1、峨山一中2017-2018学年下学期6月月考高二年级数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的1.已知集合A=x|0，B=x|0x4，则AB=A. 1，4 B. (0，3 C. (1，0(1，4 D. 1，0(1，4【答案】A【解析】【分析】先解一元二次不等式得集合A，再根据集合并集定义得结果.【详解】因为A=x|0=-1,3，所以AB=1，4【点睛】集合的基本运算的关注点(1)看元素组成集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，
2、易于解决(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图2.已知(1+i)z=2i(i为虚数单位)，则z的共轭复数=A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先根据复数除法法则得z，再根据共轭复数定义得结果.【详解】因为(1+i)z=2i，所以，选C.【点睛】熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为3.已知是第四象限角，且sin +cos =，则tan=A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据平方关系解得sin ，cos，再根据半角公式得tan值.【详解】因为sin +cos =，所以sin cos =，因为是第四象
3、限角，所以sin =cos =，因此tan=，选B.【点睛】三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.4.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先还原几何体，再根据锥体体积公式求结果.【详解】几何体为一个三棱锥，
4、高为，底为一个直角三角形，直角边分别为，所以体积为，选D.【点睛】(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析5.某程序框图如图所示，若输入的，则输出结果为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】初始值：s=0,k=1,k0)的顶点，点M在抛物线的对称轴上，点P在抛物线上，则点P与抛物线的焦点F之间的距离是A. 2p B. p C. 2p D. p【答案】B【解析】【分
5、析】先根据条件解得P的横坐标，再根据抛物线定义求点P与抛物线的焦点F之间的距离.【详解】由题意得因此点P与抛物线的焦点F之间的距离为，选B.【点睛】1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理 2若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦 AB的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到7.某年高考中，某省10万考生在满分为150分的数学考试中，成绩分布近似服从正态分布，则分数位于区间分的考生人数近似为（ ）（已知若，则， ， ）A. 1140 B. 1075 C. 2280 D. 2150【答
6、案】C【解析】【分析】先计算区间（110，130）概率，再用0.5减得区间（130，150）概率，乘以总人数得结果.【详解】由题意得，因此，所以，即分数位于区间分的考生人数近似为，选C.【点睛】正态分布下两类常见的概率计算(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x对称，及曲线与x轴之间的面积为1.(2)利用3原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的，进行对比联系，确定它们属于(，)，(2，2)，(3，3)中的哪一个.8.已知向量，若与共线，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据向量平行坐标表示得方程，解得结果
7、.【详解】因为与共线，所以，选A.【点睛】向量平行：，向量垂直：，向量加减： 9.设，是不同的直线，是不同的平面，有以下四个命题；.其中正确的命题是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：根据面面平行的性质可知正确；中与可能垂直也可能平行，故不正确；根据直线和平面平行、线面垂直的性质可知正确；中与可能平行或在内，故不正确，故选C考点：空间直线与平面间的位置关系10.篮球比赛中每支球队的出场阵容由5名队员组成，2017年的篮球赛中，休斯敦火箭队采取了“八人轮换”的阵容，即每场比赛只有8名队员有机会出场，这8名队员中包含两名中锋，两名控球后卫，若要求每一套出场阵容中有且仅有一名中
