1、4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式41单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义42单位圆与周期性1任意角的正弦、余弦函数的定义如图所示，在直角坐标系中，作以坐标原点为圆心的单位圆，对于任意角，使角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点P(u，v)，我们把点P的纵坐标v定义为角的正弦函数，记作vsin_；点P的横坐标u定义为角的余弦函数，记作ucos_对于给定的角，点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的，所以正弦函数、余弦函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标为函数值的函数在给定的单位圆中，对于任意角可以是正角、负角或是零角，所以，正弦函数vsin ，余弦函数u
2、cos 的定义域为全体实数2正弦函数、余弦函数在各象限的符号象限三角函数第一象限第二象限第三象限第四象限sin cos 注意按正值简记为：正弦一、二象限全为正；余弦偏在一、四中3终边相同的角的正、余弦函数(1)公式：sin(x2k)sin_x，kZ；cos(x2k)cos_x，kZ.(2)意义：终边相同的角的正弦函数值、余弦函数值分别相等4周期函数(1)定义：一般地，对于函数f(x)，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个x值，都有f(xT)f(x)，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期(2)正弦函数和余弦函数都是周期函数，它们的最小正周期均是21判断正误(正确的打“”，错误的打“”
3、)(1)若sin 0，则角的终边在第一或第二象限()(2)若sin sin ，则.()(3)若sin(6060)sin 60，则60是正弦函数ysin x的一个周期()(4)若T是函数f(x)的周期，则kT，kN也是函数f(x)的周期()解析：(1)错误因为sin 0，所以角的终边还有可能在y轴的正半轴上(2)错误正弦值相等，但两角不一定相等，如sin 60sin 120，但60120.(3)错误举反例，sin(4060)sin 40，所以60不是正弦函数ysin x的一个周期(4)正确根据周期函数的定义知，该说法正确. 答案：(1)(2)(3)(4)2若角的终边与单位圆相交于点，则sin 的
4、值为()A.BC.D解析：选B.利用任意角三角函数的定义可知，点到原点的距离为1，则sin ，故选B.3对于任意的xR都有f(x2)f(x)，则f(x)的一个周期为_解析：由周期函数的定义知f(x)的一个周期为2.答案：2(答案不唯一)4若角的正弦线的长度为，且方向与y轴负方向相同，则sin _解析：由正弦线的概念知sin .答案：1对正弦函数、余弦函数定义的理解(1)定义中，是一个任意角，同时它也可以是一个实数(弧度数)(2)角的终边与单位圆O交于点P(u，v)，实际上给出了两个对应关系，即实数(弧度)对应于点P的纵坐标v正弦实数(弧度)对应于点P的横坐标u余弦(3)三角函数可以看成以实数为
5、自变量，以单位圆上的点的坐标为函数值的函数角与实数是一对一的角和实数与三角函数值之间是多对一的，如图所示(4)sin 是一个整体，不是sin与的乘积，单独的“sin”“cos”是没有意义的2正弦函数、余弦函数定义的拓展上面利用单位圆，给出了任意角的正弦、余弦函数的定义，实际上，我们可以把这一定义进一步拓展，通过角的终边上任意一点的坐标来定义正弦、余弦函数设是一个任意角，的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r(r0)，如下图，那么，比值叫作的正弦，记作sin ，即sin ；比值叫作的余弦，记作cos ，即cos .3终边落在坐标轴上的角的正弦、余弦值利用正弦函数、余弦函数的定义
6、可知，当的终边落在坐标轴上时，正弦函数、余弦函数的取值情况如下表：函数名称终边位置正弦函数余弦函数x轴正半轴01x轴负半轴01y轴正半轴10y轴负半轴104.对周期函数的概念的理解(1)定义域：在周期函数yf(x)中，T是周期，若x是定义域内的一个值，则xkT也一定属于定义域，因此周期函数的定义域一定是无限集(2)“对定义域内的任意一个x”这句话中“任意一个x”的含义是指定义域内所有的x值，即如果存在一个x0，使f(x0T)f(x0)，那么T就不是函数f(x)的周期(3)周期函数的周期有无限多个若T是周期，则对定义域中任意x，总有f(xkT)f(x(k1)T)f(x(k2)T)f(x)都成立，
7、即f(xkT)f(x)，所以kT(kZ，k0)也是周期(4)值域：由于对定义域中任意x，总有f(xT)f(x)成立，则周期函数yf(x)的值域与函数yf(x)在一个周期内的值域相同利用正、余弦函数的定义求值已知角的终边落在射线y2x(x0)上，求sin ，cos 的值【解】法一：设射线y2x(x0)与单位圆的交点为P(x0，y0)，则解得即P，所以sin y0，cos x0.法二：设点P(a，2a)是角终边上任意一点，其中a0.因为r|OP|a（O为坐标原点），所以sin ，cos .本例中条件“角的终边落在射线y2x(x0)上”若换为“ 角的终边落在直线y2x上”，其他条件不变，其结论又如何
8、呢？解：(1)若的终边在第一象限内，设点P(a，2a)(a0)是其终边上任意一点，因为r|OP|a（O为坐标原点），所以sin ，cos .(2)若的终边在第三象限内，设点P(a，2a)(a0)是其终边上任意一点，因为r|OP|a(a0)；第三步，求值：由sin ，cos 求值 1.(1)设角的终边上有一点P(4，3)，则2sin cos 的值是()AB.C或D1(2)已知P(2，y)是角终边上一点，且sin ，则cos _解析：(1)由三角函数的定义可知sin ，cos ，所以2sin cos 2，故选A.(2)因为r，所以sin .所以y0，所以y1，r，所以cos .答案：(1)A(2)
