1、9.5椭圆1.椭圆的概念(1)第一定义：在平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.集合PM|MF1MF22a，F1F22c，其中a0，c0，且a，c为常数：若ac，则集合P为椭圆；若ac，则集合P为线段；若ac，则集合P为空集.(2)第二定义：平面内到一个定点F的距离和到一条定直线(F不在l上)的距离的比是常数e(0eb0) 1 (ab0)图形性质范围axabybbxbaya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0) B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a
2、)B1(b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距F1F22c离心率e(0,1)a，b，c的关系c2a2b21.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.()(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成PF1F2的周长为2a2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距).()(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.()(4)方程mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲线是椭圆.()2.已知椭圆的焦点在y轴上，若椭圆1的离心率为，则m的值是_.答案解析由题意知a2m，b22，c2m2.e，m.
3、3.(2013广东改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是_.答案1解析由题意知c1，e，所以a2，b2a2c23.故所求椭圆方程为：1.4.如果方程x2ky22表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是_.答案(0,1)解析将椭圆方程化为1，焦点在y轴上，2，即k0，0kb0)的两焦点为F1、F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为_.答案1解析设过左焦点F1的正三角形的边交椭圆于A，则AF1c，AF2c，有2a(1)c，e1.题型一椭圆的定义及标准方程例1(1)已知圆(x2)2y236的圆心为M，设A为圆上任
4、一点，且点N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是_.(2)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P(3,0)，则椭圆的方程为_.(3)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(，1)、P2(，)，则椭圆的方程为_.思维启迪(1)题主要考虑椭圆的定义；(2)题要分焦点在x轴和y轴上两种情况；(3)可以用待定系数法求解.答案(1)椭圆(2)y21或1(3)1解析(1)点P在线段AN的垂直平分线上，故PAPN，又AM是圆的半径，PMPNPMPAAM6MN，由椭圆定义知，P的轨迹是椭圆.(2)若焦点在x轴上，设方程为1(ab0)，椭圆过P(3,0
5、)，1，即a3，又2a32b，b1，方程为y21.若焦点在y轴上，设方程为1(ab0).椭圆过点P(3,0).1，即b3.又2a32b，a9，方程为1.所求椭圆的方程为y21或1.(3)设椭圆方程为mx2ny21(m0，n0且mn).椭圆经过P1、P2点，P1、P2点坐标适合椭圆方程.则、两式联立，解得所求椭圆方程为1.思维升华(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2aF1F2这一条件.(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组.如果焦点位置不确定，要考虑是否有两
6、解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2ny21 (m0，n0，mn)的形式.(1)过点(，)，且与椭圆1有相同焦点的椭圆的标准方程为_.(2)已知P是椭圆1上一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，若F1PF260，则PF1F2的面积为_.答案(1)1(2)12解析(1)方法一椭圆1的焦点为(0，4)，(0,4)，即c4.由椭圆的定义知，2a，解得a2.由c2a2b2可得b24.所以所求椭圆的标准方程为1.方法二因为所求椭圆与椭圆1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c225916.设它的标准方程为1(ab0).因为c216，且c2a2b2，故a2b216.又点(，)在所求椭圆上，所以1
7、，即1.由得b24，a220，所以所求椭圆的标准方程为1.(2)根据椭圆的定义，得PF1PF220，在PF1F2中，由余弦定理，得PFPF2PF1PF2cos 60256.2得PF1PF248.PF1PF2sin 6012.题型二椭圆的几何性质例2(1)在RtABC中，ABAC1，如果一个椭圆通过A，B两点，它的一个焦点为点C，另一个焦点在AB上，求这个椭圆的离心率.(2)如图，焦点在x轴上的椭圆1的离心率e，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，求的最大值和最小值.思维启迪本题主要考查椭圆的几何性质及其应用，解题(1)的关键是根据题意求出a，c的值；解题(2)的关键是表示出，
