1、江西省红色七校2021届高三第二次联考理科数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.2.若且，则的最小值是（）A.2 B.3 C.4 D.53.已知数据，满足线性回归方程，则“满足线性回归方程”是“，”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也必要条件4.已知直线，平面，有如下四个命题：，则；若，则；若，则；，则.其中真命题的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.45.的展开式中，的系数为（）A.200 B.120 C.80 D.406.在各项均为
2、正数的等比数列中，则的最大值是（）A.25 B. C.5 D.7.已知，则（）A. B. C. D.8.函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象，若，且，则的最大值为（）A. B. C. D.9.若关于的方程（为自然对数的底数）有且仅有6个不等的实数解，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.10.在三菱锥中，底面，是线段上一点，且，三菱锥的各个顶点在球表面上，过作球的截面，若所截面的面积的最大值与最小值之差为，则球的表面积为（）A. B. C. D.11.已知椭圆（）上一点关于原点的对称点为点，为其右焦点，若，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A. B. C
3、. D.12.对于任意的正实数，都有成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.二、填空题13.实数，满足约束条件，若目标函数（，）的最大值为4，则的最大值为 .14.已知数列的前项和，设，则数列的前项和 .15.已知双曲线（，）上一点，过双曲线中心的直线交双曲线于，两点，设直线，的斜率分别为，当最小时，双曲线的离心率为 .16.设直线，分别是函数，（）图象上点，处的切线，与垂直相交于点，且，分别与轴相交于点，的面积的取值范围是 . 三、解答题17.的内角，的对边分别为，且满足，.（1）求角的大小；（2）求周长的范围.18.如图，四边形是矩形，平面平面，且，为中点.（1）求证：；（2）求
4、二面角的大小.19.某网购平台为帮助某贫困县脱贫致富，积极组织该县农民制作当地特产腊排骨，并通过该网购平台销售，从而大大提升了该县农民的经济收入.2019年年底，某单位从通过该网购平台销售腊排骨的农户中随机抽取了100户，统计了他们2019年因制作销售腊排骨所获纯利润（单位：万元）的情况，并分成以下五组：，统计结果如下表所示：所获纯利润（单位：万元）农户户数1015452010（1）据统计分析可能认为，该县农户在该网购平台上销售腊排骨所获纯利润（单位：万元）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.若该县有1万户农户在该网购平台上销售腊排骨，试估算所获纯利润在区间内的户数.（每
5、区间数据用该区间的中间值表示）.（2）为答谢该县农户的积极参与，该网购平台针对参与调查的农户举行了抽奖活动，每人最多有8次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为.每一次抽奖，若中奖，则可继续下一次抽奖，若未中奖，则活动结束，每次中奖的奖金都为1024元.求参与调查的某农户所获奖金的数学期望.参考数据：若随机变量服从正态分布，则， . 20.已知椭圆：（）的一个焦点与抛物线：的焦点相同，为椭圆的右顶点，以为圆心的圆与直线相交于，两点，且，.（1）求椭圆的标准方程和圆的方程；（2）不过原点的直线与椭圆交于，两点，已知，直线，的斜率，成等比数列，记以，为直径的圆的面积分别为，试探究的值是否为定值，若是，求出
6、此值；若不是，说明理由.21.已知函数，函数（，）（1）讨论的单调性；（2）证明：当时，；（3）证明：当时，.22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆的极坐标方程为.（1）化圆的极坐标方程为直角坐标标准方程；（2）设点，圆心，若直线与圆交于、两点，求的最大值.23.已知函数.（1）若存在使得不等式成立，求实数的取值范围；（2）若不等式的解集为，求实数，的值.江西省红色七校2021届高三第二次联考理科数学答案一、选择题：1-5：DABCD；6-10：BBDDC；11-12BD二、填空题：13.2 14. 15. 16.17.解：（1
7、）由已知，得.由正弦定理，得.即，因为.所以.因为，所以，因为，所以.（2）由余弦定理，得即.因为所以，即（当且仅当时等号成立）又，即，所以，即周长的范围为.18.解：（1）证明：取的中点，连接，为中点，又平面，平面，平面平面，平面，则，.（2）如图，以为原点，所在直线分别为轴、轴，的垂直平分线所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则， 设平面的法向量，由可得，令可得.同理可得平面的一个法向量由图可知二面角为钝角，故二面角的大小为.（1）由题意知：中间值246810频率0.10.150.450.20.1样本的平均数为，所以，所以，而.故1万户农户中，落在区间内的户数约为；（2）设中奖次数为，则的可
8、能取值为0、1、2、3、8，则，所以.令，由得：，所以（元）.所以参与调查的某农户所获奖金的数学期望为1020元.20.解：1.如图，设为、的中点，连接，则，即，又，所以，.由已知得，所以，椭圆的方程为，圆的方程为. 2.设直线的方程为（），由，得，由题设知，则故为定值，该定值为.21.解：（1）当，时，在上单调递增当，时，在上递减，在 上递增当，时，在上单调递减当，时，在上递增，在上递减。（2）证明：设，则，在上单调递减，得证。（3）证明：当时，则即：，又.22.（1）圆的极坐标方程为，所以.因为，所以，所以圆的直角坐标标准方程为；（2）由（1）知圆的圆心的直角坐标为，则，所以，所以直线的参数方程为（为参数，）.将直线的参数方程代入，得，设、对应的参数分别为、，则，因此，当时，取得最大值.23.答案：1.对，当且仅当时取等号，故原条件等价于，即，解得，故实数的取值范围是2.由1知实数的取值范围是，故，故的图象如图所示，由图可知