1、第4讲 不等式的综合应用一、填空题1现要挖一个面积为432 m2的矩形鱼池，周围两侧分别留出宽分别为3 m,4 m的堤堰，要想使占地总面积最小，此时鱼池的长为_，宽为_解析设鱼池的长、宽分别为x，所以S(x6)432488x480288768，仅当8x，即x18，24时等号成立答案24 m18 m2若x，y是正数，则22的最小值是_解析由22x2y222 2 24.当且仅当xy时取等号答案43已知f(x)32x(k1)3x2，当xR时，若f(x)恒为正值，则k的取值范围是_解析f(x)0，即32x(k1)3x20，k13x.xR，3x0，3x2，当且仅当3x时取等号从而k12.答案(，12)4
2、已知正项等比数列an满足：a7a62a5，若存在两项am，an使得4a1，则的最小值为_解析由a7a62a5，得a5q2a5q2a5，又a50，q0，所以q2q2，解为q2.于是由4a1，得mn6，所以(mn)(54)，当且仅当n2m，即m2，n4时等号成立，故min.答案5若a，b是正常数，ab，x，y(0，)，则，当且仅当时上式取等号利用以上结论，可以得到函数f(x)的最小值为_，取最小值时x的值为_解析由题意得f(x)25，当且仅当，得x，故f(x)的最小值为25，此时x.答案256已知函数f(x)(aR)，若对于任意的xN*，f(x)3恒成立，则a的取值范围是_解析令f(x)3(xN*
3、)，则(3a)xx28，即3ax.x24，当且仅当x2时取等号，但由于xN*，当x3时，x取最小值3，于是3a3，即a.答案7设x，yR，a1，b1，若axby3，ab2，则的最大值为_解析由axby3得：xloga3，ylogb3，由a1，b1知x0，y0，log3alog3blog3ablog321，当且仅当ab时“”号成立，则的最大值为1.答案18已知二次函数f(x)ax22xc(xR)的值域为0，)，则的最小值为_解析由题可得a0，c0，且224ac0即ac1.所以ac22，当且仅当ac1时取等号所以aca2c2ac(ac)2(ac)2，当且仅当ac1时，min22224.答案49“a
4、”是“对任意的正数x,2x1”的_条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”之一)解析当a时，2x2x1，当且仅当x时取“”，故充分性成立，当2x1对xR恒成立时，a(x2x2)max得a，故必要性不成立答案充分不必要10某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，要使这两项费用之和最小，仓库应建立在距离车站_km处解析依题意，设y1，y2k2d，则有2，8k210，即有k120，k2，从而这两项费用之和为yy1y2d2 8万元，当且
5、仅当即d5 km时，有这两项费用之和最小答案5二、解答题11已知f(x)是定义在(，4上的减函数，是否存在实数m，使得f(msin x)f对定义域内的一切实数x均成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由思维启迪不等式和函数的结合，往往要利用函数的单调性和函数的值域解假设实数m存在，依题意，可得即因为sin x的最小值为1，且(sin x)2的最大值为0，要满足题意，必须有解得m或m3.所以实数m的取值范围是.探究提高不等式恒成立问题一般要利用函数的值域，mf(x)恒成立，只需mf(x)min.12某地区共有100户农民从事蔬菜种植，据调查，每户年均收入为3万元为了调整产业结构，
6、当地政府决定动员部分种植户从事蔬菜加工据估计，如果能动员x(x0)户农民从事蔬菜加工，那么剩下从事蔬菜种植的农民每户年均收入有望提高2x%，从事蔬菜加工的农民每户年均收入为3(a0)万元(1)在动员x户农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的年总收入不低于动员前从事蔬菜种植的年总收入，试求x的取值范围；(2)在(1)的条件下，要使100户农民中从事蔬菜加工农民的年总收入始终不高于从事蔬菜种植农民的年总收入，试求实数a的最大值解(1)由题意得3(100x)(12x%)3100，即x250x0，解得0x50，又因为x0，所以00，所以a1恒成立，而15(当且仅当x50时取得等号)所以a的最大值
7、为5.13. 扬州某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为60(如图)，考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9平方米，且高不低于米记防洪堤横断面的腰长为x(米)，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y(米)(1)求y关于x的函数关系式，并指出其定义域；(2)要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x应在什么范围内？(3)当防洪堤的腰长x为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即断面的外周长最小)？求此时外周长的值解(1)9(ADBC)h，其中ADBC2BCx，hx，所以9(2BCx)x，得BC.由得2x6.所以yBC2x(2x6)(2
8、)由y10.5，得3x4.因为3,42,6)所以腰长x的范围是3,4(3)y26，当且仅当，即x22,6)时等号成立故外周长的最小值为6米，此时腰长为2米14某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关若建造宿舍的所有费用p(万元)和宿舍与工厂的距离x(km)的关系为：p(0x8)，若距离为1 km时，测算宿舍建造费用为100万元为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元，设f(x)为建造宿舍与修路费用之和(1)求f(x)的表达式；(2)宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f(x)最小，并求最小值解(1)根据题意，得100，k800，f(x)56x,0x8.(2)f(x)2(3x5)5805，当且仅当2(3x5)，即x5时f(x)min75.故宿舍应建在离工厂5 km处可使总费用f(x)最小，且最小值为75万元.