9、单位圆中的角在直角坐标系的单位圆中，已知.(1)画出角；(2)求出角的终边与单位圆的交点坐标；(3)求出角的正弦函数值【解】(1)因为2，所以角的终边与的终边相同以原点为角的顶点，以x轴非负半轴为角的始边，逆时针旋转，与单位圆交于点P，则角如图所示(2)因为，所以点P在第二象限，由(1)知AOP，过点P作PMx轴于点M.则在RtOMP中，OMP，MOP，OP1，由直角三角形的边角关系，得OM，MP，所以得点P的坐标为.(3)根据正弦函数的定义有sin .(1)先将角表示为2k(0)或顺(k0，且cos 0，试确定所在的象限【解】(1)因为340是第四象限角，265是第三象限角，所以sin 34
10、00，cos 2650.(2)因为sin 20，所以2k22k(kZ)，所以kk(kZ)当k为偶数时，设k2m(mZ)，有2m2m(mZ)；当k为奇数时，设k2m1(mZ)，有2m2m(mZ)所以为第一或第三象限角又由cos 0，可知为第三象限角(1)三角函数值的符号可按以下口诀记忆：一全正，二正弦，三正切，四余弦(是正的) (2)对于确定角所在象限问题，应首先界定题目中所有三角函数的符号，然后依据上述三角函数的符号来确定角所在的象限，则它们所在象限的公共部分即为所求3.判断下列各式的符号(1)是第四象限角，sin cos ；(2)sin 3cos 4cos.解：(1)因为是第四象限角，所以s
11、in 0.所以sin cos 0.(2)因为3，40，cos 40.所以sin 3cos 4cos0)，求证：f(x)是周期函数，并求出它的一个周期解：(1)选B.f(x)是以4为一个周期的函数，所以4k(kZ，k0)也是f(x)的周期所以f(x4)f(x)，故ff，从而ff.又当x(1，0)时，f(x)2x1，所以ff210.(2)因为f(x1)，所以f(x2)，所以f(x2)f(x)，所以f(x)的周期为2，所以f(5)f(1)2.故填2.(3)因为f(x2a)f(xa)af(xa)f(x)f(x)，所以f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期思想方法分类讨论思想确定三角函数值符号函数y的
12、值域是_解析当x为第一象限的角时，sin x0，cos x0，所以y112；当x为第二象限的角时，sin x0，cos x0，所以y110；当x为第三象限的角时，sin x0，cos x0，所以y112；当x为第四象限的角时，sin x0，cos x0，所以y110.所以y的值域是2，0，2答案2，0，2求函数的值域实质是对函数式进行化简，在求解中对sin x、cos x的符号进行讨论，即对x所在象限进行分类讨论所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答1若cos ，且角的终边经
13、过点P(x，2)，则P点的横坐标x是()A2B2C2 D2解析：选D.r，由题意得，所以x2.故选D.2若0，则点(tan ，cos )位于()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选B.由0知为第四象限角，则tan 0，cos 0，点在第二象限3当为第二象限角时，的值是_解析：因为为第二象限角，所以sin 0，cos 0，cos 0，cos 0，因此|sin cos |sin cos .答案：sin cos 7若是第三象限角，则sin(cos )cos(sin )_0.解析：因为是第三象限角，所以1cos 0，1sin 0.所以sin(cos )0，所以sin(cos )cos(s
14、in )0.答案：8已知角的终边过点(3cos ，4cos )，其中，则cos _解析：因为，所以cos 0，所以点(3cos ，4cos )到原点的距离r5|cos |5cos ，所以cos .答案：9已知点M是圆x2y21上的点，以射线OM为终边的角的正弦值为，求cos 的值解：设点M的坐标为(x1，y1)由题意，可知sin ，即y1.因为点M在圆x2y21上，所以xy1，即x1，解得x1或x2.所以cos 或cos .10已知函数f(x)的定义域是R，对任意实数x，满足f(x2)f(x)，当x0，4)时，f(x)x22x.(1)求证：函数f(x)是周期函数；(2)求f(7)解：(1)证明
15、：对任意实数x，有f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)f(x)所以函数f(x)是周期函数(2)由(1)知，函数f(x)的周期为4，所以f(7)f(724)f(1)因为当x0，4)时，f(x)x22x，所以f(7)f(1)3.B能力提升11若角满足sin cos 0，cos sin 0，则在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选B.由sin cos 0知是第二或第四象限角，由cos sin 0，得cos sin ，所以是第二象限角12若角的终边上有一点P(4，a)，且sin cos ，则a的值为()A4 B4C4或 D.解析：选C.依题意，可知sin ，cos .又sin
16、cos ，所以，即a216a160，解得a4或，故选C.13已知角的终边过点(3m9，m2)，且cos 0，求m的取值范围解：因为cos 0，所以的终边在第一或第二象限，或y轴的非负半轴上所以是第二象限角，即点(3m9，m2)在第二象限所以解得2m3，即m的取值范围是(2，3)14(选做题)已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，且lg(cos )有意义(1)试判断角所在象限；(2)若角的终边与单位圆相交于点M，求m的值及sin 的值解：(1)由可知sin 0，所以是第一或第四象限角或终边在x轴的非负半轴上的角综上可知角是第四象限角(2)因为点M在单位圆上，所以m21，解得m.又是第四象限角，故m0，从而m.由正弦函数的定义可知sin .