1、第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 1.命题p,q,pq,pq,p的真假关系 pqpqpqp 真真_真假_假真_假假_真 真 假 假 真 假 假 真 真 假 假 真 2.全称命题和特称命题(1)全称量词和存在量词:量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等_存在量词存在一个、至少一个、有些、某些等_ (2)全称命题和特称命题:命题名称命题结构命题简记全称命题对M中任意一个x,有p(x)成立_特称命题存在M中的一个x0,使p(x0)成立_xM,p(x)x0M,p(x0)(3)全称命题和特称命题的否定:命 题 命题的否定 xM,p(x)_ x0M,p(x0)_ x0
2、M,p(x0)xM,p(x)判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”).(1)命题pq为假命题的充要条件是命题p,q至少有一个假命 题.()(2)命题pq为假命题的充要条件是命题p,q至少有一个假命 题.()(3)命题p,p可能都是真命题.()(4)如果一个全称命题是真命题,则这个命题就是一个一般性结论.()(5)如果一个特称命题是真命题,则这个命题就是一个一般性结论.()【解析】(1)正确.命题pq,只有当p,q同时为真时才是真命题,故命题pq为假命题的充要条件是命题p,q至少有一个假命题.(2)错误.命题pq,只有当p,q同时为假命题时才是假命题.(3)错误.一个命题与其否定一定是一个
3、为真命题、一个为假命题.(4)正确.由于全称命题是对任意对象都成立的一个命题,当全称命题为真时就是一个一般性结论.(5)错误.特称命题是对个别对象成立的命题,这个命题为真只是对个别对象为真,故其不是一个一般性结论.答案:(1)(2)(3)(4)(5)1.已知命题pq为假命题,下列结论正确的是()(A)pq为真命题(B)(p)q为真命题(C)p,q有且只有一个假命题(D)p,q至少有一个真命题【解析】选D.pq为假命题时,p,q可能一个真命题一个假命题,也可能两个都是假命题.故选项A,B,C中的结论都不正确;选项D中结论等价于p,q至少有一个假命题,故正确.2.若命题“p且q”为假,且“p”为假
4、,则()(A)“p或q”为假 (B)q假(C)q真 (D)p假【解析】选B.“p”为假,则p为真,而pq为假,得q为假.3.如果命题“非p或非q”是假命题,给出下列四个结论:命题“p且q”是真命题;命题“p且q”是假命题;命题“p或q”是真命题;命题“p或q”是假命题.其中正确的结论是()(A)(B)(C)(D)【解析】选A.“非p或非q”是假命题,可得“非p”与“非q”均为假命题,即p,q均为真命题,故结论正确.4.已知命题p:xR,sinx1,则()(A)p:x0R,sinx01(B)p:xR,sinx1(C)p:x0R,sinx01(D)p:xR,sinx1【解析】选C.p是对p的否定,
5、故有p:x0R,sinx01.5.命题“对一切非零实数x,总有x+2”的否定是 ,它是 命题(填“真”或“假”).【解析】x0R,x00,x0+2,这个命题是真命题.例 如,x=-2,则xR,x0,x+2.答案:x0R,x00,x0+0对 任意x恒成立.若命题q(pq)真、p真,则实数m的取值范 围是 .【思路点拨】(1)首先判断命题p,q的真假,再根据含有逻辑联结词的命题真假判断方法逐项进行判断.(2)根据命题q(pq)真、p真可得命题p,q的真假,然后根据方程和不等式的知识得出m的取值范围.【规范解答】(1)选C.由f(x)=3x2-30,解得-1x1,故函数 f(x)=x3-3x在区间(
6、-1,1)内单调递减,即命题p为真命题;函数 y=sin2x的最小正周期为,则函数f(x)=|sin2x|的最小正周期 为 ,即命题q为假命题.由于p真、q假,故pq为假命题,pq 为真命题;由于p假、q假,故(p)q为假命题;由于p假,q真,故(p)(q)为假命题.2(2)由于p真,所以p假,则pq假,又q(pq)真,故q真,即 命题p假、q真.当命题p假时,即方程x2-mx+1=0无实数解,此时 m2-40,解得-2m2;当命题q真时,4-4m1.所以所求 的m的取值范围是1m2.答案:(1,2)【互动探究】本例题(2)中,命题p,q不变,若命题pq为真,则m的取值范围是 .【解析】命题p
