，于是非零向量即为A的属于的一个_自我检测1矩阵的逆矩阵是_2点P(2,3)经矩阵A对应的变换作用下得到点P，点P再经过矩阵A1对应的变换作用下得到点P，则点P的坐标是_3矩阵的特征值是_4若A，B，则(AB)1_.5(2010厦门模拟)利用逆矩阵知识解方程组探究点一求矩阵的逆矩阵例1 已知矩阵A，B，求(AB)1.变式迁移1 已知矩阵M，N，求矩阵MN的逆矩阵探究点二求矩阵的特征值与特征向量例2 已知二阶矩阵M
4、有特征值8及对应的一个特征向量e1，并且矩阵M对应的变换将点(1,2)变换成(2,4)(1)求矩阵M；(2)求矩阵M的另一个特征值，及对应的一个特征向量e2的坐标之间的关系；(3)求直线l：xy10在矩阵M的作用下的直线l的方程变式迁移2 矩阵M，向量X，求M4X.探究点三矩阵的综合应用例3 在研究扩散理论时，假定某一物质以液态和气态存在，并且在一定时间段内，总有2.5%的液体蒸发，1%的气体凝结，假设t00.6，c00.4分别表示该物质现在气态和液态所占的比例，经过一个时间段后，气态和液态所占的比例分别是t1和c1，且(1)求矩阵M的特征值和特征向量；(2)说明特征向量的意义变式迁移3 在军
5、事密码学中，密码发送的数学原理是：发送方将要传送的信息数字化后用一个矩阵X表示(不足的元素可以补上0，字与字之间的空格也以0记，且以密码先后顺序按列组成矩阵)，在矩阵的左边乘上一个双方约定的可逆矩阵A，得到BAX，则B即为传送出去的密码，接收方收到密码后，只需左乘A的逆矩阵A1，即可得到发送出去的明码XA1B.不妨以二阶矩阵为例，先将英文字母数字化，让a1，b2，z26.现已知发送方传出的密码为7,13,39,67，双方约定的可逆矩阵为，试破解发送的密码1求两个矩阵乘积的逆矩阵有两种方法，即先求乘积AB，再求逆矩阵(AB)1.也可以利用性质(AB)1B1A1求解，但要注意顺序，不能误为A1B1
6、.2已知矩阵A有特征值及对应的一个特征向量，则Ann(nN*)若矩阵A有两个不共线的特征向量1，2，其对应的特征值分别为1，2，由平面向量基本定理，向量可由1，2唯一线性表示，即存在实数t1，t2，使t11t22，从而有Ant1(1)t2(2)(nN*)(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共42分)1设可逆矩阵A的逆矩阵A1，则a，b，c的值分别为_，_，_.2(2009江苏)矩阵A的逆矩阵A1_.3已知二元一次方程组从线性变换的角度求解时应把向量绕原点作_(填“顺”或“逆”)时针旋转_的旋转变换4现用矩阵对信息进行加密后传递，规定英文字母数字化为：a1，b2，z26，双方约定的矩阵为，发
7、送方传递的密码为67,30,31,8，密码按列组成矩阵，此组密码所发信息为_5矩阵M的特征值与特征向量分别为_6设A，则A6_.7若A，则A_.二、解答题(共48分)8(12分)(2011福建，21(1)设矩阵M(其中a0，b0)(1)若a2，b3，求矩阵M的逆矩阵M1；(2)若曲线C：x2y21在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C：y21，求a，b的值9(12分)设矩阵A(a0)(1)求A2，A3；(2)猜想An(nN*)；(3)证明：An(nN*)的特征值是与n无关的常数，并求出此常数10(12分)设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换(1)求矩阵M的特征
8、值及相应的特征向量；(2)求逆矩阵M1以及椭圆1在M1的作用下的新曲线的方程11(12)已知矩阵A，求A100.学案72矩阵与变换(二)矩阵的逆矩阵、特征值与特征向量答案自主梳理1(2)可逆可逆矩阵逆矩阵(3)唯一的A1(4)B1A1(5)存在逆矩阵2.数值3.(1)特征值特征向量(2)2(ad)adbc(3)特征向量自我检测1解析00(1)11，逆矩阵为.2(2,3)34,2解析矩阵M的特征值满足方程(1)(3)()(2)2280，解得矩阵M的两个特征值14，22.4解析求得A1，B1(AB)1B1A1.5解A1B，即课堂活动区例1 解题导引已知矩阵A，要求A1，可设A1，由AA1A1AE可