8、根据椭圆的性质确定变量的取值范围.解(1)设椭圆的焦半径为c，设另一个焦点为F，如图所示，ABAC1，ABC为直角三角形，114a，则a.设FAx，x，1()24c2，c，e.(2)设P点坐标为(x0，y0).由题意知a2，e，c1，b2a2c23.所求椭圆方程为1.2x02，y0.又F(1,0)，A(2,0)，(1x0，y0)，(2x0，y0)，xx02yxx01(x02)2.当x02时，取得最小值0，当x02时，取得最大值4.思维升华(1)求椭圆的离心率的方法直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值.构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然
9、后转化为关于离心率e的一元二次方程求解.通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如，axa，byb,0eb0)的一个顶点为B(0,4)，离心率e，直线l交椭圆于M，N两点.(1)若直线l的方程为yx4，求弦MN的长.(2)如果BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式.思维启迪直线与圆锥曲线的关系问题，一般可以直接联立方程，“设而不求”，把方程组转化成关于x或y的一元二次方程，利用根与系数的关系及弦长公式求解.解(1)由已知得b4，且，即，解得a220，椭圆方程为1.则4x25y280与yx4联立，消去y得9x240x0，x10，x2，所
10、求弦长MN|x2x1|.(2)椭圆右焦点F的坐标为(2,0)，设线段MN的中点为Q(x0，y0)，由三角形重心的性质知2，又B(0,4)，(2，4)2(x02，y0)，故得x03，y02，即得Q的坐标为(3，2).设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x26，y1y24，且1，1，以上两式相减得0，kMN，故直线MN的方程为y2(x3)，即6x5y280.思维升华(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x
11、1，y1)，B(x2，y2)，则AB (k为直线斜率).提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.已知椭圆G：1(ab0)的离心率为，右焦点为(2，0).斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(3,2).(1)求椭圆G的方程；(2)求PAB的面积.解(1)由已知得c2，解得a2.又b2a2c24，所以椭圆G的方程为1.(2)设直线l的方程为yxm，由消去y得4x26mx3m2120.设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1b0)的左焦点为F1，上顶点为B2，右顶点为A2，过点A2作x轴的垂线交直线F1B
12、2于点P，若PA23b，则椭圆C的离心率为_.(2)已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1(c,0)、 F2(c,0)，若椭圆上存在点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为_.思维启迪椭圆的离心率利用方程思想，只需利用题目条件得到a，b，c的一个关系式即可.若得到的关系式含b，可利用a2b2c2转化为只含a，c的关系式.解析(1)由题设知，e.(2)依题意及正弦定理，得(注意到P不与F1F2共线)，即，1，1，即e1，(e1)22.又0e1，因此1eb0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|a，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因.A组专项基础训练(时
13、间：40分钟)一、填空题1.已知椭圆C的短轴长为6，离心率为，则椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为_.答案1或9解析，解得a5，b3，c4.椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为ac9或ac1.2.设F1、F2分别是椭圆1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，OM3，则P点到椭圆左焦点的距离为_.答案4解析由题意知OMPF23，PF26，PF12564.3.已知椭圆1的焦距为4，则m等于_.答案4或8解析由，得2mb0)的左、右顶点分别是A、B，左、右焦点分别是F1、F2，若AF1，F1F2，F1B成等比数列，则此椭圆的离心率为_.答案解析由题意知AF1ac，F1F22c，F1B
14、ac，且三者成等比数列，则F1FAF1F1B，即4c2a2c2，a25c2，所以e2，所以e.5.已知圆M：x2y22mx30(m0)的半径为2，椭圆C：1的左焦点为F(c,0)，若垂直于x轴且经过F点的直线l与圆M相切，则a的值为_.答案2解析圆M的方程可化为(xm)2y23m2，则由题意得m234，即m21(mb0)的左，右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y(xc)与椭圆的一个交点M满足MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心率等于_.答案1解析由直线方程为y(xc)，知MF1F260，又MF1F22MF2F1，所以MF2F130，MF1MF2，所以MF1c，MF2c所以MF1MF2