7、q为真时,p,q至少有一个为真.若命题p真、q假,则m-2或m2,且m1,此时m-2;若命题p假、q真,则-2m1,此时1m1,此时m2.故命题pq为真时,m的取值范围是(-,-2(1,+).答案:(-,-2(1,+)【拓展提升】含逻辑联结词命题真假的等价关系(1)pq真p,q至少一个真(p)(q)假.(2)pq假p,q均假(p)(q)真.(3)pq真p,q均真(p)(q)假.(4)pq假p,q至少一个假(p)(q)真.(5)p真p假;p假p真.【变式备选】已知命题p:x0R,使tanx0=,命题q:x2-3x+20的解集是x|1xx2(C)a+b=0的充要条件是 =-1(D)a1,b1是ab
8、1的充分条件(2)下列命题为假命题的是()(A)xR,x2+x+10(B)x0R,+x0=1(C)a0R,f(x)=x3+a0 x在(-,+)单调递增(D)aR,f(x)=x2+ax+a存在零点 0 xeab0 xe【思路点拨】(1)根据函数、不等式等知识逐项分析即可.(2)只要根据不等式、函数、方程的知识进行推证即可,注意全 称命题和特称命题为真的区别.【规范解答】(1)选D.根据指数函数性质,对xR,ex0为真,故其否定x0R,0为假,即选项A中的命题为假;根据指 数函数与二次函数知识,在(-,-1)上2x1,此时2x1,b1ab1,但反之不真,故选项D 中的命题为真.0 xe12ab(2
9、)选D.由于x2+x+1=(x+)2+0对任意实数x恒成立,故选项 A中的命题为真命题;令y=ex,y=-x+1,结合两个函数的图象可知 这两个函数的图象存在公共点,故“x0R,+x0=1”为真命 题;f(x)=3x2+a0,只要a00,f(x)0即在(-,+)上恒成立,函数f(x)=x3+a0 x即在(-,+)上单调递增,故选项C中的命题 为真命题;由于=a2-4a,当0,即0a4时,函数f(x)=x2+ax+a不存在零点,故“aR,f(x)=x2+ax+a存在零点”是假命题.12340 xe【拓展提升】全称命题与特称命题真假的判断方法 命题名称真假判断方法一判断方法二全称命题真所有对象使命
10、题真否定为假假存在一个对象使命题假否定为真特称命题真存在一个对象使命题真否定为假假所有对象使命题假否定为真【变式训练】(1)下列命题中,真命题是()(A)m0R,使函数f(x)=x2+m0 x(xR)是偶函数(B)m0R,使函数f(x)=x2+m0 x(xR)是奇函数(C)mR,使函数f(x)=x2+mx(xR)都是偶函数(D)mR,使函数f(x)=x2+mx(xR)都是奇函数【解析】选A.当m0=0时,f(x)=x2是偶函数,故选A.(2)已知a0，函数f(x)=ax2+bx+c，若m满足关于x的方程2ax+b=0，则下列选项中的命题为假命题的是()(A)x0R，f(x0)f(m)(B)x0
11、R，f(x0)f(m)(C)xR，f(x)f(m)(D)xR，f(x)f(m)【解析】选C.由2am+b=0,得 又a0，f(m)是函数f(x)的最小值,即xR，有f(x)f(m)，故选C.bm,2a 考向 3 含有一个量词的命题的否定 【典例3】(1)(2012辽宁高考)已知命题p:x1,x2R,(f(x2)-f(x1)(x2-x1)0,则p为()(A)x1,x2R,(f(x2)-f(x1)(x2-x1)0(B)x1,x2R,(f(x2)-f(x1)(x2-x1)0(C)x1,x2R,(f(x2)-f(x1)(x2-x1)0(D)x1,x2R,(f(x2)-f(x1)(x2-x1)0(2)“
12、a0R,函数f(x)=是R上的奇函数”的否定是_.x0 x02a2a【思路点拨】(1)已知命题是一个全称命题,其否定是一个特称 命题.(2)已知命题是一个特称命题,其否定是全称命题,注意“奇函 数”的否定为“不是奇函数”.【规范解答】(1)选C.由于对任意的x1,x2R都有(f(x2)-f(x1)(x2-x1)0,要否定这个命题,则只要存在x1,x2R,使(f(x2)-f(x1)(x2-x1)0不成立即可,即使得(f(x2)-f(x1)(x2-x1)0,故已知命题的否定是“x1,x2R,(f(x2)-f(x1)(x2-x1)1 000,则p为()(A)nN,2n1 000 (B)nN,2n1
13、000(C)n0N,1 000 (D)n0N,1 000,是特称命题,其否定为 nN,2n1 000.0n20n20n20n2(2)命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是()(A)所有不能被2整除的整数都是偶数(B)所有能被2整除的整数都不是偶数(C)存在一个不能被2整除的整数是偶数(D)存在一个能被2整除的整数不是偶数【解析】选D.全称命题的否定为特称命题,即将“所有”变为“存在”,并且将结论进行否定.该命题的否定为“存在一个能被2整除的整数不是偶数”.【易错误区】命题的否定与否命题混淆致误 【典例】(2012湖北高考)命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是()(A)任意一个