8、锋，至少包含一名控球后卫，则休斯顿火箭队的主教练一共有（ ）种出场阵容的选择.A. 16 B. 28 C. 84 D. 96【答案】B【解析】有两种出场方案：（1）中锋1人，后卫1人，有种出场阵容，（2）中锋1人，后卫2人，有种出场阵容，共计28种，选B.11.已知双曲线 的一个焦点坐标为,且双曲线的两条渐近线互相垂直,则该双曲线的方程为( )A. B. C. D. 或【答案】A【解析】分析：先利用双曲线的渐近线相互垂直得出该双曲线为等轴双曲线，再利用焦点位置确定双曲线的类型，最后利用几何元素间的等量关系进行求解.详解：因为该双曲线的两条渐近线互相垂直，所以该双曲线为等轴双曲线，即，又双曲线的
9、一个焦点坐标为，所以，即，即该双曲线的方程为.故选D.点睛：本题考查了双曲线的几何性质，要注意以下等价关系的应用：等轴双曲线的离心率为，其两条渐近线相互垂直.12.已知是函数的一个极值点，四位同学分别给出下列结论，则一定不成立的结论是A. a=0 B. a=c C. c0 D. b=0【答案】D【解析】【分析】由极值定义得关系式，根据关系式判断选择.【详解】因为，所以，因此，所以，选D.【点睛】若函数在点处取得极值，则，且在该点左、右两侧的导数值符号相反.二、填空题：本题共4小题，每小题5分13.已知向量a=(1，y)，b=(2，4)，若ab，则|2a+b|=_【答案】5【解析】【分析】根据向
10、量垂直坐标表示得方程，解得y，再根据向量模的坐标表示得结果.【详解】因为ab，所以【点睛】向量平行：，向量垂直：，向量加减： 14.已知(a，n)的展开式中第3项与第4项的二项式系数最大，且含的项的系数为40，则的值为_【答案】2【解析】【分析】根据二项式系数性质求n，再根据二项展开式求含的项的系数，解得的值.【详解】由已知得，所以含的项的系数为【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.15.已知等差数列的
11、前n项和为，满足=，且0，则最大时n的值是_【答案】9【解析】【分析】根据等差数列前n项和公式以及二次函数性质求最大时n的值.【详解】因为=，且0，所以等差数列的公差为负，因此中二次项系数小于零，因此当时，最大.【点睛】数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用对应函数性质，如等差数列通项与一次函数，等差数列和项与二次函数，等比数列通项、和项与指数函数.16.在区间内任取一个实数，则使函数在上为减函数的概率是_.【答案】【解析】【分析】几何概型概率，测度为长度，根据函数单调性确定a取值范围，再根据长度比得概率.【详解】因为函数在上为减函数，所以，因此所求概率为【点睛】(1)当试验的结果构成的区
12、域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知等比数列的公比q1，=1，且2，3成等差数列(1)求数列的通项公式；(2)记=2n，求数列的前n项和【答案】（1）=（2）=(n1)+2【解析】【分析】（1）根据条件列关于公比的方程，解得公比，代入通项公式即可，（2）利用错位相减法求和.【详解】(1)由2，3成等差数列可得2=2+3，即2 =2q+3 ，又q1，=1，故2=2+3q，即23q2=0，得q=2， 因
13、此数列的通项公式为= (2)=2n=n， =12+222+323+n ，2=122+223+324+n 得=2+22+23+n， = n，=(n1)+2【点睛】用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.18.某竞赛的题库系统有60%的自然科学类题目，40%的文化生活类题目(假设题库中的题目总数非常大)，参赛者需从题库中抽取3个题目作答，有两种抽取方法：方法一是直接从题库
14、中随机抽取3个题目；方法二是先在题库中按照题目类型用分层抽样的方法抽取10个题目作为样本，再从这10个题目中任意抽取3个题目 (1)两种方法抽取的3个题目中，恰好有1个自然科学类题目和2个文化生活类题目的概率是否相同?若相同，说明理由；若不同，分别计算出两种抽取方法对应的概率(2)已知某参赛者抽取的3个题目恰好有1个自然科学类题目和2个文化生活类题目，且该参赛者答对自然科学类题目的概率为，答对文化生活类题目的概率为设该参赛者答对的题目数为X，求X的分布列和数学期望【答案】（1）两种抽取方法得到的概率不同（2）见解析【解析】【分析】（1）分别计算两种方法下概率，再比较，（2）先确定随机变量，再分
15、别求对应概率，列表得分布列，最后根据数学期望公式求期望.【详解】(1)两种抽取方法得到的概率不同方法一：由于题库中题目总数非常大，可以认为每抽取1个题目，抽到自然科学类题目的概率均为，抽到文化生活类题目的概率均为，所以抽取的3个题目中恰好有1个自然科学类题目和2个文化生活类题目的概率为 ()=方法二：按照题目类型用分层抽样抽取的10个题目中有6个自然科学类题目和4个文化生活类题目，从这10个题目中抽取3个题目，恰好有1个自然科学类题目和2个文化生活类题目的概率为= (2)由题意得，X的所有可能取值为0，1，2，3P(X=0)=，P(X=1)= += P(X=2)= +=，P(X=3)= = 所
16、以X的分布列为X0123PX的数学期望E(X)=0 +1 +2 +3=【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值.19.如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，ADBC，ADC=90，AD=2BC，PA平面ABCD(1)设E为线段PA的中点，求证