9、得对于几何意义明确的矩阵变换，应注意几何意义在解题中的应用还要注意矩阵的知识并不是孤立存在的，解题时应该注意矩阵与其他知识的有机结合对于几何意义明显的线性变换，要掌握它的逆变换，利用逆变换求逆矩阵有时比利用行列式求逆矩阵要快捷简便解AB.设(AB)1，则由(AB)(AB)1，得，即，所以解得故(AB)1.变式迁移1 解(MN)1N1M1.例2 解题导引矩阵的特征值和特征向量在求解形如Mna的矩阵与向量的乘法运算中有重要应用，熟练掌握此知识，用它来解决将可以大大减少运算量应掌握求解二阶方阵的特征向量和特征值的基本方法，关于特征值问题的探究一般解法如下：给定矩阵A，向量，若有特征值，则，即，所以0
10、，即2(ad)(adbc)0.解(1)设M，则8，故，故联立以上两方程组解得a6，b2，c4，d4，故M.(2)由(1)知，矩阵M的特征多项式为f()(6)(4)821016，故其另一个特征值为2.设矩阵M的另一个特征向量是e2，则Me22，解得2xy0.(3)设点(x，y)是直线l上的任一点，其在矩阵M的变换下对应的点的坐标为(x，y)，则，即xxy，yxy，代入直线l的方程后并化简得xy20，即xy20.变式迁移2 解矩阵M的特征多项式为f()(8)(3)5(6)256，所以12，23，对应的一个特征向量分别为X1，X2，因为X2X12X2.所以M4XM4(X12X2)M4X12(M4X2
11、)X12(X2)24234.例3 解题导引由实际意义知，特征向量的每个分量都应为正数，否则无意义解(1)由f()0，得特征值11，20.965.则属于11和20.965的特征向量分别是，.(2)因为属于11的特征向量是，所以M，M2，Mn，这说明，特征向量给出的tc52是物质气态和液态处于平衡状态的比例，比较稳定；属于20.965的一个特征向量是的第二个分量为负数，没有实际意义变式迁移3 解因为A，det(A)20，所以A1，而B，所以XA1B.故明码为21311，对应信息为back.课后练习区12解析由AA1E得，即解方程组得a2，b，c.2解析设矩阵A的逆矩阵为，则，即，故解得x1，z2，
12、y2，3，从而A的逆矩阵为A1.3顺解析因为方程组的矩阵形式是，它是把向量绕原点作逆时针旋转变换得到，所以解方程组就是把向量绕原点作顺时针旋转的旋转变换4good解析因为A，所以det(A)20，所以A1，而密码矩阵为B，故明码矩阵XA1B，对应信息为“good”514，1；22，2解析由(1)(3)(2)()2280，得矩阵M的特征值为14，22.设属于特征值14的特征向量为，则它满足方程(11)x(2)y0，即5x2y0.故可取为属于特征值14的一个特征向量设属于特征值22的特征向量为，同理可得x2y0.故可取为属于特征值22的一个特征向量综上所述，矩阵M有两个特征值14，22.属于14的
13、一个特征向量为1；属于22的一个特征向量为2.6解析A，A6.7解析2，1，A.8解(1)设矩阵M的逆矩阵M1，则MM1.(2分)又M，所以.所以2x11,2y10,3x20,3y21，即x1，y10，x20，y2，(4分)故所求的逆矩阵M1.(6分)(2)设曲线C上任意一点P(x，y)，它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点P(x，y)，则，即(8分)又点P(x，y)在曲线C上，所以y21.则b2y21为曲线C的方程(10分)又已知曲线C的方程为x2y21，故又a0，b0，所以(12分)9解(1)A2，A3；(2)An(nN*)；(3)设An的特征值为，则由f()0，得(1)20.所以1，它是与n无关的常数10解(1)由条件得矩阵M，(2分)它的特征值为2和3，对应的一个特征向量为和；(4分)(2)M1，设P(x0，y0)为椭圆上任一点，在M1作用下变为(x，y)，则有即.(8分)点P在椭圆1上，x2y21.(11分)即椭圆1在M1的作用下的新曲线的方程为x2y21.(12分)11解A的特征多项式f()(1)(2)，令f()0得A的特征值为11，22，(3分)(1)当11时，解得A的特征向量(kR且k0)，取1.(6分)(2)当22时，解得A的特征向量(kR且k0)取2.令t11t22，即t1t2，解得.(11分)因此，A100.(12分)