14、有理数,它的平方是有理数(B)任意一个无理数,它的平方不是有理数(C)存在一个有理数,它的平方是有理数(D)存在一个无理数,它的平方不是有理数【误区警示】本题易出现的错误是:(1)把命题的否定与命题的否命题相混淆致误.(2)没有改写量词或未对结论进行否定.【规范解答】选B.否定“存在一个无理数,它的平方是有理数”这个论断,只要对于所有的无理数,它的平方不是有理数,即“任意一个无理数,它的平方不是有理数”.【思考点评】1.命题的否定与否命题的真假关系 命题的否定是否定这个命题作出的结论.否命题是指对“若p,则q”形式的命题,把否定的条件作条件、否定的结论作结论得出的形式上的命题“若p,则q”,这
15、两个命题的真假没有必然的联系,但是一个命题及其否定中一定是一个为真一个为假.2.含有量词的命题的否定 对于全(特)称命题,在写出其否定时,都可从两个方面进行:一是对量词或量词符号进行改写.二是对命题的结论进行否定.两者缺一不可.1.(2013衡水模拟)已知“命题p:x0R,使得ax02+2x0+10 成立”为真命题,则实数a满足()(A)0,1)(B)(-,1)(C)1,+)(D)(-,1【解析】选B.当a=0时,2x+10,可得x ,此时存在一个x0,使 ax02+2x0+10成立;当a0时,要使存在x0使ax02+2x0+10成立,只要a0或 即a1且a0即可.综合知a300,则p:nN,
16、en300(D)命题x0(-,0),是真命题 0ne00 xxe【解析】选D.根据逆否命题的构成可知选项A中的说法正确；a=2函数f(x)=logax在区间(0,+)上为增函数，反之只要 a1即可，选项B中的说法正确；特称命题的否定是全称命题，选项C中的说法正确；根据指数函数性质，当x01”的否定是()(A)对任意实数x,都有x1(B)不存在实数x,使x1(C)对任意实数x,都有x1(D)存在实数x,使x1【解析】选C.“存在”的否定为“任意”,“x1”的否定是“x1”.4.(2013宁德模拟)在下列结论中,正确的为()(1)“pq”为真是“pq”为真的充分不必要条件(2)“pq”为假是“pq
17、”为真的充分不必要条件(3)“pq”为真是“p”为假的必要不充分条件(4)“p”为真是“pq”为假的必要不充分条件(A)(1)(2)(B)(1)(3)(C)(2)(4)(D)(3)(4)【解析】选B.pq为真时p,q均为真,此时pq一定为真,而 pq为真时只要p,q至少有一个为真即可,故“pq”为真是“pq”为真的充分不必要条件,结论(1)正确;pq为假,可 能p,q均假,此时pq为假,结论(2)不正确;pq为真时,可能 p假,此时p为真,但p为假时,p一定为真,此时pq为真,结 论(3)正确;p为真时,p假,此时pq一定为假,条件是充分的,但在pq为假时,可能p真,此时p为假,故“p”为真是
18、“pq”为假的充分不必要条件,结论(4)不正确.1.下列选项叙述错误的是()(A)若p或q为假命题,则p,q均为假命题(B)若命题p:xR,x2+x+10,则p:x0R,x02+x0+1=0(C)若pq为真命题,则p,q均为真命题(D)“x2”是“x2-3x+20”的充分不必要条件【解析】选C.选项A中,若p,q中有一个为真命题,则p或q为真命题,所以A正确;选项B中,根据全称命题的否定是特称命题,“不等于”的否定是“等于”可知是正确的;选项C中,根据“pq为真只要两个命题p,q至少一个为真”,可知叙述是不正确的;选项D中,由于不等式x2-3x+20的解是x2或者x2”是“x2-3x+20”的
19、充分不必要条件.2.下列命题中的真命题是()(A)x0R,使得sin x0+cos x0=(B)x(0,+),exx+1(C)x0(-,0),(D)x(0,),sin xcos x 300 xx23【解析】选B.xR，sin x+cos x ，故不存在x0R，使得sin x0+cos x0=，选项A中的命题不是真命题；设 f(x)=ex-x-1，则f(x)=ex-10对于x(0,+)恒成立，故 f(x)在(0,+)上单调递增，即f(x)f(0)=0，exx+1，选项B 中的命题是真命题；根据指数函数的性质，在(-,0)上，2x3x，故不存在x0(-,0)，使得 ，选项C中的命题为 假命题；当x=时，sin xcos x，故选项D中的命题是假命 题.2300 xx236
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