15、cc2a.即e1.7.已知椭圆1 (ab0)的离心率等于，其焦点分别为A、B，C为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在ABC中，的值等于_.答案3解析在ABC中，由正弦定理得，因为点C在椭圆上，所以由椭圆定义知CACB2a，而AB2c，所以3.8.椭圆y21的左，右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一动点，若F1PF2为钝角，则点P的横坐标的取值范围是_.答案(，)解析设椭圆上一点P的坐标为(x，y)，则(x，y)，(x，y).F1PF2为钝角，0，即x23y20，y21，代入得x2310，x22，x2.解得xb0)的离心率为，其中左焦点F(2,0).(1)求椭圆C的方程；(2)若直线yxm与椭
16、圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M在圆x2y21上，求m的值.解(1)由题意，得解得椭圆C的方程为1.(2)设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)，由消去y得，3x24mx2m280，968m20，2mb0)的左，右焦点分别为F1，F2.点P(a，b)满足PF2F1F2.(1)求椭圆的离心率e.(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点.若直线PF2与圆(x1)2(y)216相交于M，N两点，且MNAB，求椭圆的方程.解(1)设F1(c,0)，F2(c,0)(c0)，因为PF2F1F2，所以2c.整理得2()210，解得1(舍)，或.所以
17、e.(2)由(1)知a2c，bc，可得椭圆方程为3x24y212c2，直线PF2的方程为y(xc).A，B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得5x28cx0.解得x10，x2c.得方程组的解不妨设A(c，c)，B(0，c)，所以AB c.于是MNAB2c.圆心(1，)到直线PF2的距离d.因为d2()242，所以(2c)2c216.整理得7c212c520，得c(舍)，或c2.所以椭圆方程为1.B组专项能力提升(时间：35分钟)1.(2013四川改编)从椭圆1(ab0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且ABOP(O是坐标原点)，
18、则该椭圆的离心率是_.答案解析由题意可设P(c，y0)(c为半焦距)，kOP，kAB，由于OPAB，y0，把P代入椭圆方程得1，而2，e.2.已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是_.答案(0，)解析满足0的点M在圆x2y2c2上，圆x2y2c2在椭圆内部，即cb，c2b2a2c2,2c2a2，e2b0)，由题意得解得a24，b23.故椭圆C的方程为1.(2)假设存在直线l1且由题意得斜率存在，设满足条件的方程为yk1(x2)1，代入椭圆C的方程得，(34k)x28k1(2k11)x16k16k180.因为直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，设A
19、，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，所以8k1(2k11)24(34k)(16k16k18)32(6k13)0，所以k1.又x1x2，x1x2，因为2，即(x12)(x22)(y11)(y21)，所以(x12)(x22)(1k)2.即x1x22(x1x2)4(1k).所以24(1k)，解得k1.因为k1，所以k1.于是存在直线l1满足条件，其方程为yx.7.如图，在平面直角坐标系xOy中，M，N分别是椭圆1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限.过P作x轴的垂线，垂足为C，连结AC并延长，交椭圆于点B.设直线PA的斜率为k.(1)若直线PA平分线段MN，
20、求k的值；(2)当k2时，求点P到直线AB的距离d；(3)对任意的k0，求证：PAPB.(1)解由题设知，a2，b，故M(2,0)，N(0，).所以线段MN中点的坐标为.由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过坐标原点，所以k.(2)解直线PA的方程为y2x，代入椭圆方程得1，解得x，因此，P，A.于是C，直线AC的斜率为1，故直线AB的方程为xy0.因此，d.(3)证明方法一将直线PA的方程ykx代入1，解得x.记，则P(，k)，A(，k)，于是C(，0).故直线AB的斜率为，其方程为y(x)，代入椭圆方程得(2k2)x22k2x2(3k22)0，解得x或x.因此B.于是直线PB的斜率k1.因此k1k1，所以PAPB.方法二设P(x1，y1)，B(x2，y2)，则x10，x20，x1x2，A(x1，y1)，C(x1,0). 设直线PB，AB的斜率分别为k1，k2.因为C在直线AB上，所以k2.从而k1k12k1k212110.因此k1k1，所以PAPB.