17、：BE平面PCD；(2)若PA=AD=DC，求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）设线段AD的中点为F，根据三角形中位线性质以及平行四边形性质得线线平行，再根据线面平行判定定理得线面平行，最后根据面面平行判定定理得面面平行，即得结论，（2）根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解得各面法向量，根据向量数量积求得法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果.【详解】(1)设线段AD的中点为F，连接EF，BF在PAD中，因为EF为PAD的中位线，所以EFPD又EF平面PCD，PD平面PCD，所以EF平面PCD在底面直角梯形ABC
18、D中，FDBC，且FD=BC，故四边形DFBC为平行四边形，FBCD 又FB平面PCD，CD平面PCD，所以FB平面PCD又EF平面EFB，FB平面EFB，且EFFB=F，所以平面EFB平面PCD又BE平面EFB，所以BE平面PCD (2)以A为坐标原点， 的方向为y轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系设PA=2，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，D(0,2,0)，C(2,2,0)，B(2,1,0)，=(0,0,2)，=(2,1,0)，=(0,2, 2)， =(2,0,0) 设n=(x,y,z)是平面PAB的法向量，则 ，即 ，令x=1，得y=2，z=0，则n=(1, 2,0)是平面PAB
19、的一个法向量， 同理，m=(0, 1, 1)是平面PCD的一个法向量所以cos= ，所以平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值为【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.20.已知，分别是的内角，所对的边，且，.（1）求角的大小；（2）若，求边的长.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由 利用正弦定理及两角和与差的正弦公式化简，整理求出，又为三角形内角，所以；（2）由的值求出的值，利用两角和与差正弦化简，把各自的值代
20、入，求出的值，即为的值，再由的值，利用正弦定理求出的值即可.试题解析：（1）因为，所以，所以，所以，又为三角形内角，所以.（2）因为，所以，所以 .由正弦定理得，所以.21.已知函数（）（1）若曲线在点处的切线经过点，求的值；（2）若在内存在极值，求的取值范围；（3）当时，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据导数几何意义得切线斜率，根据两点斜率公式列方程，解得的值；（2）先根据极值定义转化为在内有解且在内有正有负，再根据函数单调性列等价不等式组，解得的取值范围；（3）先分离变量，转化为求对应函数最值，再根据导数研究对应函数单调性，进而确定函数最值，即得结果
21、.【详解】解：.（1），.因为在处的切线过，所以.（2）在内有解且在内有正有负.令.由，得在内单调递减，所以.（3）因为时恒成立，所以.令，则.令，由，得在内单调递减，又，所以时，即，单调递增，时，即，单调递减.所以在内单调递增，在内单调递减，所以.所以.【点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.22.已知椭圆的左、右焦点分别为,点也为抛物线的焦点. (1)若为椭圆上两点,且线段的中点为,求直线的斜率； (2)若过椭圆的右焦点作两条互
22、相垂直的直线分别交椭圆于和,设线段的长分别为,证明是定值.【答案】（1）（2）解:因为抛物线的焦点为,所以,故.所以椭圆. (1)设,则两式相减得 ，又的中点为,所以.所以.显然,点在椭圆内部,所以直线的斜率为. (2)椭圆右焦点.当直线的斜率不存在或者为时, .当直线的斜率存在且不为时,设直线的方程为，设,联立方程得消去并化简得 ，因为 ，所以，.所以 同理可得.所以 为定值.【解析】分析：（1）先利用抛物线的焦点是椭圆的焦点求出，进而确定椭圆的标准方程，再利用点差法求直线的斜率；（2）设出直线的方程，联立直线和椭圆的方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解.详解：因为抛物线的焦点为，所以，故.所以椭圆.（1）设，则两式相减得，又的中点为，所以，.所以.显然，点在椭圆内部，所以直线的斜率为.（2）椭圆右焦点.当直线的斜率不存在或者为时，.当直线的斜率存在且不为时，设直线的方程为，设，联立方程得消去并化简得，因为，所以，.所以，同理可得.所以为定值.点睛：在处理直线与椭圆相交的中点弦问题，往往利用点差法进行求解，比联立方程的运算量小，另设直线方程时，要注意该直线的斜率不存在的特殊情况，以免漏解.